[PDF] [PDF] Cours Magistral du Module Analyse 3 - Faculté des Sciences de Rabat

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Année Universitaire 2017-2018

Filière SMP - Semestre 3Cours Magistral du ModuleAnalyse 3Professeur :Zine El-Abidine Guennoun

Département de Mathématiques

Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat-Maroc Tel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax : +212 (0) 37 77 42 61,http://http://fsr.um5.ac.ma/

Préambule

Le moduleAnalyse3 est une introduction aux notions d"analyse complexe, Séries numériques complexes, Séries trigonométriques, Transformée de Fourier, Transformée de Laplace. Ainsi que leurs applications comme par exemple : Résolution des équations différentielles et équations aux dérivées partielles. Ce cours sera complété par des démonstrations, des exemples, et des explications qui seront développés pendant la séance du cours. i

Table des matières

Préambule

i

1 Introduction et rappels

1

1.1 Nombres Réels

1

1.2 Nombres complexes

3

1.2.1 Définition

3

1.2.2 Remarques

4

1.2.3 Définition

4

1.2.4 Propriété algébrique deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2.5 Plan complexe

5

1.3 Forme polaire des nombres complexes

6

1.3.1 Définition

6

1.3.2 Exemples

6

1.4 Puissances et racines des nombres complexes

6

1.4.1 Formule de Moivre

6

1.4.2 Module d"un nombre complexe

7

1.5 Propriétés topologiques

8

2 Analyse Complexe

10

2.1 Fonction complexe

10

2.1.1 Définitions

10

2.1.2 Limites d"une fonction complexe

10

2.1.3 Continuité d"une fonction complexe

11

2.1.4 Dérivée d"une fonction complexe

12

2.2 Fonctions Holomorphes

13

2.3 Conditions de Cauchy-Riemann

13

2.3.1 Réciproque du théorème (Conditions de Cauchy-Riemann)

13

2.4 Fonctions harmoniques

14

2.4.1 Définitions et résultats

14

2.4.2 Exemple et exercices

16 ii

3 Fonctions Complexes Usuelles18

3.1 Fonction exponentielle complexe

18

3.1.1 Définition et propriétés

18

3.1.2 Exercice

19

3.2 Fonctions trigonométriques et hyperboliques complexes

19

3.2.1 Définitions

19

3.2.2 Propriétés

20

3.3 Fonctions Logarithmiques complexes

21

3.3.1 Définition

21

3.3.2 Propriétés

22

3.3.3 Exemples

23

4 Intégration Complexe

25

4.1 Définitions et propriétés

25

4.1.1 Définition

25

4.2 Intégrale curviligne d"un champ de vecteurs

26

4.3 Indépendance d"intégrale curviligne par rapport au chemin

29

4.4 Intégrale curviligne complexe

33

4.4.1 Définition

33

4.4.2 Exercice

35

4.4.3 Définitions

35

4.5 Théorème d"intégrale de Cauchy

35

4.6 Indépendance du chemin

36

4.6.1 Illustrations, Exercices et commentaires

36

4.7 Formule d"intégrale de Cauchy

36

4.7.1 Exercice

37

4.8 Formule des Dérivées de Cauchy

38

5 Séries Numériques

39

5.1 Suites réelles (Quelques rappels)

39

5.1.1 Définitions et exemples

39

5.1.2 Propositions

39

5.2 Séries numériques réelles

40

5.2.1 Définitions et propriétés

40

5.2.2 Séries à termes positifs et tests de convergence

42

5.2.3 Séries alternées

43

5.2.4 Séries entières réelles

44

5.3 Séries numériques complexes

46

5.3.1 Propriétés et test de convergence

46

5.3.2 Série de Taylor et de Maclaurin

48

5.4 Séries de Laurent

50

5.5 Calcul des résidus

53

5.5.1 Pôles simples

53

5.5.2 Pôles d"ordrem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

5.6 Applications et Exercices

54
iii

6 Séries de Fourier58

6.1 Développement des fonctions de période2π. . . . . . . . . . . . . . . .58

6.2 Fonction paire et impaire

62

6.3 Fonctions de période2L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

6.3.1 Définitions et propriétés

64

6.3.2 Fonction paire et impaire de période2L. . . . . . . . . . . . .65

6.4 Approximation par des sommes trigonométriques

66

7 Transformée de Laplace

69

7.1 Définitions et exemples

69

7.2 Transformée de Laplace de certaines fonctions usuelles

72

7.3 Applications aux équations différentielles

73

8 Transformée de Fourier

75

8.1 Définitions et exemples

75

8.1.1 Définition

75

8.2 Transformée de Fourier de certaines fonctions usuelles

76

8.3 Exercices corrigés

77
iv 1

Introduction et rappels

1.1 Nombres Réels

L"ensemble de tous les nombres réels est notéR.On définit alors deux opérations internes surR:

L"addition : "+" et la multiplication : "·".

L"ensemble(R,+,·)est stable pour les deux opérations : ?x,y?R, x+y?R,x·y?R -0est l"élément neutre pour l"addition :?x?R,x+ 0 = 0 +x=x, -1est l"élément neutre pour la multiplication :?x?R,1·x=x·1 =x. - Tous les éléments deRadmettent un inverse pour les deux opérations sauf0pour la multiplication : ?x?R,il existe un inverse pour l"addition noté-xtel quex+ (-x) = 0. ?x?R\{0}, il existe un inverse pour la multiplication notéx-1tel quex·x-1= 1.

Les deux opérations vérifient d"autres propriétés comme : l"associativité, la distributi-

vité, la commutativité. Puisqu"il existe une bijection entreRet la droite réelle, on peut identifier les nombres à la droite réelle :Figure1.1 - Représentation des nombres réels L"ensemble(R,+,·)est un corps commutatif, ce qui permet de résoudre plusieurs

équations dansR. Par exemple :

a) L"é quationlinéaire ax+b= 0,a?= 0, admet une solution uniquex=-ba 1 Figure1.2 - Représentation de solution deax+b= 0 b) L"é quationquadratique ax2+bx+c= 0,a?= 0, la résolution de l"équation du second degré dépend de la valeur de son discriminantΔ =b2-4ac: •SiΔ>0, l"équation admet deux solutions distinctes dansR: x

1=-b-⎷Δ

2aetx2=-b+⎷Δ

2a.Figure1.3 - Deux solutionsx1etx2pour l"équation

•SiΔ = 0, l"équation admet une solution doublex0=-b2adansR: 2

Figure1.4 - Solution uniquex0pour l"équation

•SiΔ<0, l"équation n"admet pas de solution dansR:Figure1.5 - Aucune solution pour l"équation

Même siRcontient tous les nombres réels, plusieurs équations n"admettent pas de solutions réelles dansR. Comme par exemple :x2+ 1 = 0,3x2-5x+ 30 = 0 n"admettent pas de solutions réelles. Pour étudier, comprendre et analyser plusieurs

phénomènes réels comme (Pendule, trajectoires périodiques, circuits électriques), on a

besoin de déterminer les racines.

1.2 Nombres complexes

1.2.1 Définition

On définit alors l"ensemble des nombres complexes notéCqui prolongeRet qui permet de résoudre ce genre d"équations. PuisqueRremplit toute la droite réelle, on identifie l"ensembleCau planR2. Par conséquent, un nombre complexezest représenté par un couple de nombre réels(x,y). •xest appelée la partie réelle deznotéeRe(z), •yest appelée la partie imaginaire deznotéeIm(z): z=z1???Re(z) =Re(z1)

Im(z) =Im(z1)

3 On définit l"addition de deux nombres complexesz= (x,y)etz1= (x1,y1)par : z+z1= (x,y) + (x1,y1) = (x+x1,y+y1)

La multiplication est définie par :

zz

1= (x,y) (x1,y1) = (xx1-yy1,xy1+x1y)

L"ensembleCmuni de l"addition et de la multiplication vérifie les mêmes propriétés queRmuni de l"addition et de la multiplication. L"ensembleCest aussi un corps commutatif.

1.2.2 Remarques

1.(x,0) + (x1,0) = (x+x1,0).

2.(x,0)(x1,0) = (xx1,0).

On identifie alorsRau sous-ensemble deCdéterminé par{(x,0),x?R}qui est stable, et on retrouve la droite réelle munie des deux opérations usuelles. 3. Le nom bre(0,1)notéiest appelé unité imaginaire car il engendre la droite réelle perpendiculaire à la droite réelleR. De plus :(0,1)(0,1) = (-1,0). En identifiant(-1,0)au nombre-1, on obtienti2=-1. Le nombre complexe iest alors une solution dansCde l"équationx2+ 1 = 0. Siz?Con a : z= (x,y) = (x,0) + (0,y) =x(1,0) +y(0,1) =x+iy. On a alors :

C={z=x+iy / x?R, y?R}

4. L"éléme ntneutre (0,0)de l"addition est noté par0. 5. L"élé ment(1,0)neutre de la multiplication est noté par1.

On obtient les identités suivantes :

-z+z1= (x+iy) + (x1+iy1) = (x+x1) +i(y+y1). -z-z1= (x+iy)-(x1+iy1) = (x-x1) +i(y-y1). zz1= (x+iy)(x1+iy1) = (xx1+i2yy1) + (ix1y+ixy1) = (xx1-yy1) +i(x1y+xy1); donc on déduit ?Re(zz1) = (xx1-yy1)

Im(zz1) = (x1y+xy1).

Si z1?= 0,

zz

1=(x+iy)(x1+iy1)=(x+iy)(x1-iy1)x

21+y21

=(xx1+yy1)x

21+y21+i(x1y-xy1)x

21+y21.

1.2.3 Définition

On définit le nombre complexe conjugué dez=x+iyparz=x-iy. On obtientzz= (x+iy)(x-iy) =x2+y2, un nombre réel positif, qui représente la distance euclidienne au carré entre les points d"affixes0etz.

On a aussi les relations suivantes :

4 -Re(z) =z+z 2 la partie réelle dez. -Im(z) =z-z

2ila partie imaginaire dez.

P ourtout z=x+iy?= 0;on a1z

=z x

2+y2=z

zz

1.2.4 Propriété algébrique deC

Les polynômes irréductibles dansRsont les polynômes de degré un et les polynômes de degré deux sans racine réelle. Par conséquent, certaines équations quadratiques ax

2+bx+c= 0, a,b,c?R, a?= 0;

n"admettent pas de solutions dansR. Tout polynômePnon nul de degrén≥1s"écrit sous la forme : P(x) =α(x-r1)α1(x-r2)α2···(x-rs)αsm? i=1(aix2+bix+ci)βi oùrisont les racines réelles de multiplicitéαidu polynômeP(x). DansCl"équation quadratiqueax2+bx+c= 0, a,b,c?R, a?= 0;admet toujours deux racines ou une racine double dansC. Vérifier l"affirmation et déterminer les racines en fonction dea,betc. L"ensembleCest un corps commutatif est algébriquement clos : Tout polynôme non constant dansCpossède au moins une racine dansC. SoitPun polynôme non constant dansC, alors le polynômePadmet une décomposition unique de la forme : P(z) =α(z-a1)α1(z-a2)α2···(z-ar)αr avecaisont les racines complexes de multiplicitéαidu polynômeP.

1.2.5 Plan complexe

L"ensembleRdes nombres réels est représenté géométriquement par la droite réelle. L"ensembleCdes nombres complexes est représenté géométriquement par le planR2.

A chaquez=x+iy, on associe le point(x,y).

Exemple :z= 2 + 4iest représenté par l"extrémité du segment ci-dessous.Figure1.6 - Représentation du nombre complexez= 2 + 4i

5

1.3 Forme polaire des nombres complexes

1.3.1 Définition

Soitz=x+iy,en utilisant les coordonnées polaires(r,θ)définies par : x=rcos(θ);y=rsin(θ), on obtientz=r(cos(θ) +isin(θ)). Cette unique écriture pour un certain nombre complexezest appelée la forme polaire du nombre complexez.Avec r=?x

2+y2etθ= arctan?yx

mod 2π; argument principal dezet est notéarg(z). Siz=x+iy?= 0alors l"argumentarg(z)est déterminé selon les cas suivants :

Cas 1 :

Si x >0alorsarg(z) = arctan?yx

Cas 2 :

Si x= 0alors

arg(z) =? ?π2 siy >0 π2 siy <0

Cas 3 :

Si x <0alors

arg(z) =? ??arctan?yx +πsiy≥0quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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