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Faisait partie du Département des Études Économiques d"Ensemble - Division " Redistribution et Politiques

Sociales » au moment de la rédaction de ce document.

Département des Études Économiques d'Ensemble - Timbre G201 - 15, bd Gabriel Péri - BP 100 - 92244 M

ALAKOFF CEDEX -

France - Tél. : 33 (1) 41 17 60 68 - Fax : 33 (1) 41 17 60 45 - CEDEX - E-mail : d3e-dg@insee.fr - Site Web Insee : http://www.insee.fr Ces documents de travail ne reflètent pas la position de l"Insee et n"engagent que leurs auteurs. Working papers do not reflect the position of INSEE but only their author"s views. -.##$/#(##"(0"((#/$&+#

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Résumé

Ce document présente et discute les modélisations possibles de l"hétérogénéité sur

données individuelles pouvant faire l"objet de regroupements, par exemple des

données de résultats scolaires pour des élèves regroupés par classes ou par

établissements. Sans aborder l"ensemble des modélisations possibles, il s"agit essentiellement de discuter, dans le cadre d"un modèle linéaire, de la pertinence

d"une modélisation à effets fixes ou à effets aléatoires en fonction de la problématique

traitée, et des constatations empiriques issues des données traitées. Les hypothèses statistiques des modèles sont discutées ainsi que les propriétés des estimateurs qui en découlent. Pour chacun des modèles, des exemples de programmes SAS sont présentés. Les tests d"Hausman et l"usage que l"empiriste peut en faire pour asseoir

son choix de modélisation sont exposés. Au-delà du modèle linéaire, les modèles

concernant les variables binaires sont présentés dans un dernier chapitre. Mots-clés : effets fixes, effets aléatoires, test d"Hausman, modèle multiniveaux, modèle mixte

3 0%!$"(%0%!

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Abstract

This document presents the different ways to model heterogeneity in case of clustering, such pupils achievement in classroom or schools. In the linear framework, it essentially discusses the pertinence of fixed or random effects assumptions depending upon the goal pursued and the empirical evidence displayed by data. Statistical assumptions of the different models are introduced and successively discussed, as well as the properties of the estimators that are derived. For each model, SAS code is provided. Hausman tests, and their use to choose models, are explained. Beyond the linear framework, binary models are presented in the last chapter. Keywords: fixed effect, random effect, Hausman test, multilevel model, mixed model

Classification JEL : C01, I21

Table des matières

1 Introduction5

1.1 La problématique : l"exemple des données scolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Organisation du document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Rappels d"économétrie linéaire 9

2.1 Qu"est ce qu"un modèle linéaire? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Le cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Définition, conditions d"existence et d"unicité de l"estimateur des Moindres Carrés

Ordinaires (MCO). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Quand l"estimateur des MCO est-il sans biais? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Quelle est la précision de l"estimateur des MCO? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Comment estimer la précision de l"estimateur des MCO? . . . . . . . . . . . . . .

2.7 L"estimateur des moindres carrés ordinaires est-il convergent? . . . . . . . . . . . .

2.8 Quelle est la loi asymptotique de l"estimateur? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9 Quelle est la loi à distance finie de l"estimateur si les résidus sont normaux? . . . .

2.10 Comparaison avec l"estimateur du Maximum de Vraisemblance (MV) . . . . . . . .

2.11 Programmation sous SAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Le modèle à effets fixes 25

3.1 Le modèle théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Le modèle théorique de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Identification et définition de l"estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Identification du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 6

3.2.2 Définition de l"estimateur des Moindres Carrés Contraints (MCC) . . . . .

3.2.3 Remarque sur le multiplicateur de Lagrange dans l"estimation directe . . .

3.3 Estimation par projection sur la dimension intra-classe . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1 Le théorème de Frisch-Waugh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.2 Le théorème de Frisch-Waugh appliqué au modèle à effets fixes . . . . . . .

3.4 Propriétés de l"estimateur des MCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1 L"estimateur est-il sans biais? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.2 Quelle est la précision de l"estimateur? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.3 Comment estimer la précision de l"estimateur? . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.4 L"estimateur est-il convergent? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.5 Quelles sont les propriétés asymptotiques de l"estimateur? . . . . . . . . . .

3.4.6 Quelle est la loi à distance finie de l"estimateur si les résidus sont normaux?

3.4.7 Estimation de l"intervalle de confiance des estimateurs dans l"estimation en

deux étapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5 La prise en compte des variables constantes au sein des classes . . . . . . . . . . .

3.6 Programmation sous SAS... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.1 ... par l"estimateur "Within" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.2 ... ou directement grâce à laproc reg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

4 Le modèle à erreurs composées (autrement appelé "modèle multi-niveaux" ou

modèle "mixte") 51

4.1 Le modèle théorique de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Interprétation des paramètres estimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1 Le cas des variables constantes au sein de la classe . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2 Le cas des variables non constantes au sein de la classe . . . . . . . . . . . .

4.3 Le lien avec les différents modèles de la littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 L"estimation des. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

4.4.1 Propriétés de l"estimateur des MCO "naïf" . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.2 Propriétés de l"estimateur à effets fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 4

4.4.3 L"estimateur des Moindres Carrés Généralisés (MCG) . . . . . . . . . . . .

4.4.4 Quelques estimateurs de2et2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

4.4.5 Estimateurs des Moindres Carrés Quasi-Généralisés (MCQG) . . . . . . . .

4.4.6 Estimateur du Maximum de Vraisemblance (MV) et estimateur du Maximum

de Vraisemblance Restreint (MVR) sous hypothèses de normalité des résidus 60

4.4.7 Comparaison de l"estimateur du MV et de l"estimateur du MVR . . . . . .

4.5 Estimateurs des

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

4.6 Les tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6.1 Les tests sur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

4.6.2 Tests sur2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

4.6.3 Les tests sur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

4.7 Programmation sous SAS... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7.1 ... des MCQG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7.2 ... ou des autres estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Quel modèle choisir? 72

5.1 Discussion théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.1 Un cadre commun de comparaison des modèles . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.2 Le modèle à effets fixes est un sur-modèle du modèle à effets aléatoires . . .

5.1.3 Test d"Hausman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Le modèle de Mundlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.1 Les propriétés du modèle de Mundlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.2 Implémentation du test d"Hausman et amélioration des estimations . . . . .

5.3 Programmation sous SAS... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.1 ... du modèle de Mundlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 0

5.3.2 ... et du test d"Hausman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Extension au cas d"une variable dépendante dichotomique 82

6.1 Rappel sur les modèles à variables qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.1 Le modèle linéaire de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.2 L"estimateur du score maximum de Manski . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.3 Les modèles Probit et Logit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Problème de biais du Logit et du Probit à effets fixes . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.1 Illustration du problème des paramètres "incidents" . . . . . . . . . . . . .

6.3 Le Logit conditionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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