[PDF] Série de Fourier - Université Sorbonne Paris Nord

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ENS Cachan Mathématiques

Préparation à l"agrégation Année 2017/2018Analyse de Fourier

Arthur LeclaireRéférences

[Bon] J.M. Bony .Théorie des Distributions et Analyse de Fourier.

Éditions de l"École Polytechnique, 2006.

[DW]

R. Dalmasso et P .Witomski.

Analyse de Fourier et Applications. Exercices corrigés.Masson, 1996. [E] R.E. Edwar ds.Fourier Series : A Modern Introduction. Rinehart and Winston, 1967. [F] J. Faraut. Calcul intégral. EDP Sciences, 2006. [GW] C. Gasquet et P .Witomski. Analyse de Fourier et Applications. Dunod, 2001. [H] [Ka] Y .K atznelson.Introduction to harmonic analysis. John Wiley and sons, 1968. [Rud] W .Rudin. Analyse Réelle et Complexe. Masson, 1975. [ZQ] C. Zuily et H. Que?éle c.Analyse pour l"agrégation. Dunod, 2007. Pour commencer, on pourra se familiariser avec les séries de Fourier avec [F] ou [GW]. Les deux premiers chapitres du livre [Ka] donnent un condensé de l"essentiel de ce qu"il faut savoir

sur les séries de Fourier (et même plus). Le cours est aussi résumé dans [ZQ] avec des exemples

et thèmes d"étude pertinents. Le livre [E] est beaucoup plus détaillé, mais moins accessible.

On trouvera une bonne introduction à la transformée de Fourier (sur!1et!2) dans [F] ou [Rud]. On pourra trouver le complément sur la classe de Schwartz (qui est au programme

de l"agrégation) dans [ZQ, Ch.9, §4]. On trouvera aussi une présentation très claire dans [Bon],

qui est assez orienté vers la théorie des distributions mais qui explique de manière limpide les

applications aux équations aux dérivées partielles). Si l"on veut se limiter à la transformée de

sur la classe de SchwartzS. Pour aller plus loin, on pourra consulter [Ka] et [H] (le deuxième

étant vraiment très spécialisé). Pour terminer, le livre [GW] (malheureusement épuisé) donne

corrigés pertinents. On prendra garde (notamment le jour de l"oral) à éviter les confusions dues aux di?érentes

normalisations qui existent dans la littérature pour la dé?nition des séries de Fourier et de la

transformée de Fourier. 1

Table des matières

1 Convolution 3

1.1 Convolution surR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.2 Convolution surT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

2 Séries de Fourier 6

2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2 Convergence des Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3 Théorie!2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

2.4 Calculs et Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.5 Analyse de Régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.6 Équation de la Chaleur surT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

3 Transformée de Fourier 24

3.1 Transformée de Fourier sur!1¹R3º. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3.2 Transformée de Fourier surS¹R3º. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

3.3 Transformée de Fourier sur!2¹R3º. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

3.4 Calculs et Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.5 Équation de la Chaleur surR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

3.6 Quelques Mots sur les Distributions Tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 Notations

On noteT=R2cZque l"on munit de la mesure de Lebesgue renormalisée`¹3Gº=3G2c. On rappelle qu"une fonction5:T!Cs"identi?e à une fonction2c-périodique dé?nie surR. Ainsi les éléments deC¹Tºs"identi?ent à des fonctions5:R!Ccontinues2c-périodiques. De plus,!?¹Tºest un espace de Banach pour la norme k5k?=12c¹ 2c 0 j5¹Gºj?3G

1?

¹?Ÿ1º•k5k1=inff"¡0j j5j6"p"p"g"

On notera aussiC:¹Tºl"ensemble des fonctions2c-périodiques5:R!Cde classeC:. On dira qu"une fonction2c-périodique5:R!CestC:par morceaux s"il existe une subdivision

0=G0ŸG1Ÿ"""ŸG?=2ctelle que pour tout069Ÿ?,5j ¼G9•G9¸1»admette un prolongement

à»G9•G9¸1¼de classeC:.

On notera20¹Zºl"ensemble des suites¹D=º 2CZqui admettent pour limite 0 en1et¸1. En?n, on noteraPle sous-espace vectoriel deC¹Tºengendré par les fonctions 4 =:C7!48=C¹=2Zº" AinsiPest l"ensemble des polynômes trigonométriques.

On utilisera la notation5¹Gº=5¹Gº.

2

1 Convolution

1.1 Convolution surR3

Pour cette partie, on renvoie à [BP] et [Br].

Dé?nition 1.Soient5•6:R3!Cdeux fonctions mesurables. Lorsque cela a un sens, on dé?nit laconvolution56de5et6par

56¹Gº=¹

R

35¹~º6¹G~º3~ "

Si cette intégrale existe, on a immédiatement

56¹Gº=¹

R

35¹G~º6¹~º3~=65¹Gº"

Théorème 1.Soient?•@2 »1•1¼des exposants conjugués (i.e.1?

¸1@

=1). 1. Si 52!1¹R3ºet62!1¹R3º,alors56¹GºexistepourpresquetoutGetdé?nit562!1¹R3º qui véri?e k56k16k5k1k6k1" 2. Si 52!1¹R3ºet62!?¹R3º,alors56¹GºexistepourpresquetoutGetdé?nit562!?¹R3º qui véri?e k56k?6k5k1k6k?" 3. Si 52!?¹R3ºet62!@¹R3º, alors56¹Gºexiste pour toutGet dé?nit562!1¹R3ºqui véri?e k56k16k5k?k6k@" De plus,56est uniformément continue. En?n, si1Ÿ?Ÿ1, alorslimjGj!156¹Gº=0.

Remarque 1.

Le premier point de ce théorème assure que¹!1¹R3º•¸•ºest une algèbre de Banach. On verra

plus loin que cette algèbre n"admet pas d"unité. Plus généralement, si?•@•A2 »1•1¼sont tels que1?

¸1@

=1¸1A , si52!?¹R3ºet si62!@¹R3º, alors56est dé?nie dans!A¹R3ºaveck56kA6k5k?k6k@(c"est l"inégalité de Young).

Exercice 1.Prouver les di?érents points du Théorème 1.la densité deC2¹R3ºdans!?¹R3ºlorsque?Ÿ1.Pour la ?n du troisième point (un peu plus dure), on pourra utiliser

Pour le deuxième point, on pourra supposerk5k1=1et utiliser l"inégalité de Jensen.3 Exercice 2. 1.Montrer que siRest de mesure de Lebesgue¡0, alors =fG~;G•~2g contient un voisinage de 0 (on pourra considérer11).

2.Soit5:R!Rmesurable telle que5¹G¸~º=5¹Gº ¸5¹~ºpour tousG•~2R.

a.Montrer que5est bornée sur un voisinage de 0. b.Montrer que5est continue en 0. c.Montrer que5est linéaire. Théorème 2.Si5:R3!Cest localement intégrable, et siU:R3!Rest de classeC: et à support compact, alorsU5est dé?nie partout et de classeC:surR3. De plus, pour tout multi-indice9de poids6:, on a m

9¹U5º=¹m9Uº 5 "

En particulier, si¹U=ºest une suite régularisante, alors les fonctionsU=5sontC1. positives surR3, d"intégrale 1 et telles que

8X¡0•¹

jGj¡XU=¹Gº3G!=!10" Cette dé?nition est la même que celle de [BP] mais se limite au cas de fonctions à valeurs positives. Proposition 1.SiU:R3!R¸est mesurable d"intégrale 1, alors U =¹Gº==3U¹=Gº

dé?nit une approximation de l"unité. Autrement dit, on obtient une approximation de l"unité en

renormalisant n"importe quelle densité de probabilité. Théorème 3.Soit¹U=ºune approximation de l"unité. 1. Si 52C1¹R3º, alorsU=5converge vers5uniformément sur les compacts. 2. Si ?Ÿ1et52!?¹R3º, alorsU=5converge vers5dans!?¹R3º. Remarque 2.On prendra garde au fait que les preuves habituelles du point 2 s"appuient sur la densité deC2¹R3ºdans!?¹R3ºpour?Ÿ1. Dé?nition 3.Unesuite régularisanteest une approximation de l"unité composée de fonc- tionsC1à supports compacts. Un des exercices du TD d"analyse fonctionnelle montre l"existence de suites régularisantes; rappelons que cela revient à montrer l"existence d"une fonction bosseC12¹R3º.

Théorème 4.Si

R3est ouvert et?Ÿ1, alorsC12¹

ºest dense dans!?¹

4

1.2 Convolution surT

laconvolution(sur le cercle)56de5et6par

56¹Gº=¹

T

5¹~º6¹G~º`¹3~º=12c¹

2c 0

5¹~º6¹G~º3~ "

Ainsi, il y une notion de convolution pour les fonctions2c-périodiques surR. Cette notion

est bien di?érente de celle dé?nie dans le paragraphe précédent. Néanmoins, certaines des pro-

priétés vont persister. Par exemple, les inégalités de convolution présentées dans le Théorème 1

s"adaptent immédiatement au cas du cercle. On notera que dans le cas du cercle, la situation est même plus simple car,Tétant compact de mesure ?nie, on a

8?2 »1•1¼•C¹Tº !?¹Tº !1¹Tº"

L"inégalité la plus importante dans ce cas est donc celle obtenue pour!1¹Tºque nous répétons

ici : si5•62!1¹Tº, alors56est dé?nie presque partout avec k56k16k5k1k6k1" Théorème 5.Si52!1¹Tºet si62C:¹Tº, alors562C:¹Tºet pour tout entier96:,

¹56º¹9º=56¹9º"

Dé?nition 5.On appelleapproximation de l"unité sur le cercleune suite¹U=º=>1de fonc- tions mesurables positives surT, d"intégrale 1 et telles que

8X¡0•¹

»c•c¼n»X•X¼U=3`!=!10"

Là encore, les approximations de l"unité sur le cercle sont données par des fonctions2c- périodiques. Il ne faut donc en aucun cas confondre avec la notion d"approximation de l"unité développée dans le paragraphe précédent. Théorème 6.Soit¹U=ºune approximation de l"unité sur le cercle. 1. Si 52C¹Tº, alorsU=5converge vers5uniformément surT. 2. Si ?Ÿ1et52!?¹R3º, alorsU=5converge vers5dans!?¹R3º. En couplant ce résultat avec le Théorème 5, on obtient que si52C:¹Tº, alors pour tout entier96:,¹U=5º¹9ºconverge uniformément vers5¹9º. 5

2 Séries de Fourier

2.1 Généralités

Dé?nition 6.Soient52!1¹Tº,=2Z. Le=-ièmecoe?cient de Fourierde5est dé?ni par 2 =¹5º=12c¹ 2c 0

5¹Gº48=G3G=¹

T 54
=3` " Lasérie de Fourierassociée à5est alors la série de fonctions =2Z2 =¹5º48=G• la somme surZsigni?antlim#!¸1(#5¹Gº, où les sommes partielles sont données par #5¹Gº=# ==#2 =¹5º48=G" Bien entendu, nous ne savons pasa priorisi cette série converge, et ce sera l"une des questions cruciales étudiées dans la suite. On notera aussi f #5¹Gº=1# #1Õ ==0( =5¹Gº les sommes de Cesàro associée à la suite¹(#5¹Gºº#2N.

Rappelons que¹4=º=2Zest une famille orthonormale de!2¹Tº. La série de Fourier peut donc

se voir comme la décomposition d"une fonction sur cette famille libre. Proposition 2.Soient52!1¹Tº,02R, et=2Z. alors on a

1.2=¹5º=2=¹5ºoù l"on a noté5¹Gº=5¹Gº,

2.2=¹¯5º=2

=¹5º,

3.2=¹g05º=48=02=¹5ºoù l"on a notég05¹Gº=5¹G0º,

4.

Si 5=Õ

=22 =4=avecZ?ni (i.e.52 P), alors2=¹5º=2=. Remarque 3.Ces propriétés entraînent certaines symétries dans les coe?cients de Fourier pour des fonctions particulières. Par exemple, si5est à valeurs réelles, alors2=¹5º=2 =¹5º. Aussi, si5est paire, alors2=¹5º=2=¹5ºce qui permet de regrouper les termes en=et=dans

la série de Fourier, et donc d"écrire la série de Fourier en cosinus. De même, si5est impaire,

alors2=¹5º=2=¹5ºce qui permet d"écrire la série de Fourier en sinus. Dans la pratique, on écrit parfois la série de Fourier sous la forme 12

00¹5º ¸Õ

=>1 0 =¹5ºcos¹=Gº ¸1=¹5ºsin¹=Gº 6 où les coe?cients sont donnés par 0 =¹5º=1c 2c 0 2c 0

5¹Gºsin¹=Gº3G "

L"avantage de cette représentation est que les coe?cients sont réels dès que la fonction5l"est

aussi. Son inconvénient est que les propriétés liées à l"orthogonalité des exponentielles com-

plexes (par exemple la formule de Parseval) se lisent moins facilement sur les coe?cients0=

et1=. Dans les exercices calculatoires, on jonglera entre les deux écritures de la série de Fourier.

Proposition 3.La transformation de Fourier

F:!1¹Tº !1¹Zº

57! ¹2=¹5ºº=2Z

est une application linéaire continue de norme 1. Proposition 4(Riemann-Lebesgue).Si52!1¹Tº, alors2=¹5º !0quand=! 1.

Autrement dit,Fest à valeurs dans20¹Zº.

Proposition 5(Lien avec la dérivation).

1. Soit 2C¹Tºtelle qu"il existe52!1¹Tºtelle que

8G2T• ¹Gº ¹0º=¹

G 0

5¹Cº3C "

Alors pour tout=<0,2=¹º=18=

2=¹5º.

2. Si 52C1¹Tº, alors pout tout=<0,2=¹5º=18=

2=¹50º.

Remarque 4.En fait, l"ingrédient principal de la Proposition 5 est l"intégration par parties. Par

conséquent, le deuxième point s"étend à d"autres cadres. Par exemple, si5est continue, etC1

par morceaux (c"est-à-dire qu"il existe une subdivision0=00Ÿ"""Ÿ0 =2ctelle que pour

tout:,5¼0:•0:¸1»admette un prolongementC1sur»0:•0:¸1¼), alors on a encore pour tout=<0,

2 =¹5º=18=

2=¹50º, voir Exercice 16. L"Exercice 26 généralisera encore cette formule.

Proposition 6(Lien avec la convolution).

1. Si 5•62!1¹Tº, alors pour tout=2Z,2=¹56º=2=¹5º2=¹6º" 2. Si 2 P, alors 52 P. En particulier, pour tout=2Z,54==2=¹5º4=.

Exercice 3

.Montrer les propriétés des coe?cients de Fourier données ci-dessus. Dé?nition 7.Lenoyau de Dirichletest dé?ni par j=j6#4 =i"e" #¹Gº=Õ j=j6#4 8=G" Lenoyau de Fejérest dé?ni (pour#>1) par #=1# #1Õ ==0 7

Proposition 7.Soit52!1¹Tº.

1.(#5=5#.

2.f#5=1#

#1Õ ==0( =5=5 #. 3. T #3`=12c¹ 2c 0 #¹Gº3G=1 et¹ T #3`=12c¹ 2c 0 #¹Gº3G=1" 4.

Les no yauxde Dirichlet et Fejér véri?ent

#¹Gº=sin

¹#¸12

ºGsin

G2 #¹Gº=Õ j=j6# 1j=j# 4

8=G=1#

sin#G2 sin G2 2 5.

Pour tout X2¼0•c», on a

sup

X6jGj6cj #¹Gºj61#sin2¹X2

En particulier,¹ #ºest une approximation de l"unité sur le cercle. Exercice 4. Convolution de suites (évoquée dans [E, Exo 3.15])

1.Soient0=¹0=º 21¹Zºet1=¹1=º 21¹Zº.

a.Montrer que l"on peut dé?nir

8=2Z• 2==Õ

?2Z0 ?1=? et que la suite2=¹2=ºainsi dé?nie est dans1¹Zºaveck2k16k0k1k1k1. b.Montrer que pour toutG2T, on peut dé?nir

5¹Gº=Õ

?2Z0 ?48?G• 6¹Gº=Õ @2Z1 @48@G• i¹Gº=Õ =2Z2 =48=G" Montrer que pour toutG2T,i¹Gº=5¹Gº6¹Gº.

2.Soit#2N. On pose pour tout=2Z,0==1==1p#

106=Ÿ#et on réutilise les notations de

la question précédente. Montrer que

5¹Gº=48#12

Gp# sin¹#G2

ºsin¹G2

ºeti¹Gº=j5¹Gºj2= #¹Gº"

8

2.2 Convergence des Séries de Fourier

Théorème 7.Convergence Ponctuelle - Théorème de Dirichlet

Soit52!1¹Tºet un point02T?xé.

On suppose que5admet en0des limites ?nies à gauche et à droite notées5¹0ºet5¹0¸ºet

qu"il existeX¡0tel que X

0j5¹0¸Cº 5¹0¸ºjC

3CŸ1et¹

X

0j5¹0Cº 5¹0ºjC

3CŸ1"

Alors #5¹0º !=!112

5¹0º ¸5¹0¸º

Corollaire 1.Si52!1¹Tºadmet des limites ?nies à gauche et à droite en0et des dérivées à

gauche et à droite en0, alors #5¹0º !=!112

5¹0º ¸5¹0¸º

Si de plus,5est continue en0(i.e.5¹0º=5¹0¸º), alorslim#!1(#5¹0º=5¹0º.

Exercice 5

. Preuve du Théorème 7 [ZQ]

1.Montrer que

#5¹0º 12

5¹0º ¸5¹0¸º

=12c¹ c 0

0¹Cºsin¹C2

ºsin

#¸12 C

3C •

où l"on a posé

0¹Cº=5¹0¸Cº 5¹0¸º ¸5¹0Cº 5¹0º"

2.Montrer queC7!0¹Cºsin

C2

2!1¹0•cºet conclure avec le lemme de Riemann-Lebesgue.

Théorème 8.Convergence au sens de Cesàro - Théorème de Fejér

Soit52!1¹Tºet un point02T?xé.

1.

On supp oseque 5admet en0des limites ?nies à gauche et à droite notées5¹0ºet5¹0¸º.

Alors f #5¹0º !=!112

5¹0º ¸5¹0¸º

i.e., en0, la série de Fourier convergeau sens de Cesàrovers12

5¹0º ¸5¹0¸º

2. Si 5est continue en tout point de»U•V¼, alorsf#5!5uniformément sur»U•V¼. 9

Exercice 6

. Preuve du Théorème 8 [Ka, Chap.1, Th. 3.1]

1.On suppose que5admet en0des limites ?nies à gauche et à droite.

a.Montrer que f #5¹0º 12

5¹0º ¸5¹0¸º

=12c¹ c 0

0¹Cº #¹Cº3C •

où l"on a posé

0¹Cº=5¹0¸Cº 5¹0¸º ¸5¹0Cº 5¹0º"

b.En écrivant¯c

0=¯X

0¸¯c

X, en déduire la limite def#5¹0º.

2.On suppose maintenant5continue en tout point de»U•V¼. On ?xeY¡0.

a.Avec les notations de la première question, montrer qu"il existeX2¼0•c»tel que

802 »U•V¼•8C2 »X•X¼•j0¹Cºj6Y "

b.Toujours avec¯c

0=¯X

0¸¯c

X, en déduire quef#5!5uniformément sur»U•V¼. Théorème 9.Théorème de Fejér revisité [ZQ] 1. La suite ¹ #ºest une approximation de l"unité sur le cercle. 2. Soit 52C¹Tº. Alors pour tout#>1,kf#5k16k5k1.

De plus,f#5!5uniformément surT.

3.

Soit 52!?¹Tºavec16?Ÿ1. Alorskf#5k?6k5k?.

De plus,f#5!5dans!?¹Tº.

Corollaire 2.

1. Les p olynômestrigonométriques sont denses dans C¹Tºet dans!?¹Tºpour?Ÿ1. 2. La transformation de Fourier 52!1¹Tº 7! ¹2=¹5ºº=2Zest injective. Autrement dit, deux fonctions!1¹Tºayant les mêmes coe?cients de Fourier sont égales presque partout.

Exercice 7

. Le théorème de Fejér implique celui de Weierstrass Soit:»1•1¼ !Rune fonction continue et5=cos.

1.Montrer que52C¹Tº, et que5est paire.

2.En déduire que

8#2N• f#5=20¹5º ¸#

==1 1=# 2 =¹5º¹4=¸4=º

3.Montrer que pour tout=2N, il existe un polynôme)=de degré=(polynôme de Tchebyche?)

tel que8C2R•cos¹=Cº=)=¹cos¹Cºº"

4.En déduire l"existence d"un polynôme%#tel quek%#k1=k5f#¹5ºk1"

5.Conclure.

10 eux s"appuient sur l"étude dek#k1qui fait l"objet de l"exercice suivant.

1.Montrer quek#k1! 1quand#! 1(on pourra utiliser l"expression du noyau de Diri-

chlet donnée dans la Proposition 7).

2.On va maintenant estimer plus précisémentk#k1selon la méthode donnée dans [ZQ].

a.Montrer que l"on peut écrire

8#2N•8G2 »c•c¼• #¹Gº=2sin¹#GºG

¸A#¹Gº•

oùsup jGj6c•#>0jA#¹GºjŸ1(et où par conventionsin¹#GºG =#pourG=0). b.Considérons

U=12c¹

2c 0 jsinCj3Ceti¹Gº=¹ G 0 jsinCj3CUG "

Montrer queU=2c

, quei2C1¹Tº, avec pour toutG2T,i0¹Gº=jsinGj U "

En déduire que

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