[PDF] CORRIGES DE PROBLEMES DEXAMEN DANALYSE DE P3





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Fourier Laplace

https://www.math.univ-paris13.fr/~tournier/fichiers/lyon1/math4.pdf



Distributions tempérées

Exercices corrigés. Écrire l'équation u(x + h) −u(x) = f (x) sous forme A ∗u = f . Exercice *. Transformée de Fourier des distributions à support compact.



CORRECTION DU TD 6 : TRANSFORMÉE DE FOURIER Contents 1

Contents. 1. La transformée de Fourier des distributions : motivations et rappels de cours. 1. 2. Exercice 0: Propriétés élémentaires de transformée de 



Examen Partiel

20/11/2019 Fourier de f par. @ξ P R pJfqpξq “. 1 ? 2π ż. R e´ixξfpxqdx. Si T est une distribution sur R



Révisions : Exercices corrigés

EXERCICES :Distributions. 14. 3.1. Exercice 1.Distributions réguli`eres. 14. 3.2 Exercice 1.Calcul de transformée de Fourier. Pour α > 0 on pose f(x) = e−α ...





1 Exemples et contre-exemples 2 Transformée de Fourier

Voir la correction. Exercice 1.2: Contre-exemples. 1. Montrer que la fonction localement intégrable exp n'est pas une distribution tempérée.



CORRIGES DE PROBLEMES DEXAMEN DANALYSE DE P3

Exercice2. 1) Calculer les transformées de Fourier des distributions suivantes : Exercice 2. 1) Une distribution T admet une transformée de Laplace pour tout.



Distributions Transformation de Fourier des distributions tempérées

δn propriété que vérifie aussi la gaussienne x ↦→ e−πx2 . 3 Exercices. Exercice 3.1. Montrer que pour tout entier naturel k



THÉORIE DES DISTRIBUTIONS

Transformation de Fourier de distribution . . . . . . . . . 91. Eqs. 87 ¨ Pierre Meunier Exercices d'algèbre et d'analyse corrigés et commentés : classes.



Fourier Laplace

https://www.math.univ-paris13.fr/~tournier/fichiers/lyon1/math4.pdf



Références Table des matières Notations

Théorie des Distributions et Analyse de Fourier. Exercices corrigés. ... Cette formule va nous permettre de prolonger la transformée de Fourier à S (R.



Références

Théorie des Distributions et Analyse de Fourier. Exercices corrigés. Masson . ... On trouvera une bonne introduction à la transformée de Fourier (sur.



Examen Partiel

20 nov. 2019 Si T est une distribution sur R on note JT sa transformée de Fourier. Exercice 1. Pour x P R on pose fpxq “ Hpxqcospxq. 1. Vérifier que f est ...



Feuille dExercices 5

fonction test ?(x) = e?x2/2. Exercice 5.2.— Calculer la transformée de Fourier des distributions tempérées sur R définies par les fonctions suivantes :.



CORRIGES DE PROBLEMES DEXAMEN DANALYSE DE P3

4) Calculer la dérivée f0(x) au sens des distributions ainsi que sa transformée de Fourier Ff0(?) de f0. En déduire Ff(?) . Comparer avec 3). EXERCICE 3 Soit l' 



1 Exemples et contre-exemples 2 Transformée de Fourier

Calculer les transformée de Fourier de la fonction constante égale à 1 de la masse de dirac en Exercice 2.3: Distribution diagonale.



TD 4 Convolution

http://math.univ-lyon1.fr/~mironescu/resources/maths4_td_4_support.pdf



Sans titre

5 juil. 2016 La transformation de Fourier d'une fonction f ? L1(Rn) est la fonction F(f) ? L1(Rn) ... 5.3 L'espace S?(Rn) des distributions tempérées.



TD 5 Transformation de Laplace

14 oct. 2016 Exercices corrigés. 8. Feuilles de calcul Maple. ... distributions permettant de mieux comprendre et étayer le calcul symbolique.



Transformée de Fourier - Université Sorbonne Paris Nord

Chapitre6-TravauxDirigés(Corrigés) Transformée de Fourier Exercice 1 DéterminerlatransforméedeFourierdesfonctionssuivantes: 1 f 1(t) vaut1 sur[ 1;1] et0 partoutailleurs 2 f 2(t) = U(t+1)U (t 1) 3 f 3(t) vaut1 sur[ T;T] et0 partoutailleurs(T>0) 4 f 4(t) = e jtj T (T>0) 5 f 5(t) = sint t 6 f 6(t) = 1 1+t2 Solution 1 1 Onapour!6



Série de Fourier - Université Sorbonne Paris Nord

V Propriétés de la transformation de Fourier La relation établie au paragraphe précédent entre les transformées de Laplace et de Fourier nous permet de direque que les propriétés des opérateurs L et F sont semblables On admettra les propriétés suivantes: 1 F est linéaire En e¤et quels que soient f g fonctions de L1(R) et



Theorie´ des distributions - Université Sorbonne Paris Nord

[1]J M Bony Cours d’analyse Theorie des distributions et analyse de Fourier´ Les editions´ de l’Ecole Polytechnique Ellipses [2]G Carlier Notes de cours : Analyse fonctionnelle https ://www ceremade dauphine fr/ carlier/poly2010 pdf [3]J Faraut Calcul integral´ 2006 EDP Sciences



Chapitre 12 Transform´ee de Fourier des distributions

Le produit de convolution et les transform´ees de Fourier des distributions temp´er´ees usuelles permettent de d´emonter facilement que la transform´ee de Fou-rier des distributions temp´er´ees v´eri?e les mˆemes propri´et´es que la transform´ee de Fourier des fonctions



TD n°6 : Fourier - Correction

La transformée de Fourier (notée ???? ou TF) d’une fonction f donnée est une opération qui transforme une =???? 1 2???? ???????? +? ?? Remarque : Cette définition est celle adoptée par les physiciens on peut aussi définir sans le facteur 1 2???? Il suffit en fait que le produit des constantes dans (1) et (2) fasse 1/2?



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Exercices - Transformation de Fourier:corrigé Onexprimelemembrededroitedecetteégalitéenfonctionde fgrâceàuneintégrationpar partiesenposantv(t) = ? tetu(t) = 1 ix?1 e (ix?1)t Puisqueu(0)v(0) = 0 etlim t?+?u(t)v(t) = 0onendéduit f0(x) = ?i 2(ix?1) Z +? 0 e?t ? t eitxdt = ?i(?ix?1) 2(x2 +1) f(x) = x+i 2(x2 +1) f(x)

Comment calculer la série de Fourier ?

= ( 1)netein?= ( 1)n,doncc n= 1 2?(1 in) ( 1)n(e? e?) = ( n1) sinh? ?(1 in) . 2.La fonction f est de classe C1, donc la série de Fourier converge simplement vers la f : x 7! 1 2 (f(x+) + f(x )).

Comment calculer la transformee de Fourier ?

Th´eor`eme 12.1La transform´ee de Fourier est une application lin´eaire bijective de S0dans S0et on a : F¡1(F(T)) =F(F¡1(T)) =T(12.5) et comme pour les fonctions F¡1(T)(”) =F(T))(¡”) (12.6) On retrouve aussi les propri´et´es du produit de convolution.

Qu'est-ce que la transformation de Fourier ?

Il est donc naturel que toutes les propriet´ ´es de la transform ee de´ Fourier dans S(Rd) se transposent au cadre des distributions dans S0(Rd). Theor´ eme` 7.3.2. La transformation de Fourier F: S0(Rd) !S0(Rd) est une application lineair´ e, continue, bijective et de recipr´ oque continue.

Qu'est-ce que la Theorie des distributions ?

Nous allons maintenant voir, et c’est l`a l’un des concepts les plus etonnants de la´ theorie des distributions, que l’on peut d´ eriver´ a n’importe quel ordre une distribution quel-` conque et que cette d´erivation est une op eration continue. La situation est donc totalement´ differente du cadre des fonctions d´ erivables classiques.

Université Mohammed V-Agdal

Département de mathématiques

et Informatique

Faculté des sciences

Rabat

CORRIGES DE PROBLEMES D'EXAMEN

D'ANALYSE DE P3

DISTRIBUTIONS ET TRANSFORMEES

DE FOURIER ET DE LAPLACE

Pr. A . Bourass

1

1(Janvier 99)

Exercice 1

Soitune fonction continue surRtelle que0()1,()=1

si||1et()=0si||2.Onpose q ),pour=12

On munitRde la mesure de Lebesgue. Soit

1 (R), (espace des fonctions

Lebesgue intégrables surR). On pose

i) Montrer que le support de est contenu dans[22] ii) Montrer que 1 (R), pour tout=12 ii) Montrer queR R R R

Exercice 2

On munit=[]de la mesure de lebesgue et on considère l'espace 2 ()des fonctions réelles de carré intégrable sur, sur lequel on définit le produit scalaire usuelhi=R ()(). On rappelle que la famille =n 1 2 sin cos 1o constitue une base hilbertienne de l'espace de

Hilbert

2 ()et quekk 22
=hi=R 2 i) CalculerD 1 2 E D sin E etD cos E ii) Montrer quek+ P =1 (1) sin n k 2 0. ii) Calculerkk 22
puis utiliser i) pour montrer que P =11 2 2 6

Exercice 3

On considère la fonctiondéfinie pour toutR

par ,où()est la fonction d'Heaviside définie surRpar ()=0si0et()=1si0. i) Justifier pourquoidéfinit-elle une distribution. ii) Calculer au sens des distributions 2 2 g{

Exercice 4

Soit la fonction de deux variables réelles()=

2 2 4 avec (0)=0.

1) Vérifier queest de classeC

1 surR 2

2) Calculer au sens des distributionsoùest l'opérateur diérentiel

Cw 2 2

3) SoitD(R

2 ),montrerqueR 0 R 2 4 2 2 C{ 2 ()=R 0 R 2 4 2 Cw 2

Solution

Exercice1

i) Il est demandé de montrer une inclusion, ce qui est toujours plus facile qu'une égalité, ne serait-ce que parcequ'une égalité est une double inclusion. Rappelons que le support d'une fonction est le complémentaire du plus grand ouvert où cette fonction est nulle. Si[22],ona| q |2;par conséquent q

¢=0.Ainsi,

est nulle dans l'ouvert ]2[]2+[ce qui implique par définition quesupp( [22]. ii) Nous disposons de deux moyens pour vérifier qu'une fonctionest intégrable : ou bien on montre queR ||+, oubienonmajore|| par une fonction qui est intégrable. Dans notre situation, on a ()()||()|, d'où le résultat demandé puisqueest intégrable . iii) Dans cette question, il s'agit de montrer qu'une suite d'intégrales converge vers une intégrale. Dans pratiquement tout les cas, c'est le théorème de convergence dominée de Lebesgue qui permet de résoudre ce genre de problème. Vérifions donc les hypothèses du théorème de Lebesgue. D'après ce qui précède les sont intégrables et| |1,avecintégrable , Il reste

àmontrerque

()()pour toutR.Eneet, soitRet

Ntel que||. Pour touton a

()=1,( car||) et par suite ()=()pour tout.Autrementdit,étant fixé, il existeNtel que| ()()|=0pour tout.C'està dire que ()()pour toutR. Le théorème de Lebesgue permet alors d'armer queR R ()R R ()lorsque .

Exercice 2

i) Les quantités à calculer sont les coéficients de la fonction()= sur la base hilbertienne donnée. les calculs sont élémentaires : D 1 2 E =R 2 =0D sin E =R sin 1 cos q 1 R cos 1 cos q =(1) +12 q D cos E =R cos 1 sin q 1 R sin=0 ii) Comme la fonction()=est dans 2 (), elle s'ecrit dans la base hilbertienne,= X =0 h i ,avec . D'après i) , tous les produitsh isont nuls sauf ceux ensin.Onobtient X =1 (1) +12 qsin =2 X =1 (1) +1sin q . Ces'égalités étant au sens de 2 (),celasignifiequelasérie2 X =1 (1) +1sin q converge dans 3 l'espace normé 2 ()vers la fonction. Et cela s'ecrit k2 X =1 (1) +1sin n k 2 =k+2 X =1 (1) sin n k 2

0lorsque

iii) On akk 22
=R 2 2 3 3 . D'autre part, d'après la formule de Bessel-Parceval on a ,kk 22
X =1 |D sin E 2 X =14 q 2 ,(lesautres termes sont nuls d'après i) ). On a donc 2 3 3 X =14 q 2 .Onendéduitl'égalité demandée X =11 2 2 6

Exercice 3

i) La fonctionétant définiecontinuepartoutsurR,saufpeut être en0, est localement intégrable surR(intégrable sur tout intervalle fermé borné deR). Elle définit donc une distribution surR. ii) On a 2 2 g{ 3 g{ 3 2 g{ 2 .Lafonction etant de classeC surR,ona g{ 0 car 0 =0.

En dérivant une seconde fois, on obtient

2 g{ 2 0

¢+¡2

2 et tenant compte du fait que 0 =0etquotesdbs_dbs6.pdfusesText_11
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