Fourier Laplace
https://www.math.univ-paris13.fr/~tournier/fichiers/lyon1/math4.pdf
Distributions tempérées
Exercices corrigés. Écrire l'équation u(x + h) −u(x) = f (x) sous forme A ∗u = f . Exercice *. Transformée de Fourier des distributions à support compact.
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Examen Partiel
20/11/2019 Fourier de f par. @ξ P R pJfqpξq “. 1 ? 2π ż. R e´ixξfpxqdx. Si T est une distribution sur R
Révisions : Exercices corrigés
EXERCICES :Distributions. 14. 3.1. Exercice 1.Distributions réguli`eres. 14. 3.2 Exercice 1.Calcul de transformée de Fourier. Pour α > 0 on pose f(x) = e−α ...
Quatrieme partie Appendices
(T rp) = (T
1 Exemples et contre-exemples 2 Transformée de Fourier
Voir la correction. Exercice 1.2: Contre-exemples. 1. Montrer que la fonction localement intégrable exp n'est pas une distribution tempérée.
CORRIGES DE PROBLEMES DEXAMEN DANALYSE DE P3
Exercice2. 1) Calculer les transformées de Fourier des distributions suivantes : Exercice 2. 1) Une distribution T admet une transformée de Laplace pour tout.
Distributions Transformation de Fourier des distributions tempérées
δn propriété que vérifie aussi la gaussienne x ↦→ e−πx2 . 3 Exercices. Exercice 3.1. Montrer que pour tout entier naturel k
THÉORIE DES DISTRIBUTIONS
Transformation de Fourier de distribution . . . . . . . . . 91. Eqs. 87 ¨ Pierre Meunier Exercices d'algèbre et d'analyse corrigés et commentés : classes.
Fourier Laplace
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Références Table des matières Notations
Théorie des Distributions et Analyse de Fourier. Exercices corrigés. ... Cette formule va nous permettre de prolonger la transformée de Fourier à S (R.
Références
Théorie des Distributions et Analyse de Fourier. Exercices corrigés. Masson . ... On trouvera une bonne introduction à la transformée de Fourier (sur.
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20 nov. 2019 Si T est une distribution sur R on note JT sa transformée de Fourier. Exercice 1. Pour x P R on pose fpxq “ Hpxqcospxq. 1. Vérifier que f est ...
Feuille dExercices 5
fonction test ?(x) = e?x2/2. Exercice 5.2.— Calculer la transformée de Fourier des distributions tempérées sur R définies par les fonctions suivantes :.
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4) Calculer la dérivée f0(x) au sens des distributions ainsi que sa transformée de Fourier Ff0(?) de f0. En déduire Ff(?) . Comparer avec 3). EXERCICE 3 Soit l'
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Calculer les transformée de Fourier de la fonction constante égale à 1 de la masse de dirac en Exercice 2.3: Distribution diagonale.
TD 4 Convolution
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TD 5 Transformation de Laplace
14 oct. 2016 Exercices corrigés. 8. Feuilles de calcul Maple. ... distributions permettant de mieux comprendre et étayer le calcul symbolique.
Transformée de Fourier - Université Sorbonne Paris Nord
Chapitre6-TravauxDirigés(Corrigés) Transformée de Fourier Exercice 1 DéterminerlatransforméedeFourierdesfonctionssuivantes: 1 f 1(t) vaut1 sur[ 1;1] et0 partoutailleurs 2 f 2(t) = U(t+1)U (t 1) 3 f 3(t) vaut1 sur[ T;T] et0 partoutailleurs(T>0) 4 f 4(t) = e jtj T (T>0) 5 f 5(t) = sint t 6 f 6(t) = 1 1+t2 Solution 1 1 Onapour!6
Série de Fourier - Université Sorbonne Paris Nord
V Propriétés de la transformation de Fourier La relation établie au paragraphe précédent entre les transformées de Laplace et de Fourier nous permet de direque que les propriétés des opérateurs L et F sont semblables On admettra les propriétés suivantes: 1 F est linéaire En e¤et quels que soient f g fonctions de L1(R) et
Theorie´ des distributions - Université Sorbonne Paris Nord
[1]J M Bony Cours d’analyse Theorie des distributions et analyse de Fourier´ Les editions´ de l’Ecole Polytechnique Ellipses [2]G Carlier Notes de cours : Analyse fonctionnelle https ://www ceremade dauphine fr/ carlier/poly2010 pdf [3]J Faraut Calcul integral´ 2006 EDP Sciences
Chapitre 12 Transform´ee de Fourier des distributions
Le produit de convolution et les transform´ees de Fourier des distributions temp´er´ees usuelles permettent de d´emonter facilement que la transform´ee de Fou-rier des distributions temp´er´ees v´eri?e les mˆemes propri´et´es que la transform´ee de Fourier des fonctions
TD n°6 : Fourier - Correction
La transformée de Fourier (notée ???? ou TF) d’une fonction f donnée est une opération qui transforme une =???? 1 2???? ???????? +? ?? Remarque : Cette définition est celle adoptée par les physiciens on peut aussi définir sans le facteur 1 2???? Il suffit en fait que le produit des constantes dans (1) et (2) fasse 1/2?
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Exercices - Transformation de Fourier:corrigé Onexprimelemembrededroitedecetteégalitéenfonctionde fgrâceàuneintégrationpar partiesenposantv(t) = ? tetu(t) = 1 ix?1 e (ix?1)t Puisqueu(0)v(0) = 0 etlim t?+?u(t)v(t) = 0onendéduit f0(x) = ?i 2(ix?1) Z +? 0 e?t ? t eitxdt = ?i(?ix?1) 2(x2 +1) f(x) = x+i 2(x2 +1) f(x)
Comment calculer la série de Fourier ?
= ( 1)netein?= ( 1)n,doncc n= 1 2?(1 in) ( 1)n(e? e?) = ( n1) sinh? ?(1 in) . 2.La fonction f est de classe C1, donc la série de Fourier converge simplement vers la f : x 7! 1 2 (f(x+) + f(x )).
Comment calculer la transformee de Fourier ?
Th´eor`eme 12.1La transform´ee de Fourier est une application lin´eaire bijective de S0dans S0et on a : F¡1(F(T)) =F(F¡1(T)) =T(12.5) et comme pour les fonctions F¡1(T)(”) =F(T))(¡”) (12.6) On retrouve aussi les propri´et´es du produit de convolution.
Qu'est-ce que la transformation de Fourier ?
Il est donc naturel que toutes les propriet´ ´es de la transform ee de´ Fourier dans S(Rd) se transposent au cadre des distributions dans S0(Rd). Theor´ eme` 7.3.2. La transformation de Fourier F: S0(Rd) !S0(Rd) est une application lineair´ e, continue, bijective et de recipr´ oque continue.
Qu'est-ce que la Theorie des distributions ?
Nous allons maintenant voir, et c’est l`a l’un des concepts les plus etonnants de la´ theorie des distributions, que l’on peut d´ eriver´ a n’importe quel ordre une distribution quel-` conque et que cette d´erivation est une op eration continue. La situation est donc totalement´ differente du cadre des fonctions d´ erivables classiques.
ENS Cachan Mathématiques
Préparation à l"agrégation Année 2017/2018Analyse de FourierArthur LeclaireRéférences
[Bon] J.M. Bony .Théorie des Distributions et Analyse de Fourier.Éditions de l"École Polytechnique, 2006.
[DW]R. Dalmasso et P .Witomski.
Analyse de Fourier et Applications. Exercices corrigés.Masson, 1996. [E] R.E. Edwar ds.Fourier Series : A Modern Introduction. Rinehart and Winston, 1967. [F] J. Faraut. Calcul intégral. EDP Sciences, 2006. [GW] C. Gasquet et P .Witomski. Analyse de Fourier et Applications. Dunod, 2001. [H] [Ka] Y .K atznelson.Introduction to harmonic analysis. John Wiley and sons, 1968. [Rud] W .Rudin. Analyse Réelle et Complexe. Masson, 1975. [ZQ] C. Zuily et H. Que?éle c.Analyse pour l"agrégation. Dunod, 2007. Pour commencer, on pourra se familiariser avec les séries de Fourier avec [F] ou [GW]. Les deux premiers chapitres du livre [Ka] donnent un condensé de l"essentiel de ce qu"il faut savoirsur les séries de Fourier (et même plus). Le cours est aussi résumé dans [ZQ] avec des exemples
et thèmes d"étude pertinents. Le livre [E] est beaucoup plus détaillé, mais moins accessible.
On trouvera une bonne introduction à la transformée de Fourier (sur!1et!2) dans [F] ou [Rud]. On pourra trouver le complément sur la classe de Schwartz (qui est au programmede l"agrégation) dans [ZQ, Ch.9, §4]. On trouvera aussi une présentation très claire dans [Bon],
qui est assez orienté vers la théorie des distributions mais qui explique de manière limpide les
applications aux équations aux dérivées partielles). Si l"on veut se limiter à la transformée de
sur la classe de SchwartzS. Pour aller plus loin, on pourra consulter [Ka] et [H] (le deuxièmeétant vraiment très spécialisé). Pour terminer, le livre [GW] (malheureusement épuisé) donne
corrigés pertinents. On prendra garde (notamment le jour de l"oral) à éviter les confusions dues aux di?érentesnormalisations qui existent dans la littérature pour la dé?nition des séries de Fourier et de la
transformée de Fourier. 1Table des matières
1 Convolution 3
1.1 Convolution surR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.2 Convolution surT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
2 Séries de Fourier 6
2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62.2 Convergence des Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92.3 Théorie!2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
2.4 Calculs et Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152.5 Analyse de Régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192.6 Équation de la Chaleur surT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
3 Transformée de Fourier 24
3.1 Transformée de Fourier sur!1¹R3º. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
3.2 Transformée de Fourier surS¹R3º. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
3.3 Transformée de Fourier sur!2¹R3º. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
3.4 Calculs et Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283.5 Équation de la Chaleur surR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
3.6 Quelques Mots sur les Distributions Tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34 Notations
On noteT=R2cZque l"on munit de la mesure de Lebesgue renormalisée`¹3Gº=3G2c. On rappelle qu"une fonction5:T!Cs"identi?e à une fonction2c-périodique dé?nie surR. Ainsi les éléments deC¹Tºs"identi?ent à des fonctions5:R!Ccontinues2c-périodiques. De plus,!?¹Tºest un espace de Banach pour la norme k5k?=12c¹ 2c 0 j5¹Gºj?3G1?
¹?1ºk5k1=inff"¡0j j5j6"p"p"g"
On notera aussiC:¹Tºl"ensemble des fonctions2c-périodiques5:R!Cde classeC:. On dira qu"une fonction2c-périodique5:R!CestC:par morceaux s"il existe une subdivision0=G0G1"""G?=2ctelle que pour tout069?,5j ¼G9G9¸1»admette un prolongement
à»G9G9¸1¼de classeC:.
On notera20¹Zºl"ensemble des suites¹D=º 2CZqui admettent pour limite 0 en1et¸1. En?n, on noteraPle sous-espace vectoriel deC¹Tºengendré par les fonctions 4 =:C7!48=C¹=2Zº" AinsiPest l"ensemble des polynômes trigonométriques.On utilisera la notation5¹Gº=5¹Gº.
21 Convolution
1.1 Convolution surR3
Pour cette partie, on renvoie à [BP] et [Br].
Dé?nition 1.Soient56:R3!Cdeux fonctions mesurables. Lorsque cela a un sens, on dé?nit laconvolution56de5et6par56¹Gº=¹
R35¹~º6¹G~º3~ "
Si cette intégrale existe, on a immédiatement56¹Gº=¹
R35¹G~º6¹~º3~=65¹Gº"
Théorème 1.Soient?@2 »11¼des exposants conjugués (i.e.1?¸1@
=1). 1. Si 52!1¹R3ºet62!1¹R3º,alors56¹GºexistepourpresquetoutGetdé?nit562!1¹R3º qui véri?e k56k16k5k1k6k1" 2. Si 52!1¹R3ºet62!?¹R3º,alors56¹GºexistepourpresquetoutGetdé?nit562!?¹R3º qui véri?e k56k?6k5k1k6k?" 3. Si 52!?¹R3ºet62!@¹R3º, alors56¹Gºexiste pour toutGet dé?nit562!1¹R3ºqui véri?e k56k16k5k?k6k@" De plus,56est uniformément continue. En?n, si1?1, alorslimjGj!156¹Gº=0.Remarque 1.
Le premier point de ce théorème assure que¹!1¹R3º¸ºest une algèbre de Banach. On verra
plus loin que cette algèbre n"admet pas d"unité. Plus généralement, si?@A2 »11¼sont tels que1?¸1@
=1¸1A , si52!?¹R3ºet si62!@¹R3º, alors56est dé?nie dans!A¹R3ºaveck56kA6k5k?k6k@(c"est l"inégalité de Young).Exercice 1.Prouver les di?érents points du Théorème 1.la densité deC2¹R3ºdans!?¹R3ºlorsque?1.Pour la ?n du troisième point (un peu plus dure), on pourra utiliser
Pour le deuxième point, on pourra supposerk5k1=1et utiliser l"inégalité de Jensen.3 Exercice 2. 1.Montrer que siRest de mesure de Lebesgue¡0, alors =fG~;G~2g contient un voisinage de 0 (on pourra considérer11).2.Soit5:R!Rmesurable telle que5¹G¸~º=5¹Gº ¸5¹~ºpour tousG~2R.
a.Montrer que5est bornée sur un voisinage de 0. b.Montrer que5est continue en 0. c.Montrer que5est linéaire. Théorème 2.Si5:R3!Cest localement intégrable, et siU:R3!Rest de classeC: et à support compact, alorsU5est dé?nie partout et de classeC:surR3. De plus, pour tout multi-indice9de poids6:, on a m9¹U5º=¹m9Uº 5 "
En particulier, si¹U=ºest une suite régularisante, alors les fonctionsU=5sontC1. positives surR3, d"intégrale 1 et telles que8X¡0¹
jGj¡XU=¹Gº3G!=!10" Cette dé?nition est la même que celle de [BP] mais se limite au cas de fonctions à valeurs positives. Proposition 1.SiU:R3!R¸est mesurable d"intégrale 1, alors U =¹Gº==3U¹=Gºdé?nit une approximation de l"unité. Autrement dit, on obtient une approximation de l"unité en
renormalisant n"importe quelle densité de probabilité. Théorème 3.Soit¹U=ºune approximation de l"unité. 1. Si 52C1¹R3º, alorsU=5converge vers5uniformément sur les compacts. 2. Si ?1et52!?¹R3º, alorsU=5converge vers5dans!?¹R3º. Remarque 2.On prendra garde au fait que les preuves habituelles du point 2 s"appuient sur la densité deC2¹R3ºdans!?¹R3ºpour?1. Dé?nition 3.Unesuite régularisanteest une approximation de l"unité composée de fonc- tionsC1à supports compacts. Un des exercices du TD d"analyse fonctionnelle montre l"existence de suites régularisantes; rappelons que cela revient à montrer l"existence d"une fonction bosseC12¹R3º.Théorème 4.Si
R3est ouvert et?1, alorsC12¹
ºest dense dans!?¹
41.2 Convolution surT
laconvolution(sur le cercle)56de5et6par56¹Gº=¹
T5¹~º6¹G~º`¹3~º=12c¹
2c 05¹~º6¹G~º3~ "
Ainsi, il y une notion de convolution pour les fonctions2c-périodiques surR. Cette notionest bien di?érente de celle dé?nie dans le paragraphe précédent. Néanmoins, certaines des pro-
priétés vont persister. Par exemple, les inégalités de convolution présentées dans le Théorème 1
s"adaptent immédiatement au cas du cercle. On notera que dans le cas du cercle, la situation est même plus simple car,Tétant compact de mesure ?nie, on a8?2 »11¼C¹Tº !?¹Tº !1¹Tº"
L"inégalité la plus importante dans ce cas est donc celle obtenue pour!1¹Tºque nous répétons
ici : si562!1¹Tº, alors56est dé?nie presque partout avec k56k16k5k1k6k1" Théorème 5.Si52!1¹Tºet si62C:¹Tº, alors562C:¹Tºet pour tout entier96:,¹56º¹9º=56¹9º"
Dé?nition 5.On appelleapproximation de l"unité sur le cercleune suite¹U=º=>1de fonc- tions mesurables positives surT, d"intégrale 1 et telles que8X¡0¹
»cc¼n»XX¼U=3`!=!10"
Là encore, les approximations de l"unité sur le cercle sont données par des fonctions2c- périodiques. Il ne faut donc en aucun cas confondre avec la notion d"approximation de l"unité développée dans le paragraphe précédent. Théorème 6.Soit¹U=ºune approximation de l"unité sur le cercle. 1. Si 52C¹Tº, alorsU=5converge vers5uniformément surT. 2. Si ?1et52!?¹R3º, alorsU=5converge vers5dans!?¹R3º. En couplant ce résultat avec le Théorème 5, on obtient que si52C:¹Tº, alors pour tout entier96:,¹U=5º¹9ºconverge uniformément vers5¹9º. 52 Séries de Fourier
2.1 Généralités
Dé?nition 6.Soient52!1¹Tº,=2Z. Le=-ièmecoe?cient de Fourierde5est dé?ni par 2 =¹5º=12c¹ 2c 05¹Gº48=G3G=¹
T 54=3` " Lasérie de Fourierassociée à5est alors la série de fonctions =2Z2 =¹5º48=G la somme surZsigni?antlim#!¸1(#5¹Gº, où les sommes partielles sont données par #5¹Gº=# ==#2 =¹5º48=G" Bien entendu, nous ne savons pasa priorisi cette série converge, et ce sera l"une des questions cruciales étudiées dans la suite. On notera aussi f #5¹Gº=1# #1Õ ==0( =5¹Gº les sommes de Cesàro associée à la suite¹(#5¹Gºº#2N.
Rappelons que¹4=º=2Zest une famille orthonormale de!2¹Tº. La série de Fourier peut donc
se voir comme la décomposition d"une fonction sur cette famille libre. Proposition 2.Soient52!1¹Tº,02R, et=2Z. alors on a1.2=¹5º=2=¹5ºoù l"on a noté5¹Gº=5¹Gº,
2.2=¹¯5º=2
=¹5º,3.2=¹g05º=48=02=¹5ºoù l"on a notég05¹Gº=5¹G0º,
4.Si 5=Õ
=22 =4=avecZ?ni (i.e.52 P), alors2=¹5º=2=. Remarque 3.Ces propriétés entraînent certaines symétries dans les coe?cients de Fourier pour des fonctions particulières. Par exemple, si5est à valeurs réelles, alors2=¹5º=2 =¹5º. Aussi, si5est paire, alors2=¹5º=2=¹5ºce qui permet de regrouper les termes en=et=dansla série de Fourier, et donc d"écrire la série de Fourier en cosinus. De même, si5est impaire,
alors2=¹5º=2=¹5ºce qui permet d"écrire la série de Fourier en sinus. Dans la pratique, on écrit parfois la série de Fourier sous la forme 1200¹5º ¸Õ
=>1 0 =¹5ºcos¹=Gº ¸1=¹5ºsin¹=Gº 6 où les coe?cients sont donnés par 0 =¹5º=1c 2c 0 2c 05¹Gºsin¹=Gº3G "
L"avantage de cette représentation est que les coe?cients sont réels dès que la fonction5l"est
aussi. Son inconvénient est que les propriétés liées à l"orthogonalité des exponentielles com-
plexes (par exemple la formule de Parseval) se lisent moins facilement sur les coe?cients0=et1=. Dans les exercices calculatoires, on jonglera entre les deux écritures de la série de Fourier.
Proposition 3.La transformation de Fourier
F:!1¹Tº !1¹Zº
57! ¹2=¹5ºº=2Z
est une application linéaire continue de norme 1. Proposition 4(Riemann-Lebesgue).Si52!1¹Tº, alors2=¹5º !0quand=! 1.Autrement dit,Fest à valeurs dans20¹Zº.
Proposition 5(Lien avec la dérivation).
1. Soit 2C¹Tºtelle qu"il existe52!1¹Tºtelle que8G2T ¹Gº ¹0º=¹
G 05¹Cº3C "
Alors pour tout=<0,2=¹º=18=
2=¹5º.
2. Si 52C1¹Tº, alors pout tout=<0,2=¹5º=18=2=¹50º.
Remarque 4.En fait, l"ingrédient principal de la Proposition 5 est l"intégration par parties. Par
conséquent, le deuxième point s"étend à d"autres cadres. Par exemple, si5est continue, etC1
par morceaux (c"est-à-dire qu"il existe une subdivision0=00"""0 =2ctelle que pourtout:,5¼0:0:¸1»admette un prolongementC1sur»0:0:¸1¼), alors on a encore pour tout=<0,
2 =¹5º=18=2=¹50º, voir Exercice 16. L"Exercice 26 généralisera encore cette formule.
Proposition 6(Lien avec la convolution).
1. Si 562!1¹Tº, alors pour tout=2Z,2=¹56º=2=¹5º2=¹6º" 2. Si 2 P, alors 52 P. En particulier, pour tout=2Z,54==2=¹5º4=.Exercice 3
.Montrer les propriétés des coe?cients de Fourier données ci-dessus. Dé?nition 7.Lenoyau de Dirichletest dé?ni par j=j6#4 =i"e" #¹Gº=Õ j=j6#4 8=G" Lenoyau de Fejérest dé?ni (pour#>1) par #=1# #1Õ ==0 7Proposition 7.Soit52!1¹Tº.
1.(#5=5#.
2.f#5=1#
#1Õ ==0( =5=5 #. 3. T #3`=12c¹ 2c 0 #¹Gº3G=1 et¹ T #3`=12c¹ 2c 0 #¹Gº3G=1" 4.Les no yauxde Dirichlet et Fejér véri?ent
#¹Gº=sin¹#¸12
ºGsin
G2 #¹Gº=Õ j=j6# 1j=j# 48=G=1#
sin#G2 sin G2 2 5.Pour tout X2¼0c», on a
supX6jGj6cj #¹Gºj61#sin2¹X2
En particulier,¹ #ºest une approximation de l"unité sur le cercle. Exercice 4. Convolution de suites (évoquée dans [E, Exo 3.15])1.Soient0=¹0=º 21¹Zºet1=¹1=º 21¹Zº.
a.Montrer que l"on peut dé?nir8=2Z 2==Õ
?2Z0 ?1=? et que la suite2=¹2=ºainsi dé?nie est dans1¹Zºaveck2k16k0k1k1k1. b.Montrer que pour toutG2T, on peut dé?nir5¹Gº=Õ
?2Z0 ?48?G 6¹Gº=Õ @2Z1 @48@G i¹Gº=Õ =2Z2 =48=G" Montrer que pour toutG2T,i¹Gº=5¹Gº6¹Gº.2.Soit#2N. On pose pour tout=2Z,0==1==1p#
106=#et on réutilise les notations de
la question précédente. Montrer que5¹Gº=48#12
Gp# sin¹#G2ºsin¹G2
ºeti¹Gº=j5¹Gºj2= #¹Gº"
82.2 Convergence des Séries de Fourier
Théorème 7.Convergence Ponctuelle - Théorème de DirichletSoit52!1¹Tºet un point02T?xé.
On suppose que5admet en0des limites ?nies à gauche et à droite notées5¹0ºet5¹0¸ºet
qu"il existeX¡0tel que X0j5¹0¸Cº 5¹0¸ºjC
3C1et¹
X0j5¹0Cº 5¹0ºjC
3C1"
Alors #5¹0º !=!1125¹0º ¸5¹0¸º
Corollaire 1.Si52!1¹Tºadmet des limites ?nies à gauche et à droite en0et des dérivées à
gauche et à droite en0, alors #5¹0º !=!1125¹0º ¸5¹0¸º
Si de plus,5est continue en0(i.e.5¹0º=5¹0¸º), alorslim#!1(#5¹0º=5¹0º.Exercice 5
. Preuve du Théorème 7 [ZQ]1.Montrer que
#5¹0º 125¹0º ¸5¹0¸º
=12c¹ c 00¹Cºsin¹C2
ºsin
#¸12 C3C
où l"on a posé0¹Cº=5¹0¸Cº 5¹0¸º ¸5¹0Cº 5¹0º"
2.Montrer queC7!0¹Cºsin
C22!1¹0cºet conclure avec le lemme de Riemann-Lebesgue.
Théorème 8.Convergence au sens de Cesàro - Théorème de FejérSoit52!1¹Tºet un point02T?xé.
1.On supp oseque 5admet en0des limites ?nies à gauche et à droite notées5¹0ºet5¹0¸º.
Alors f #5¹0º !=!1125¹0º ¸5¹0¸º
i.e., en0, la série de Fourier convergeau sens de Cesàrovers125¹0º ¸5¹0¸º
2. Si 5est continue en tout point de»UV¼, alorsf#5!5uniformément sur»UV¼. 9Exercice 6
. Preuve du Théorème 8 [Ka, Chap.1, Th. 3.1]1.On suppose que5admet en0des limites ?nies à gauche et à droite.
a.Montrer que f #5¹0º 125¹0º ¸5¹0¸º
=12c¹ c 00¹Cº #¹Cº3C
où l"on a posé0¹Cº=5¹0¸Cº 5¹0¸º ¸5¹0Cº 5¹0º"
b.En écrivant¯c0=¯X
0¸¯c
X, en déduire la limite def#5¹0º.
2.On suppose maintenant5continue en tout point de»UV¼. On ?xeY¡0.
a.Avec les notations de la première question, montrer qu"il existeX2¼0c»tel que802 »UV¼8C2 »XX¼j0¹Cºj6Y "
b.Toujours avec¯c0=¯X
0¸¯c
X, en déduire quef#5!5uniformément sur»UV¼. Théorème 9.Théorème de Fejér revisité [ZQ] 1. La suite ¹ #ºest une approximation de l"unité sur le cercle. 2. Soit 52C¹Tº. Alors pour tout#>1,kf#5k16k5k1.De plus,f#5!5uniformément surT.
3.Soit 52!?¹Tºavec16?1. Alorskf#5k?6k5k?.
De plus,f#5!5dans!?¹Tº.
Corollaire 2.
1. Les p olynômestrigonométriques sont denses dans C¹Tºet dans!?¹Tºpour?1. 2. La transformation de Fourier 52!1¹Tº 7! ¹2=¹5ºº=2Zest injective. Autrement dit, deux fonctions!1¹Tºayant les mêmes coe?cients de Fourier sont égales presque partout.Exercice 7
. Le théorème de Fejér implique celui de Weierstrass Soit:»11¼ !Rune fonction continue et5=cos.1.Montrer que52C¹Tº, et que5est paire.
2.En déduire que
8#2N f#5=20¹5º ¸#
==1 1=# 2 =¹5º¹4=¸4=º3.Montrer que pour tout=2N, il existe un polynôme)=de degré=(polynôme de Tchebyche?)
tel que8C2Rcos¹=Cº=)=¹cos¹Cºº"4.En déduire l"existence d"un polynôme%#tel quek%#k1=k5f#¹5ºk1"
5.Conclure.
10 eux s"appuient sur l"étude dek#k1qui fait l"objet de l"exercice suivant.1.Montrer quek#k1! 1quand#! 1(on pourra utiliser l"expression du noyau de Diri-
chlet donnée dans la Proposition 7).2.On va maintenant estimer plus précisémentk#k1selon la méthode donnée dans [ZQ].
a.Montrer que l"on peut écrire8#2N8G2 »cc¼ #¹Gº=2sin¹#GºG
¸A#¹Gº
oùsup jGj6c#>0jA#¹Gºj1(et où par conventionsin¹#GºG =#pourG=0). b.ConsidéronsU=12c¹
2c 0 jsinCj3Ceti¹Gº=¹ G 0 jsinCj3CUG "Montrer queU=2c
, quei2C1¹Tº, avec pour toutG2T,i0¹Gº=jsinGj U "En déduire que
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