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Année Universitaire 2017-2018
Filière SMP - Semestre 3Cours Magistral du ModuleAnalyse 3Professeur :Zine El-Abidine GuennounDépartement de Mathématiques
Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat-Maroc Tel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax : +212 (0) 37 77 42 61,http://http://fsr.um5.ac.ma/Préambule
Le moduleAnalyse3 est une introduction aux notions d"analyse complexe, Séries numériques complexes, Séries trigonométriques, Transformée de Fourier, Transformée de Laplace. Ainsi que leurs applications comme par exemple : Résolution des équations différentielles et équations aux dérivées partielles. Ce cours sera complété par des démonstrations, des exemples, et des explications qui seront développés pendant la séance du cours. iTable des matières
Préambule
i1 Introduction et rappels
11.1 Nombres Réels
11.2 Nombres complexes
31.2.1 Définition
31.2.2 Remarques
41.2.3 Définition
41.2.4 Propriété algébrique deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2.5 Plan complexe
51.3 Forme polaire des nombres complexes
61.3.1 Définition
61.3.2 Exemples
61.4 Puissances et racines des nombres complexes
61.4.1 Formule de Moivre
61.4.2 Module d"un nombre complexe
71.5 Propriétés topologiques
82 Analyse Complexe
102.1 Fonction complexe
102.1.1 Définitions
102.1.2 Limites d"une fonction complexe
102.1.3 Continuité d"une fonction complexe
112.1.4 Dérivée d"une fonction complexe
122.2 Fonctions Holomorphes
132.3 Conditions de Cauchy-Riemann
132.3.1 Réciproque du théorème (Conditions de Cauchy-Riemann)
132.4 Fonctions harmoniques
142.4.1 Définitions et résultats
142.4.2 Exemple et exercices
16 ii3 Fonctions Complexes Usuelles18
3.1 Fonction exponentielle complexe
183.1.1 Définition et propriétés
183.1.2 Exercice
193.2 Fonctions trigonométriques et hyperboliques complexes
193.2.1 Définitions
193.2.2 Propriétés
203.3 Fonctions Logarithmiques complexes
213.3.1 Définition
213.3.2 Propriétés
223.3.3 Exemples
234 Intégration Complexe
254.1 Définitions et propriétés
254.1.1 Définition
254.2 Intégrale curviligne d"un champ de vecteurs
264.3 Indépendance d"intégrale curviligne par rapport au chemin
294.4 Intégrale curviligne complexe
334.4.1 Définition
334.4.2 Exercice
354.4.3 Définitions
354.5 Théorème d"intégrale de Cauchy
354.6 Indépendance du chemin
364.6.1 Illustrations, Exercices et commentaires
364.7 Formule d"intégrale de Cauchy
364.7.1 Exercice
374.8 Formule des Dérivées de Cauchy
385 Séries Numériques
395.1 Suites réelles (Quelques rappels)
395.1.1 Définitions et exemples
395.1.2 Propositions
395.2 Séries numériques réelles
405.2.1 Définitions et propriétés
405.2.2 Séries à termes positifs et tests de convergence
425.2.3 Séries alternées
435.2.4 Séries entières réelles
445.3 Séries numériques complexes
465.3.1 Propriétés et test de convergence
465.3.2 Série de Taylor et de Maclaurin
485.4 Séries de Laurent
505.5 Calcul des résidus
535.5.1 Pôles simples
535.5.2 Pôles d"ordrem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
5.6 Applications et Exercices
54iii
6 Séries de Fourier58
6.1 Développement des fonctions de période2π. . . . . . . . . . . . . . . .58
6.2 Fonction paire et impaire
626.3 Fonctions de période2L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
6.3.1 Définitions et propriétés
646.3.2 Fonction paire et impaire de période2L. . . . . . . . . . . . .65
6.4 Approximation par des sommes trigonométriques
667 Transformée de Laplace
697.1 Définitions et exemples
697.2 Transformée de Laplace de certaines fonctions usuelles
727.3 Applications aux équations différentielles
738 Transformée de Fourier
758.1 Définitions et exemples
758.1.1 Définition
758.2 Transformée de Fourier de certaines fonctions usuelles
768.3 Exercices corrigés
77iv 1
Introduction et rappels
1.1 Nombres Réels
L"ensemble de tous les nombres réels est notéR.On définit alors deux opérations internes surR:L"addition : "+" et la multiplication : "·".
L"ensemble(R,+,·)est stable pour les deux opérations : ?x,y?R, x+y?R,x·y?R -0est l"élément neutre pour l"addition :?x?R,x+ 0 = 0 +x=x, -1est l"élément neutre pour la multiplication :?x?R,1·x=x·1 =x. - Tous les éléments deRadmettent un inverse pour les deux opérations sauf0pour la multiplication : ?x?R,il existe un inverse pour l"addition noté-xtel quex+ (-x) = 0. ?x?R\{0}, il existe un inverse pour la multiplication notéx-1tel quex·x-1= 1.Les deux opérations vérifient d"autres propriétés comme : l"associativité, la distributi-
vité, la commutativité. Puisqu"il existe une bijection entreRet la droite réelle, on peut identifier les nombres à la droite réelle :Figure1.1 - Représentation des nombres réels L"ensemble(R,+,·)est un corps commutatif, ce qui permet de résoudre plusieurséquations dansR. Par exemple :
a) L"é quationlinéaire ax+b= 0,a?= 0, admet une solution uniquex=-ba 1 Figure1.2 - Représentation de solution deax+b= 0 b) L"é quationquadratique ax2+bx+c= 0,a?= 0, la résolution de l"équation du second degré dépend de la valeur de son discriminantΔ =b2-4ac: •SiΔ>0, l"équation admet deux solutions distinctes dansR: x1=-b-⎷Δ
2aetx2=-b+⎷Δ
2a.Figure1.3 - Deux solutionsx1etx2pour l"équation
•SiΔ = 0, l"équation admet une solution doublex0=-b2adansR: 2Figure1.4 - Solution uniquex0pour l"équation
•SiΔ<0, l"équation n"admet pas de solution dansR:Figure1.5 - Aucune solution pour l"équation
Même siRcontient tous les nombres réels, plusieurs équations n"admettent pas de solutions réelles dansR. Comme par exemple :x2+ 1 = 0,3x2-5x+ 30 = 0 n"admettent pas de solutions réelles. Pour étudier, comprendre et analyser plusieursphénomènes réels comme (Pendule, trajectoires périodiques, circuits électriques), on a
besoin de déterminer les racines.1.2 Nombres complexes
1.2.1 Définition
On définit alors l"ensemble des nombres complexes notéCqui prolongeRet qui permet de résoudre ce genre d"équations. PuisqueRremplit toute la droite réelle, on identifie l"ensembleCau planR2. Par conséquent, un nombre complexezest représenté par un couple de nombre réels(x,y). •xest appelée la partie réelle deznotéeRe(z), •yest appelée la partie imaginaire deznotéeIm(z): z=z1???Re(z) =Re(z1)Im(z) =Im(z1)
3 On définit l"addition de deux nombres complexesz= (x,y)etz1= (x1,y1)par : z+z1= (x,y) + (x1,y1) = (x+x1,y+y1)La multiplication est définie par :
zz1= (x,y) (x1,y1) = (xx1-yy1,xy1+x1y)
L"ensembleCmuni de l"addition et de la multiplication vérifie les mêmes propriétés queRmuni de l"addition et de la multiplication. L"ensembleCest aussi un corps commutatif.1.2.2 Remarques
1.(x,0) + (x1,0) = (x+x1,0).
2.(x,0)(x1,0) = (xx1,0).
On identifie alorsRau sous-ensemble deCdéterminé par{(x,0),x?R}qui est stable, et on retrouve la droite réelle munie des deux opérations usuelles. 3. Le nom bre(0,1)notéiest appelé unité imaginaire car il engendre la droite réelle perpendiculaire à la droite réelleR. De plus :(0,1)(0,1) = (-1,0). En identifiant(-1,0)au nombre-1, on obtienti2=-1. Le nombre complexe iest alors une solution dansCde l"équationx2+ 1 = 0. Siz?Con a : z= (x,y) = (x,0) + (0,y) =x(1,0) +y(0,1) =x+iy. On a alors :C={z=x+iy / x?R, y?R}
4. L"éléme ntneutre (0,0)de l"addition est noté par0. 5. L"élé ment(1,0)neutre de la multiplication est noté par1.On obtient les identités suivantes :
-z+z1= (x+iy) + (x1+iy1) = (x+x1) +i(y+y1). -z-z1= (x+iy)-(x1+iy1) = (x-x1) +i(y-y1). zz1= (x+iy)(x1+iy1) = (xx1+i2yy1) + (ix1y+ixy1) = (xx1-yy1) +i(x1y+xy1); donc on déduit ?Re(zz1) = (xx1-yy1)Im(zz1) = (x1y+xy1).
Si z1?= 0,
zz1=(x+iy)(x1+iy1)=(x+iy)(x1-iy1)x
21+y21
=(xx1+yy1)x21+y21+i(x1y-xy1)x
21+y21.
1.2.3 Définition
On définit le nombre complexe conjugué dez=x+iyparz=x-iy. On obtientzz= (x+iy)(x-iy) =x2+y2, un nombre réel positif, qui représente la distance euclidienne au carré entre les points d"affixes0etz.On a aussi les relations suivantes :
4 -Re(z) =z+z 2 la partie réelle dez. -Im(z) =z-z2ila partie imaginaire dez.
P ourtout z=x+iy?= 0;on a1z
=z x2+y2=z
zz1.2.4 Propriété algébrique deC
Les polynômes irréductibles dansRsont les polynômes de degré un et les polynômes de degré deux sans racine réelle. Par conséquent, certaines équations quadratiques ax2+bx+c= 0, a,b,c?R, a?= 0;
n"admettent pas de solutions dansR. Tout polynômePnon nul de degrén≥1s"écrit sous la forme : P(x) =α(x-r1)α1(x-r2)α2···(x-rs)αsm? i=1(aix2+bix+ci)βi oùrisont les racines réelles de multiplicitéαidu polynômeP(x). DansCl"équation quadratiqueax2+bx+c= 0, a,b,c?R, a?= 0;admet toujours deux racines ou une racine double dansC. Vérifier l"affirmation et déterminer les racines en fonction dea,betc. L"ensembleCest un corps commutatif est algébriquement clos : Tout polynôme non constant dansCpossède au moins une racine dansC. SoitPun polynôme non constant dansC, alors le polynômePadmet une décomposition unique de la forme : P(z) =α(z-a1)α1(z-a2)α2···(z-ar)αr avecaisont les racines complexes de multiplicitéαidu polynômeP.1.2.5 Plan complexe
L"ensembleRdes nombres réels est représenté géométriquement par la droite réelle. L"ensembleCdes nombres complexes est représenté géométriquement par le planR2.A chaquez=x+iy, on associe le point(x,y).
Exemple :z= 2 + 4iest représenté par l"extrémité du segment ci-dessous.Figure1.6 - Représentation du nombre complexez= 2 + 4i
51.3 Forme polaire des nombres complexes
1.3.1 Définition
Soitz=x+iy,en utilisant les coordonnées polaires(r,θ)définies par : x=rcos(θ);y=rsin(θ), on obtientz=r(cos(θ) +isin(θ)). Cette unique écriture pour un certain nombre complexezest appelée la forme polaire du nombre complexez.Avec r=?x2+y2etθ= arctan?yx
mod 2π; argument principal dezet est notéarg(z). Siz=x+iy?= 0alors l"argumentarg(z)est déterminé selon les cas suivants :Cas 1 :
Si x >0alorsarg(z) = arctan?yx
Cas 2 :
Si x= 0alors
arg(z) =? ?π2 siy >0 π2 siy <0Cas 3 :
Si x <0alors
arg(z) =? ??arctan?yx +πsiy≥0quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38[PDF] analyse vectorielle exercices corrigés pdf
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