Feuille dExercices 5 PDF fonction test ?(x) = e?x2/

Fourier Laplace

https://www.math.univ-paris13.fr/~tournier/fichiers/lyon1/math4.pdf

Distributions tempérées

Exercices corrigés. Écrire l'équation u(x + h) −u(x) = f (x) sous forme A ∗u = f . Exercice *. Transformée de Fourier des distributions à support compact.

CORRECTION DU TD 6 : TRANSFORMÉE DE FOURIER Contents 1

Contents. 1. La transformée de Fourier des distributions : motivations et rappels de cours. 1. 2. Exercice 0: Propriétés élémentaires de transformée de

Examen Partiel

20/11/2019 Fourier de f par. @ξ P R pJfqpξq “. 1 ? 2π ż. R e´ixξfpxqdx. Si T est une distribution sur R

Révisions : Exercices corrigés

EXERCICES :Distributions. 14. 3.1. Exercice 1.Distributions réguli`eres. 14. 3.2 Exercice 1.Calcul de transformée de Fourier. Pour α > 0 on pose f(x) = e−α ...

1 Exemples et contre-exemples 2 Transformée de Fourier

Voir la correction. Exercice 1.2: Contre-exemples. 1. Montrer que la fonction localement intégrable exp n'est pas une distribution tempérée.

CORRIGES DE PROBLEMES DEXAMEN DANALYSE DE P3

Exercice2. 1) Calculer les transformées de Fourier des distributions suivantes : Exercice 2. 1) Une distribution T admet une transformée de Laplace pour tout.

Distributions Transformation de Fourier des distributions tempérées

δn propriété que vérifie aussi la gaussienne x ↦→ e−πx2 . 3 Exercices. Exercice 3.1. Montrer que pour tout entier naturel k

THÉORIE DES DISTRIBUTIONS

Transformation de Fourier de distribution . . . . . . . . . 91. Eqs. 87 ¨ Pierre Meunier Exercices d'algèbre et d'analyse corrigés et commentés : classes.

Fourier Laplace

https://www.math.univ-paris13.fr/~tournier/fichiers/lyon1/math4.pdf

Références Table des matières Notations

Théorie des Distributions et Analyse de Fourier. Exercices corrigés. ... Cette formule va nous permettre de prolonger la transformée de Fourier à S (R.

Références

Théorie des Distributions et Analyse de Fourier. Exercices corrigés. Masson . ... On trouvera une bonne introduction à la transformée de Fourier (sur.

Examen Partiel

20 nov. 2019 Si T est une distribution sur R on note JT sa transformée de Fourier. Exercice 1. Pour x P R on pose fpxq “ Hpxqcospxq. 1. Vérifier que f est ...

Feuille dExercices 5

fonction test ?(x) = e?x2/2. Exercice 5.2.— Calculer la transformée de Fourier des distributions tempérées sur R définies par les fonctions suivantes :.

CORRIGES DE PROBLEMES DEXAMEN DANALYSE DE P3

4) Calculer la dérivée f0(x) au sens des distributions ainsi que sa transformée de Fourier Ff0(?) de f0. En déduire Ff(?) . Comparer avec 3). EXERCICE 3 Soit l'

1 Exemples et contre-exemples 2 Transformée de Fourier

Calculer les transformée de Fourier de la fonction constante égale à 1 de la masse de dirac en Exercice 2.3: Distribution diagonale.

TD 4 Convolution

http://math.univ-lyon1.fr/~mironescu/resources/maths4_td_4_support.pdf

Sans titre

5 juil. 2016 La transformation de Fourier d'une fonction f ? L1(Rn) est la fonction F(f) ? L1(Rn) ... 5.3 L'espace S?(Rn) des distributions tempérées.

TD 5 Transformation de Laplace

14 oct. 2016 Exercices corrigés. 8. Feuilles de calcul Maple. ... distributions permettant de mieux comprendre et étayer le calcul symbolique.

Transformée de Fourier - Université Sorbonne Paris Nord

Chapitre6-TravauxDirigés(Corrigés) Transformée de Fourier Exercice 1 DéterminerlatransforméedeFourierdesfonctionssuivantes: 1 f 1(t) vaut1 sur[ 1;1] et0 partoutailleurs 2 f 2(t) = U(t+1)U (t 1) 3 f 3(t) vaut1 sur[ T;T] et0 partoutailleurs(T>0) 4 f 4(t) = e jtj T (T>0) 5 f 5(t) = sint t 6 f 6(t) = 1 1+t2 Solution 1 1 Onapour!6

Série de Fourier - Université Sorbonne Paris Nord

V Propriétés de la transformation de Fourier La relation établie au paragraphe précédent entre les transformées de Laplace et de Fourier nous permet de direque que les propriétés des opérateurs L et F sont semblables On admettra les propriétés suivantes: 1 F est linéaire En e¤et quels que soient f g fonctions de L1(R) et

Theorie´ des distributions - Université Sorbonne Paris Nord

[1]J M Bony Cours d’analyse Theorie des distributions et analyse de Fourier´ Les editions´ de l’Ecole Polytechnique Ellipses [2]G Carlier Notes de cours : Analyse fonctionnelle https ://www ceremade dauphine fr/ carlier/poly2010 pdf [3]J Faraut Calcul integral´ 2006 EDP Sciences

Chapitre 12 Transform´ee de Fourier des distributions

Le produit de convolution et les transform´ees de Fourier des distributions temp´er´ees usuelles permettent de d´emonter facilement que la transform´ee de Fou-rier des distributions temp´er´ees v´eri?e les mˆemes propri´et´es que la transform´ee de Fourier des fonctions

TD n°6 : Fourier - Correction

La transformée de Fourier (notée ???? ou TF) d’une fonction f donnée est une opération qui transforme une =???? 1 2???? ???????? +? ?? Remarque : Cette définition est celle adoptée par les physiciens on peut aussi définir sans le facteur 1 2???? Il suffit en fait que le produit des constantes dans (1) et (2) fasse 1/2?

Searches related to distribution et transformation de fourier exercices corrigés PDF

Exercices - Transformation de Fourier:corrigé Onexprimelemembrededroitedecetteégalitéenfonctionde fgrâceàuneintégrationpar partiesenposantv(t) = ? tetu(t) = 1 ix?1 e (ix?1)t Puisqueu(0)v(0) = 0 etlim t?+?u(t)v(t) = 0onendéduit f0(x) = ?i 2(ix?1) Z +? 0 e?t ? t eitxdt = ?i(?ix?1) 2(x2 +1) f(x) = x+i 2(x2 +1) f(x)

Comment calculer la série de Fourier ?

= ( 1)netein?= ( 1)n,doncc n= 1 2?(1 in) ( 1)n(e? e?) = ( n1) sinh? ?(1 in) . 2.La fonction f est de classe C1, donc la série de Fourier converge simplement vers la f : x 7! 1 2 (f(x+) + f(x )).

Comment calculer la transformee de Fourier ?

Th´eor`eme 12.1La transform´ee de Fourier est une application lin´eaire bijective de S0dans S0et on a : F¡1(F(T)) =F(F¡1(T)) =T(12.5) et comme pour les fonctions F¡1(T)(”) =F(T))(¡”) (12.6) On retrouve aussi les propri´et´es du produit de convolution.

Qu'est-ce que la transformation de Fourier ?

Il est donc naturel que toutes les propriet´ ´es de la transform ee de´ Fourier dans S(Rd) se transposent au cadre des distributions dans S0(Rd). Theor´ eme` 7.3.2. La transformation de Fourier F: S0(Rd) !S0(Rd) est une application lineair´ e, continue, bijective et de recipr´ oque continue.

Qu'est-ce que la Theorie des distributions ?

Nous allons maintenant voir, et c’est l`a l’un des concepts les plus etonnants de la´ theorie des distributions, que l’on peut d´ eriver´ a n’importe quel ordre une distribution quel-` conque et que cette d´erivation est une op eration continue. La situation est donc totalement´ differente du cadre des fonctions d´ erivables classiques.

Universite de Paris XI M1 { Distributions

Mathematiques 1er semestre 09/10Feuille d'Exercices 5

Distributions temperees - Transformee de FourierExercice 5.1.|SoitTnla distribution donnee par la fonctionfn(x) =1n

n X k=0x 2kk!.

1. Montrer queTn!0 dansD0(R).

2. Montrer queTn2 S0(R), mais que (Tn) ne converge pas dansS0(R). On pourra utiliser la

fonction test(x) =ex2=2. Exercice 5.2.|Calculer la transformee de Fourier des distributions temperees surRdenies par les fonctions suivantes :

1.eiax(a2R), cosx, coskx(k2N),xsinx,sin(ax)x

(a >0).

2.eajxj(a >0),x1 +x2.

Exercice 5.3.|On noteHla fonction donnee parH(x) =exH(x), ouHest la fonction de

Heaviside. On note aussiG(x) =H(x) etG(x) =H(x).

1. Montrer que toutes ces fonctions denissent des distributions deS0(R), et calculer leur

transformee de Fourier. Retrouver la transformee de Fourier de sinxx

2. En deduire que (cf. Exercice 2.3)0=12ilim

!0+(1xi1x+i).

3. Utiliser ce qui precede pour calculer la transformee de Fourier de chacune des distributions

suivantes, apres avoir montre qu'il s'agit de distributions temperees : vp( 1x ) Pf(1x

2) Pf(H(x)x

)1(x+i0)2 Exercice 5.4.|Pour >0 on poseP=D2+iD+ 1, ouDest l'operateur dierentiel surR deni parD=1i ddx

1. Resoudre dansD0(R) l'equationP0u=. Quelles sont les solutions temperees?

2. Quelles sont les solutions tempereesude l'equationPu=?

3. Determiner la limite dansD0(R) de la suiteu.

Exercice 5.5.|Soit!un nombre reel strictement positif. On considere l'equation dierentielle sur la droite reelle, x d2udx

2+ (1!2x)u= 0:(E)

1. On designe par

!l'espace vectoriel des solutions de l'equation (E) qui sont des distributions temperees surR. Montrer que les transformees de Fourier des elements de !verient une equation dierentielle lineaire surR. Resoudre cette equation. Quelle est la dimension de

2. Soitfun element de !.

a) Montrer quefest une fonction continue et de carre integrable surR. b) Montrer en outre que la fonctionx7!xf(x) est de carre integrable, et en deduire quef est integrable. c) On donne Z +1

1dt(t2+ 1)2=2

. Calculer, pourf6= 0,q(!) = R+1

1f(x)dx2R

1jf(x)j2dx.

Exercice 5.6.|DansC, on note@z

=12 (@x+i@y), et on dit qu'une distributionT2 D0(C) est holomorphe si@z T= 0.

1. Montrer que les seules distributions holomorphes et temperees sont les polyn^omes enz.

2. Soitfdenie surCparf(z) =1z

. Montrer quefdenit une distribution temperee surC et calculer@z bf.

3. On rappelle que

1z est une solution elementaire de@z . Deduire de ce qui precede un calcul de bf.

Exercice 5.7.|Pour2 S(R2) on posehT;i=Z

(x;x)dx.

1. Montrer queT2 S0(R2).

2. On se propose de calculer

bT. a) Soit 2 S(R2). Montrer que l'on ahbT; i= lim!0I; I=Z R ex2b (x;x)dx. b) En exprimant b (x;x) montrer que l'on aI= 2p

R Re2 (;2p)d d:

c) En deduire bT. Exercice 5.8.|Soitf2L1(R3) une fonction a support compact telle queZ R

3f(x)dx= 0:

Etablir quebf() =O(kk) au voisinage de= 0.

2. En deduire qu'il existe une unique solutionu2L2(R3) de l'equationu=f.

3. Ceci reste-t-il vrai sans l'hypotheseZ

3f(x)dx= 0?

4. Que peut-on dire de la regularite deua l'exterieur du support def?

Exercice 5.9.|Soit >0. On noteW2 S0(R) la distribution denie parW=X k2Z k.

1. Montrer que les ditributions tempereesuveriant

(0)u= 0 et (e2ix=1)u= 0 sont exactement les multiples deW.

2. En deduire que

cW=C()W2=pour une certaine constanteC().

3. CalculerC() en utilisant une fonction test bien choisie.

4. En deduire la formule de Poisson : pourf2 S(R),

X n2Zf(2n) =12X n2Z^ f(n): Exercice 5.10.|Parametrixe des operateurs elliptiques a coecients constants.

On considere l'operateur dierentiel d'ordremsurRn

P=X jjma un operateur dierentiel surRna coecients constantsa2C. Pour= (1;;n)2Rnet

2Nn, on note=1122nn, et on considere les polyn^omes

p() =X jjma (i)etpm() =X jj=ma (i):

1. Verier que pour touteT2 S0(Rn), on aF(P(T)) =pF(T).

2. On dit quePest elliptique si son symbole principalpm() ne s'annule qu'en= 0.

a) Les operateurs suivants sont-ils elliptiques : =Pn i=1@2iet ksurRn,@z =12 (@x+i@y) surC'R2,

Q=@2@t

2xetC=@@t

xagissant dansRtRnx? b) SoitP=X

1i;jna

i;j@2@x i@xj+X 1inb i@@x i+cun operateur d'ordre 2, avecai;j=aj;i2R. A quelle condition sur la matriceA= (ai;j),Pest-il elliptique? On suppose desormais quePest un operateur elliptique.

3. Montrer qu'il existeC0>0 tel quejpm()j C0kkmpour tout2Rn. En deduire qu'il

existeC1>0 etR >0 tels quejp()j C1kkmpour toutkk R.

4. Soit2C10(Rn) veriant() = 1 pourkk R. On noteq=1p

Montrer queq2 S0(Rn). En deduire qu'il existe une distributionE2 S0(Rn) etr2 S(Rn) telles quePE=0+r. (Es'appelle une parametrix deP.)

5. a) Soit2Nn. Montrer qu'il existek2Ntel que@(xE) soit continue sijj k.

On pourra montrer que la transformee de Fourier de@(xE)2L1(Rn) pourjjassez grand. b) En deduire queE2C1(Rnn f0g).

6. SoitUun ouvert deRn. Montrer que si une distributionT2 D0(U) satisfaitPT=favec

f2C1(U), alorsT2C1(U). Exercice 5.11.|Pourf2 S0(Rx) ett0 on poseu(t) =F(et2bf):

1. Montrer queu(t) est bien denie dansS0(Rx):

2. Montrer que sif2Hs(Rx) alors, pour toutt0 on au(t)2Hs(Rx) et

ku(t)kHs kfkHs

3. On suppose quef2L2(Rx).

Montrer que pour toutt >0 et toutk2Non aDkxu(t)2L2(Rx) et il existe une constante

C >0 telle quekDkxu(t)k Ct

k2 kfkL2.

4. a) On suppose quef2L1(Rx).

Montrer que pour toutt >0 on a

u(t) =1(4t)12 Z e jxyj24tf(y)dy: b) En deduire une majoration deu(t) dansL1(Rx) pourt >0.

5. On supposef2L1(Rx) etxf2L1(Rx).

a) Montrer que bf2C1(R)\L1(R). b) Montrer qu'il existeC >0 telle que j bf()bf(0)j Cjj kxfkL1 pour tout2R. c) On posev(t;) = (bf()bf(0))et2. Montrer qu'il existeC >0 telle que jv(t;)j Ct kxfkL1: d) En deduire que l'on peut ecrire u(t) =Z f(x)dx1(4t)12 ejxj24t+R(t) ouR(t)2L1(Rx) et il existe une constanteC >0 telle que kR(t)kL1Ct kxfkL1: Exercice 5.12.|PourA2GLn(R) etT2 D0(Rn), on noteTAla forme lineaire denie sur C

10(Rn) parhTA;i=1detAhT;A1i.

1. Montrer queTAest une distribution.

2. Montrer que, pourT2 S0(Rn),\TA=1detAbT(tA)1.

3. Montrer que la transformee de Fourier d'une distribution homogene de degreest homogene

de degren.

4. On veut calculer la transformee de FourierTde la distributionx1=2

(a) Montrer queTdoit verier l'equation dierentielleT0+12 T= 0. (b) Resoudre cette equation, et en deduire queT=C+1=2 ++C1=2 (c) Montrer queC+C=p. Exercice 5.13.|(Methode de la phase stationnaire pour les phases quadratiques) SoitAune matricennsymetrique et inversible.

1. On veut calculer la transformee de Fourier de la distribution temperee denie par la fonction

f(x) =eihAx;xi, ou >0. (a) On poseI(z) =Z +1 0 ezx2=2dxpourz2C. CalculerI() pour2R+. En deduire

I(z) pour Rez0.

(b) Soita2R. Montrer que la fonctiong(x) =eiax2=2denit un element deS0(R). Former une equation dierentielle simple satisfaite parg. (c) Montrer que ^g() =Cei2=2apour un certainC2C. DeterminerCen calculant h^g;ex2=2i. (d) Calculer ^fdans le cas ouAest diagonale. (e) Dans le cas general, en deduire que f() =1(2)n=2e isign(A)=4jdetAj1=2eihA1;i=2:

2. Soit2 C10(Rn). On considere l'integraleI() =Z

R neihAx;xi=2(x)dx; >0. Justier l'egalite

I() =Bnn=2Z

R nei(2)1hA1;i^()d ; ouBn2Cest un coecient que l'on precisera.

3. Soit2R. Montrer que pour toutN2Non aeiPN

k=0(i)kk!jjN+1(N+1)!.

4. En deduire que pour toutN2Non a

I() =NX

k=0 n=2k(Pk)(0) +RN;(); >0; ouPkest un operateur dierentiel a coecients constants d'ordre 2ketRN;() un reste qui verie jRN;()j CN()n=2(N+1); >0; avecCN() une constante qui depend de. Exercice 5.14.|On dit qu'une distributionT2 S0(R) est une pseudo-mesure lorsque^T2 L 1.

1. Montrer que sif2L1(R), alorsfest une pseudo-mesure.

2. Montrer que toute distributionTd'ordre 0 a support compact est une pseudo-mesure.

3. Former une equation dierentielle satisfaite par la transformee de Fourier deu:x7!eix2.

En deduire queuest une pseudo-mesure.

4. SoitT2 D0(R) telle quexT= 1. Montrer queTest une pseudo-mesure.

5. (a) Soith2 C10(R), telle que 0h1 eth(x) = 1 pourx2[1;1]. Pour >0, on pose

h (x) =h(x). Montrer que siTest une pseudo-mesure,hTaussi, et que, pour une certaine constanteC >0, k dhTkL1CkbTkL1 (b) Soit (an) une suite de reels positifs tels queP n0an= +1, etT=Pann. Montrer queT2 S0(R), mais, en utilisant ce qui precede, queTn'est pas une pseudo-mesure.quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

[PDF] exercice corrigé deconomie dentreprise

[PDF] exercices d économie générale gratuit

[PDF] cours svt terminale s pdf au senegal

[PDF] examen thermodynamique corrigé

[PDF] serie thermodynamique avec correction

[PDF] thermodynamique 1ere année pdf

[PDF] espace topologique exercices corrigés pdf

[PDF] exercices corrigés de topologie licence/pdf

[PDF] parité des taux dintérêt non couverte

[PDF] impact de linflation sur le taux de change

[PDF] livre gratuit pour apprendre larabe

[PDF] larabe pour les nuls pdf gratuit

[PDF] vocabulaire arabe francais pdf

[PDF] fermentation discontinue batch pdf

[PDF] fermentation industrielle ppt

[PDF] Feuille dExercices 5 fonction test ?(x) = e?x2/