[PDF] Distributions tempérées Exercices corrigés. Écrire l'é





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Fourier Laplace

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Transformée de Fourier - Université Sorbonne Paris Nord

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Série de Fourier - Université Sorbonne Paris Nord

V Propriétés de la transformation de Fourier La relation établie au paragraphe précédent entre les transformées de Laplace et de Fourier nous permet de direque que les propriétés des opérateurs L et F sont semblables On admettra les propriétés suivantes: 1 F est linéaire En e¤et quels que soient f g fonctions de L1(R) et



Theorie´ des distributions - Université Sorbonne Paris Nord

[1]J M Bony Cours d’analyse Theorie des distributions et analyse de Fourier´ Les editions´ de l’Ecole Polytechnique Ellipses [2]G Carlier Notes de cours : Analyse fonctionnelle https ://www ceremade dauphine fr/ carlier/poly2010 pdf [3]J Faraut Calcul integral´ 2006 EDP Sciences



Chapitre 12 Transform´ee de Fourier des distributions

Le produit de convolution et les transform´ees de Fourier des distributions temp´er´ees usuelles permettent de d´emonter facilement que la transform´ee de Fou-rier des distributions temp´er´ees v´eri?e les mˆemes propri´et´es que la transform´ee de Fourier des fonctions



TD n°6 : Fourier - Correction

La transformée de Fourier (notée ???? ou TF) d’une fonction f donnée est une opération qui transforme une =???? 1 2???? ???????? +? ?? Remarque : Cette définition est celle adoptée par les physiciens on peut aussi définir sans le facteur 1 2???? Il suffit en fait que le produit des constantes dans (1) et (2) fasse 1/2?



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Comment calculer la série de Fourier ?

= ( 1)netein?= ( 1)n,doncc n= 1 2?(1 in) ( 1)n(e? e?) = ( n1) sinh? ?(1 in) . 2.La fonction f est de classe C1, donc la série de Fourier converge simplement vers la f : x 7! 1 2 (f(x+) + f(x )).

Comment calculer la transformee de Fourier ?

Th´eor`eme 12.1La transform´ee de Fourier est une application lin´eaire bijective de S0dans S0et on a : F¡1(F(T)) =F(F¡1(T)) =T(12.5) et comme pour les fonctions F¡1(T)(”) =F(T))(¡”) (12.6) On retrouve aussi les propri´et´es du produit de convolution.

Qu'est-ce que la transformation de Fourier ?

Il est donc naturel que toutes les propriet´ ´es de la transform ee de´ Fourier dans S(Rd) se transposent au cadre des distributions dans S0(Rd). Theor´ eme` 7.3.2. La transformation de Fourier F: S0(Rd) !S0(Rd) est une application lineair´ e, continue, bijective et de recipr´ oque continue.

Qu'est-ce que la Theorie des distributions ?

Nous allons maintenant voir, et c’est l`a l’un des concepts les plus etonnants de la´ theorie des distributions, que l’on peut d´ eriver´ a n’importe quel ordre une distribution quel-` conque et que cette d´erivation est une op eration continue. La situation est donc totalement´ differente du cadre des fonctions d´ erivables classiques.

Distributions tempérées

ENS Cachan Mathématiques

Préparation à l"agrégation Année 2017/2018Distributions Tempérées

Arthur LeclaireRéférences

[Bony] J.M. Bony .Théorie des Distributions et Analyse de Fourier.

Éditions de l"École Polytechnique, 2006.

[GW] C. Gasquet et P .Witomski. Analyse de Fourier et Applications. Dunod, 2001. [Zuily]

C. Zuily .Problèmes de distributions et d"équations aux dérivées partielles. Cassini, 2010.

[DW]

R. Dalmasso et P .Witomski.

Analyse de Fourier et Applications. Exercices corrigés.Masson, 1996. [S] L. Schwartz. Théorie des distributions.Hermann, 1997.

Table des matières

1 Distributions et distributions tempérées 2

2 Transformée de Fourier 4

3 Convolution 5

4 Exercices prioritaires 8

5 Exercices complémentaires 15Notations

SoitΩun ouvert deRd. On noteD¹Ωº=C1c¹ΩºetE¹Ωº=C1¹Ωº. SiKΩ, on noteDK¹Ωºl"ensemble desφ2 D¹Ωºà support compact inclus dansK. On rappelle queS¹Rdºest l"ensemble des fonctionsfde classeC1surRdtelles que

8p2N;Np¹fº:=sup

jαj6p;jβj6psup x2Rdjxβ@αf¹xºj<1:

Cet espace est muni de la famille dénombrable de semi-normes¹Npºp2Net est donc métrisable.

1

1 Distributions et distributions tempérées

1.1 Dé?nitions, opérations

Dé?nition 1.Une distribution surΩest une forme linéaireTdé?nie surD¹Ωºet qui véri?e

la condition de continuité suivante : pour tout compactKΩ, il exister2Netc>0tels que

8φ2 DK¹Ωº;jhT;φij6csup

jαj6rk@αφk1: On noteraD0¹Ωºl"espace des distributions surΩ. tels que

8φ2S¹Rdº;jhT;φij6csup

jαj6p;jβj6pkxβ@αφk1: On noteraS0¹Rdºl"espace des distributions tempérées.

Exemple 1.

T outefontion lo calementintégrable sur Ωdé?nit une distribution. T outefonction lo calementintégrable sur Rdet majorée par un polynôme dé?nit une dis- tribution tempérée. T outefonction Lp¹Rdºdé?nit une distribution tempérée. T outemesur ede pr obabilitéμsurRddé?nit une distribution tempérée. La fonction e xponentiellene dé?nit pas une distribution tempéré e. Remarque 1.SiT2 D0¹Rdºest telle qu"il existep2Netc>0tels que

8φ2 D¹Rdº;jhT;φij6csup

jαj6p;jβj6pkxβ@αφk1 alors il existe une unique forme linéaire continue surS¹Rdºqui prolongeT. Les espacesD0¹ΩºetS0¹Rdºsont munis d"une addition et d"une multiplication scalaire. Dé?nition 3.SiT2 D0¹Ωºetf2C1¹Ωº, on dé?nit la multiplication defparTpar

8φ2 D¹Ωº;hfT;φi=hT;fφi:

Dé?nition 4.On dit qu"une suite de distributionsTn2 D0¹Ωºconverge versT2 D0¹Ωºsi

8φ2 D¹Ωº;hTn;φi !n!1hT;φi:

Exemple 2.SiT2 D0¹Rdºeth2Rd, on dé?nit les distributionsTetτhTen posant

8φ2 D¹Rdº;hT;φi=hT¹xº;φ¹xºi;hτhT;φi=hT¹xº;φ¹x+hºi;

On peut véri?er queτhT!Tquandh!0au sens des distributions. 2

1.2 Dérivation

Dé?nition 5.SiT2 D0¹Ωºetα2Nd, on dé?nit la dérivée partielle@αTpar

8φ2 D¹Ωº;h@αT;φi=¹1ºjαjhT;@αφi:

Exemple 3.La fonction de HeavisideH=1R+admet pour dérivée au sens des distributionsδ0.

Théorème 1.SoitIun intervalle ouvert.

1. Les distributions TsurIvéri?antT0=0sont les fonctions constantes. 2. Pour toute U2 D0¹Iº, il existeT2 D0¹Iºtelle queT0=U. Remarque 2.Plus généralement, siT2 D0¹Rdºest telle que@T@xd=0, alors il existe une distributionS2 D0¹Rd1ºtelle queT¹x1;:::;xdº=S¹x1;:::;xd1ºdans le sens suivant :

8φ2 D¹Rdº;hT;φi=

S¹x1;:::;xd1º;¹

R

φ¹x1;:::;xd1;xdºdxd

Théorème 2(Formule des sauts).Soitfune fonction de classeC1par morceaux sur¼a;b». Onnotea1< ::: 0=ff0g+n i=1¹f¹ai+º f¹aiººδai;

oùff0gdésigne la fonction continue par morceaux égale àf0en dehors de pointsai(et prenant en

lesaiune valeur arbitraire). Théorème 3.SoitIun intervalle ouvert deReta2I.

Si on dé?nit F¹xº=¯x

af¹tºdtavecflocalement intégrable surI, alorsFest une distribution surIdont la dérivée au sens des distributions estf. Ré ciproquement,siFestunedistributionsurIdontladérivéeausensdesdistributionsestune af¹tºdtp.p.x2I:

1.3 Support, distributions à support compact

K jk@αfk1où¹Kjºestune

suite exhaustive de compacts deΩ, etα2Nd, qui lui confère une structure d"espace métrique.

Théorème-Dé?nition 1(Support).SoitTune distribution surΩ. Il existe un plus grand ouvert sur lequelTs"annule. Son complémentaire est appelé support de la distributionT.

de manière unique. Réciproquement, une forme linéaire continue surE¹Ωºdé?nit une distribution

à support compact. On notera doncE0¹Ωºl"ensemble des distributions à support compact. Remarque 3.Toute distribution à support compact est tempérée. 3

2 Transformée de Fourier

2.1 Construction

On rappelle que pourf2L1¹Rdº,ˆf¹ξº=¹ R deiξxf¹xºdxpar dé?nition, et que

8φ2S¹Rdº;¹

R R df¹xºˆφ¹xºdx: Cette formule va nous permettre de prolonger la transformée de Fourier àS0¹Rdº. Dé?nition 6.PourT2S0¹Rdº, on dé?nitˆT:S¹Rdº !Cen posant h

ˆT;φi=hT;ˆφi:

Ceci dé?nit e?ectivement une distribution tempérée

ˆTappelée transformée de Fourier deT.

Exemple 4.

On a bδ0=1. Cette dé?nition pr olongebien les dé?nitions de transformé ede Fourier sur L1etL2. Si μest une mesure de probabilité,ˆμest la fonction caractéristique deμ.

2.2 Propriétés

Théorème 5.L"applicationT7!ˆTréalise un isomorphisme deS0¹Rdºsur lui-même, et b bT=¹2πºdT: Théorème 6.Pour touteT2S0¹Rdºet toutα2Nd, d

2.3 Espaces de SobolevHs

Soits2R. Pourξ2Rd, on noterahξi=¹1+jξj2º12 Dé?nition 7.On dé?nitHs¹Rdº=T2S0¹Rdº j hξisˆT¹ξº 2L2¹Rdº: C"est un espace de Hilbert pour la normekTkHs=khξisˆT¹ξºk2.

Remarque 4.

-¹Hs¹Rdººs2Rest décroissante. En particulier, pours>0, on aHs¹Rdº H0¹Rdº=L2¹Rdº.

Lorsque s=1,H1¹Rdºestbienl"espacedesfonctionsf2L2¹Rdºquiadmettentunedérivée faible dansL2¹Rdº. La normek kHsest équivalente à¹kfk22+kf0k22º12

Théorème 7.Sis>d2

,Hs¹Rdº C0¹Rdºavec injection continue. 4

3 Convolution

3.1 Encore d"autres cadres de convolution

Théorème-Dé?nition 2.SoitT2 D0¹Rdºetφ2C1¹Rdº. On suppose queTouφest à support

compact. On dé?nit la convolution deTetφen posant

Cela dé?nit une fonctionTφde classeC1surRdtelle queSupp¹Tφº Supp¹Tº+Supp¹φº.

Théorème-Dé?nition 3.SoientT;S2 D0¹Rdº. On suppose queTouSest à support compact.

On dé?nit la convolution deTetSen posant

8φ2 D¹Rdº;hTS;φi=hT¹xº;hS¹yº;φ¹x+yºii:

De façon équivalente,

8φ2 D¹Rdº;hTS;φi=T ¹Sφº¹0º:

Théorème 8.SoientT;S2 D0¹Rdºdont l"une est à support compact. (a)TS=ST. (b)8U2 D0¹Rdºà support compact,¹TSº U=T ¹SUº. (c)8T2 D0¹Rdº;δ0T=T. (d)8α2Nd; @α¹TSº=T ¹@αSº=¹@αTº S. (e)Supp¹TSº Supp¹Tº+Supp¹Sº.

3.2 Lien avec la transformée de Fourier

Dé?nition 8.On dit quef2 OMsifest une fonctionC1surRdtelle que pour toutβ2Nd, il existec>0etm2Ntels que

8x2Rd;j@βf¹xºj6c¹1+jxjºm:

Proposition 1.Sif2 OM, alorsT7!fTest dé?nie et continue deS0¹Rdºdans lui-même. Théorème 9.SiTest une distribution surRdà support compact, et siUest une distribution tempérée, alorsTUest tempérée,bT2 OM, et l"on a

TU=bTbU:

5

3.3 Solutions élémentaires

Dé?nition 9.SoitAune distribution à support compact surRd. On dit queE2 D0¹Rdºest solution élémentaire deAsiAE=δ0.

Théorème 10.SoitAune distribution surRdà support compact possédant une solution élémen-

taireE. Soitfune distribution à support compact surRd. 1. L"é quationAu=fadmet au moins une solution donnée paru=Ef. 2. Il e xisteau plus une solution de Au=fqui soit à support compact. Exemple 5.Une solution élémentaire deδ000+δ0est une distributionEtelle queE00+E=δ0. Une fois calculée une telle solution élémentaire, alors pour un second membref, la convolu- tionEf(pour peu qu"elle ait un sens) est un bon candidat de solution deE00+E=f. Le

théorème précédent assure que cela vaut dès quefest est une distribution à support compact.

3.4 Équations d"évolution

Dans cette partie, on considérera des fonctionsu¹t;xºà deux variablest2R,x2Rd.

Dé?nition 10.Siφ2S¹RRdº, on dé?nit la transformée de Fourier partielle (en espace) par

R deiξxφ¹t;xºdx: Siu2S0¹RRdº, on dé?nit la transformée de Fourier partielle par

En particulier, les dérivées par rapport à la variable d"espacexvont être changées en mutipli-

cation par des polynômes, alors que les dérivées par rapport au tempstpassent à travers :

d Remarque 6.En pratique, on aura parfois besoin de ne pas considérer tous les tempst2R. Ainsi, siIest un intervalle ouvert deR, il est possible de dé?nir les distributions partiellement tempérées enxcomme étant les distributionsu2 D0¹IRdºtelles que pour toute fonction

ψ2 D¹Iº, la distributionψ¹tºu¹t;xº(prolongée par zéro) est un élément deS0¹RRdº.

Remarque 7.En pratique, on sera parfois face à des équations d"évolution du type tu=P¹@xºu

oùP¹@xºest une combinaison linéaire de dérivées partielles par rapport aux variables d"espace.

On retiendra essentiellement qu"on pourra prendre la transformée de Fourier par rapport àx,

en considérant le paramètre de tempstcomme ?xé. Ainsi dans le domaine de Fourier l"opéra-

teurP¹@xºdevient la multiplication par le polynômeP¹iξºde sorte qu"on obtient, "sur chaque

fréquenceξ" une EDO linéaire que l"on résout aisément. 6

3.5 Distributions périodiques

Dé?nition 11.Une distributionU2 D0¹Rºest ditea-périodique (a>0) siτaU=U. Exemple 6.Soita>0, on dé?nit le peigne de DiracΠapar

8φ2 D¹Rº;hΠa;φi=Õ

n2Zφ¹naº: Ainsi,Πaest une distributiona-périodique, qui est tempérée. Dé?nition 12.On dit qu"une suite¹cnºn2Zde nombres complexes est à croissance lente s"il existek2Ntels quecn=O¹jnjkº. Théorème 11.Soit¹cnºune suite à croissance lente. 1.

La série

n2Zc nδn=limN!+1Õ jnj6Nc nδn converge au sens des distributions, et dé?nit une distribution tempérée. 2.

La série

n2Zc neinx:=limN!+1Õ jnj6Nc neinx converge au sens des distributions, et dé?nit une distribution2π-périodique. Théorème 12.SoitUune distribution2π-périodique surR. 1. Il e xisteau moins une distribution uà support compact telle queU=uΠ2π. 2.

Pour tout n2Z, le nombre

c n¹Uº=12πhu¹xº;einxi ne dépend pas du choix deu, et sera appelén-ième coe?cient de Fourier deU. 3. On a

U=Õ

n2Zc n¹Uºeinx où la série désigne la limite quandN!+1deÕ jnj6Nau sens des distributions.

Exemple 7.L"ingrédient essentiel des résultats précédents est la formule sommatoire de Pois-

son, qui au sens des distributions peut s"écrire

2π=12πcΠ1i.e.Õ

k2Zδ

2kπ=12πÕ

n2Ze inx: Ceci n"est autre que le développement en série de Fourier du peigne de DiracΠ1. 7

4 Exercices prioritaires

4.1 Exercices sur le calcul de distributions

Exercice 1

. Calculs de distributions

1.Calculer les dérivées première et seconde dex7! jxj.

2.Pourα2N, calculer@αδ0dansD0¹Rº.

3.Pourα2N, montrer queF¹xαº=¹2πºiα@αδ0. dansS0¹Rº.

4.Calculerccosetcsin.

Exercice 2

.IDEVJValeur principale de1x

1.Est-ce quex7!1x

dé?nit une distribution surR?

2.Pourε>0, on posefε¹xº=1x

1jxj>ε.

Véri?er quefε2S0¹Rºet montrer quelimε!0fεexiste au sens des distributions.

Ainsi, on dé?nit la valeur principale de

1x (souvent notéevp¹1x

º) par

8φ2S¹Rº;hV;φi=limε!0¹

jxj>εφ¹xºx dx:

3.Montrer que ceci dé?nit bien une distribution tempéréeVsurR.

4.Montrer quexV=1.

6.En déduirebHetcsgn.

7.Pourφ2 D¹Rº, on dé?nit la convolution

Vφ¹xº=limε!0¹

jyj>εφ¹xyºy dy: Montrer queφ7!Vφpeut se prolonger en un opérateur linéaire continu surL2¹Rº.

8.(bonus) Montrer quelogjxjdé?nit une distribution surRet calculer sa dérivée.

Exercice 3. ÉquationxT=0[DW]

1.Soitθ2 D¹Rºtelle queθ¹0º=1. Montrer que pourφ2 D¹Rº, il existeψ2 D¹Rºtelle que

2.SoitT2 D0¹Rºtelle quexT=0. Montrer queT=cδ0oùcest une constante.

3.Résoudre dansD0¹Rºl"équationxT=1. (On pourra s"inspirer de l"Exercice 2.)

8 Exercice 4. Transformée de Fourier de l"arctangente [DW]

1.On rappelle queF11+x2

=πejξj. Montrer queξ›arctan¹ξº=iπejξj:

2.On dé?nitT¹xº=vpejxjx

en posant8φ2 D¹Rº;hT;φi=¹

Rφ¹xº φ¹0ºx

ejxjdx: Montrer queTest une distribution tempérée qui véri?exT¹xº=ejxj.

3.En déduire la transformée de Fourier de l"arctangente.

4.En déduire la transformée de Fourier def¹xº=arctan¹1x

Exercice 5

. Équations de convolution

1.ConsidéronsA=Õ

jαj6ma

α@αδ. Calculer la convolutionAu.

2.Écrire l"équationΔu=fsous formeAu=f.

3.Écrire l"équationu¹x+hº u¹xº=f¹xºsous formeAu=f.

Exercice 6*. Transformée de Fourier des distributions à support compact

SoitT2 D0¹Rºà support compact. On rappelle queTs"identi?e à un élément deE0¹Rº.

1.Montrer que pourz2C,F¹zº=hT¹xº;eizxiest bien dé?nie.

2.Montrer queFjRdé?nit une distribution qui coïncide avecˆT.

3.Montrer que la fonctionFest holomorphe surC.

4.En déduire que siTetˆTsont à supports compacts, alorsT=0.

Exercice 7*. Un cas de convolution

SoientT2S0¹Rdºetφ2S¹Rdº. La convolution deTetφest la fonctionC1dé?nie par Exercice 8*. Distributions de support réduit à zéro

SoitT2 D0¹Rºtelle queSupp¹Tº f0g.

1.On ?xeθ2C1c¹R;»0;1¼ºà support dans¼ 1;1»et valant1sur»12

;12

¼. Montrer queT=θT.

2.En déduire qu"il existe un compactKR,c>0etp2Ntels que

8φ2 D¹Rº;jhT;φij6csup

j6psup

Kjφ¹jºj:

3.Soitφ2 D¹Rºtelle queφ¹jº¹0º=0pour toutj6p. Montrer quehT;φi=0.

4.Montrer qu"il existe des constantesa0;:::;aptelles queT=Íp

j=0ajδ¹jº 0. 9

4.2 Exercices sur les EDO et EDP linéaires

Exercice 9

. Équationu00+u=fsurR

1.EnutilisantlatransforméedeFourier,donnerunesolutionélémentaireE2 D0¹Rºdeδ000+δ0.

2.Remarquer que les restrictions deEàR+etRsont solutions dey00=y.

Retrouver ainsi le résultat de la question précédente en adaptant les conditions initiales en0.

3.Soitf2L2¹Rº.

a.Résoudreu00+u=fdansS0¹Rº. b.Écrire la solution comme une convolution defpar une fonction à expliciter.

Exercice 10

.IDEVJÉquationu00+u=fsurT

Soitf2L2¹0;2πº. On considère l"équation di?érentielle avec conditions de bord périodiques

(u00+u=f u¹0º=u¹2πº: On cherche des solutions au sens faible, c"est-à-dire qu"on chercheu2H1¹Tºtelle que

8φ2H1¹Tº;¹

2π 0

¹u0φ0+uφº=¹

2π 0 fφ: On notera¹cn¹fººn2Zles coe?cients de Fourier de la fonctionf.

1.Soitu2H1¹Tº. Montrer queuest solution faible si et seulement si8n2Z;cn¹uº=cn¹fº1+n2:

2.On noteT fla solution faible associée au second membref2L2¹Tº.

Montrer queT:L2¹Tº !H1¹Tºest une application linéaire continue.

3.Montrer queT:L2¹Tº !L2¹Tºest un opérateur compact (c"est-à-dire que l"image parTde

la boule unité ferméeBdeL2¹Tºest relativement compacte dansL2¹Tº).

4.Montrer queTest un opérateur de convolution par un noyau (périodique) qu"on explicitera.

Exercice 11. Équationu00=f

1.Calculer les solutions élémentaires deδ00

0.

2.Soitf2 E0¹Rº. Résoudre l"équationu00=fdansD0¹Rº.

10

Exercice 12*. Équation de Poisson -Δu=f

Soitf2S0¹Rdº. On cherche les solutions faibles de l"équationΔu=f:

1.On suppose queˆfs"annule au voisinage de0, c"est-à-dire qu"il exister>0tel queˆfs"annule

surB¹0;rº. Montrer que l"équationΔu=fadmet une solutionu2S0¹Rdº. Que se passe-t-il si l"on enlève l"hypothèse sur

ˆf?

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