[PDF] 1 Exemples et contre-exemples 2 Transformée de Fourier





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Fourier Laplace

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Distributions tempérées

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Transformée de Fourier - Université Sorbonne Paris Nord

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Série de Fourier - Université Sorbonne Paris Nord

V Propriétés de la transformation de Fourier La relation établie au paragraphe précédent entre les transformées de Laplace et de Fourier nous permet de direque que les propriétés des opérateurs L et F sont semblables On admettra les propriétés suivantes: 1 F est linéaire En e¤et quels que soient f g fonctions de L1(R) et



Theorie´ des distributions - Université Sorbonne Paris Nord

[1]J M Bony Cours d’analyse Theorie des distributions et analyse de Fourier´ Les editions´ de l’Ecole Polytechnique Ellipses [2]G Carlier Notes de cours : Analyse fonctionnelle https ://www ceremade dauphine fr/ carlier/poly2010 pdf [3]J Faraut Calcul integral´ 2006 EDP Sciences



Chapitre 12 Transform´ee de Fourier des distributions

Le produit de convolution et les transform´ees de Fourier des distributions temp´er´ees usuelles permettent de d´emonter facilement que la transform´ee de Fou-rier des distributions temp´er´ees v´eri?e les mˆemes propri´et´es que la transform´ee de Fourier des fonctions



TD n°6 : Fourier - Correction

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= ( 1)netein?= ( 1)n,doncc n= 1 2?(1 in) ( 1)n(e? e?) = ( n1) sinh? ?(1 in) . 2.La fonction f est de classe C1, donc la série de Fourier converge simplement vers la f : x 7! 1 2 (f(x+) + f(x )).

Comment calculer la transformee de Fourier ?

Th´eor`eme 12.1La transform´ee de Fourier est une application lin´eaire bijective de S0dans S0et on a : F¡1(F(T)) =F(F¡1(T)) =T(12.5) et comme pour les fonctions F¡1(T)(”) =F(T))(¡”) (12.6) On retrouve aussi les propri´et´es du produit de convolution.

Qu'est-ce que la transformation de Fourier ?

Il est donc naturel que toutes les propriet´ ´es de la transform ee de´ Fourier dans S(Rd) se transposent au cadre des distributions dans S0(Rd). Theor´ eme` 7.3.2. La transformation de Fourier F: S0(Rd) !S0(Rd) est une application lineair´ e, continue, bijective et de recipr´ oque continue.

Qu'est-ce que la Theorie des distributions ?

Nous allons maintenant voir, et c’est l`a l’un des concepts les plus etonnants de la´ theorie des distributions, que l’on peut d´ eriver´ a n’importe quel ordre une distribution quel-` conque et que cette d´erivation est une op eration continue. La situation est donc totalement´ differente du cadre des fonctions d´ erivables classiques.

1 Exemples et contre-exemples 2 Transformée de Fourier Université Pierre et Marie CurieAnalyse réelle, MM003 Master de Mathématiques, M1Année universitaire 2014-2015

Ayman Moussa

moussa@ann.jussieu.fr TD n o9 - Distributions tempérées.

1 Exemples et contre-exemples

Exercice 1.1:Exemples

1. Montrer qu"une masse de Dirac est une distribution tempérée.

2. Montrer qu"un polynôme est une distribution tempérée.

3. Soitf:RdÑRune fonction mesurable vérifiantxÞÑ p1` }x}2q´mfpxq PLppRdqpour un certain

entiermPNet un certainpP r1,8s. Montrer quefest une distribution tempérée.

4. Montrer que la fonctionxÞÑln|x| PL1locpRqest une distribution tempérée et calculer sa dérivée.

Que peut-on en déduire sur la valeur principale de 1{x?

Indication :Pour la dérivation, on considèrera?PDpRqet on intégreraxÞÑln|x|?1pxqpar parties

Voir la correction.

Exercice 1.2:Contre-exemples

1. Montrer que la fonction localement intégrable exp n"est pas une distribution tempérée.

Indication :Fixer une fonction testθpositive non identiquement nulle et à support danss´1,1ret

étudier la famille de crochetsxTexp,τaθypouraPR.

2. On posefpxq:"excospexq.

(a) Montrer quefn"est bornée par aucun polynôme. (b) Montrer cependant quefest une distribution tempérée.

Indication :Donner une primitive def.

Voir la correction.

2 Transformée de Fourier

Exercice 2.1:Rappels de cours

1. Retrouver les formules donnant

yτaT,ydλT, pourTPS1pRdq,aPRdetλPR°.

2. Calculer les transformée de Fourier de la fonction constante égale à 1, de la masse de dirac en

aPRd, des dérivées de cette masse de Dirac, de la fonctionxÞÑeia¨x.

Voir la correction.

1

Exercice 2.2:Heaviside et valeur principale

1. Rappeler ce que vaut le produitx.vpp1{xqet en déduire les solutions dex.T"1 pourTPD1pRq.

2. Si on noteHla fonction de Heaviside, montrer que{vpp1{xq `2iπHest une fonction constante.

3. En remarquant que vpp1{xqest une distribution impaire (qu"est-ce que cela veut dire?), montrer

qu"il est en de même pour sa transformée de Fourier et en déduire finalement que{vpp1{xqest la

fonction localement intégrableiπ1s´8,0r´iπ1s0,`8r.

4. Montrer queiξ.pH"1 et en déduire la transformée de Fourier deH.

Indication :La fonctionH´1{2est impaire.

Voir la correction.

Exercice 2.3:Distribution diagonale

On considère la distribution de deD1pR2q:

T:DpR2q ÝÑR

R ?pt,tqdt.

1. Montrer queTest tempérée.

2. Montrer queBx1T` Bx2T"0.

3. On souhaite calculer la transformée de Fourier deT.

(a) On pose, pour?PSpR2q,Jεp?q:"ż R e´εt2?pt,tqdt. Montrer quexpT,?y "limεÑ0Jεpˆ?q.

(b) En appliquant le théorème de Fubini et un changement de variable approprié, en déduire que

x pT,?y "limεÑ02? R

2?px,2?εz´xqe´z2dxdzet conclure.

Rappel :On rappelle qu"en notantfα:xÞÑe´αx2(αą0) la Gaussienne d"une variable, on a

xfα"a

π{αfα´1{4.

Voir la correction.

3 Applications

Exercice 3.1:Equations de convolution

1. Soientf,gPSpRdqtelles quef‹g"0, peut on affirmer quef"0 oug"0? Et sif"g?

2. Et sifPDpRqetgPDpRq?

Voir la correction.

Exercice 3.2:Equation fonctionnelle : saison 2

Dans un épisode précédent, on avait résolu l"équation fonctionnellef1pxq "fpx`cqpour pf,cq PL1pRq XC1pRq ˆR(il n"y a que la solutionf"0 dans ce cas).Quidde cette équation dans le cas oùfest juste supposée dérivable, à croissance polynômiale?

1. On suppose dans cette question quecRπ{2`2πZet qu"une fonction réelle dérivable à croissance

polynômiale vérifief1pxq "fpx`cq. En appliquant la transformée de Fourier à l"égalité précédente

(après avoir justifié son utilisation), montrer quefest nulle. 2

2. On suppose donc quecPπ{2`2πZ, disonsc"π{2, les autres cas seront similaires.

(a) Montrer que si?PDpRqs"annulle en 1 et´1, alors il existeψPDpRqtelle que?pxq " pix´eixπ{2qψpxq. (b) En déduire que la distribution ˆfest nulle sur les éléments deDpRqnuls en 1 et´1, puis que ˆfest une combinaison linéaire deδ1etδ´1.

3. En déduire la forme générale des fonctions réelles, dérivables, à croissance polynômiale vérifiant

f

1pxq "fpx`cqpour une certaine constantec.

Remarque :L"exercice est bien sûr adaptable en remplaçantfpar une distribution tempérée quel-

conque.

Voir la correction.

Exercice 3.3:

1. Tout d"abord, nettoyons un abcès classique : soitPPRrX1,...,Xdsun polynôme dedvariables

non nul. Montrer queP´1pt0uq " txPRd:Ppxquest d"intérieur vide. Remarque :On montrera, à l"aide d"un contre-exemple, que l"argument "Pn"admet qu"un nombre fini de racines » est honteusement caduc dès lors quedą1.

2. SoitPpBqun opérateur différentiel à coefficient constants non nul. Montrer qu"une distribution à

support compactTPD1pRdqvérifiantPpBqpTq "0 est nécessairement nulle.

Voir la correction.

Exercice 3.4:Liouville généralisé

SoitPun polynôme dedvariables ne s"annulant qu"en le vecteur nul.

1. Montrer que les solutions tempérées de l"équationPpBqT"0 sont toutes polynômiales.

Indication :On rappelle que les distributions dont le support est réduitàt0usont précisément les

combinaisons linéaires finies de dérivées de la masse de Dirac en0.

2. En déduire en particulier qu"une fonction harmonique bornée est nulle.

Voir la correction.

3

CorrectionCorrection 1.1:Exemples

etδaest donc bien une distribution tempérée.

2. SiPest un polynôme, on a par exemple pour toute fonction à décroissance rapide?PSpRdq,

puisquexÞÑ p1` }x}q´d´1PL1pRdq, R dPpxq?pxqdx R d1 p1` }x}qd`1dx* sup xPRdp1` }x}qd`1|Ppxq?pxq|,

3. NotonsPmpxq:" p1` }x}2qm. On a dans ce cas-là, pour toute fonction à décroissance rapide

pP t1,8u,ż R dfpxq?pxqdx R dfpxq

Pmpxq|?pxq|Pmpxqdx

›f

Pm››››

p}?Pm}p1. Puisqueqd:xÞÑ p1` }x}q´d´1appartient en fait à tous les LppRdq, on a finalement R dfpxq?pxqdx

Pm››››

p}qd}p1sup xPRdp1` }x}2qmp1` }x}qd`1|?pxq| xPRdp1` }x}d`m`3q|?pxq|, etfest donc une distribution tempérée.

4. Tout d"abordxÞÑln|x|est bien une distribution tempérée, puisque par exemplexÞÑln|x|p1`x2q´2

est intégrable, si bien que le critère de la question précédente s"applique. Ensuite, si?PDpRq, on

suit l"indication de l"énoncé et il vient I

Rε:"ż

lnp´xq?pxqı

´R`"

lnpxq?pxqı R

´R?pxq

xdx´ż R

ε?pxqxdx,

où l"on rappelle que fonctionxÞÑln|x|est dérivable surR‹, de dérivéexÞÑ1{x. On a donc

I

Rε:"lnpRq"

?pRq ´?p´Rqsı `lnpεq" ?p´εq ´?pεqı xdx. On passe d"abord à la limite enRÑ `8. Le terme en facteur de lnpRqest nul pourRě maxSuppp?q(qui est compact), et on obtient alors par convergence dominée, puisque?PDpRq |x|ěεln|x|?1pxqdx"lnpεq" ?p´εq ´?pεqı xdx.

0 (par domination). Finalement par convergence dominée le membre de gauche de l"égalité tend

xxÞÑln|x|,?1y, et par définition de la valeur principale le membre de droitetend vers´xvpp1{xq,?y.

Par définition de la dérivée au sens des distributions on a finalement que la dérivée dexÞÑln|x|

est justement la valeur principale. On sait queS1pRqest stable par dérivation (cours), on a donc vpp1{xq PS1pRq.

Retour à l"énoncé de l"exercice.

4

Correction 1.2:Contre-exemples

1. On suit l"indication de l"énoncé. SiTexpétait tempérée, alors il existerait une constanteCą0 et

des entiersm,pPNtels que pour toute fonction test?PDpRq xPRp1`x2qm|?pkqpxq|. SiθPDps ´1,1rqest positive etaPRon devrait avoir, puisqueτaθest à support dansIa:" sa´1,1`ar xPIap1`x2qm|pτaθqpkqpxq| xPIap1`x2qm|τaθpkqpxq| "Csup xPIap1`x2qm|θpkqpx´aq|. MaisxÞÑ p1`x2qmest bornée parp2` p1`aq2qmsurIa, si bien que finalement il viendrait xPR|θpkq|.

Mais par ailleurs, on remarque que

xTexp,τaθy "ż R si bien que l"inégalité précédente s"écrit e xPR|θpkq|, et puisqueθ‰0, on axTexp,θy ‰0, et il vient en divisant e xPR|θpkq|,

c"est à dire une borne polynômiale (ena) pour la fonction exponentielle, ce qui est manifestement

contradictoire : expRS1pRq.

2. (a) Sifétait bornée par un polynôme, par domination on aurait cospexq ÝÑxÑ`80 ce qui est faux,

comme on peut le voir en considérant la suitexk:"lnp2πkqqui tend vers`8aveckalors que cospexkq "1. (b) Une primitive defestxÞÑsinpexq PL8pRq. Puisque L8pRq ĂS1pRqet que ce dernier espace est stable par dérivation (cours), on a bienfPS1pRq.

Retour à l"énoncé de l"exercice.

Correction 2.1:Rappels de cours

1. On a les mêmes formules que pour les éléments deSpRq, que l"on retrouve aisément par changement

de variables, en notantea:xÞÑe´ix¨a,yτaT"eapTainsi queydλT" |λ|nd1{λpT.

2. On a, grâce à la formule d"inversion de Fourier

@?PSpRdq,xˆ1,?y " x1,ˆ?y "ż R dˆ?ptqdt"ˆˆ?p0q "ˆˆ?p0q " p2πqd?p0q, et donc

1" p2πqdδ0, et également (par inversion de la précédente formule par exemple)ˆδ0"1. On

sait queδa"τaδ0, la question précédente donne doncˆδa"ea, et donc par la formule d"inversion

pea"ˆˆδa" p2πqdδa" p2πq2δ´a. Enfin, on a bien sûr pour tout multi-indiceαPNd,zBαδa"i|α|ξαˆδa

(avec la conventionξα"ξα11ˆ ¨¨¨ ˆξαnn).

Retour à l"énoncé de l"exercice.

5

Correction 2.2:Heaviside et valeur principale

1. On axvpp1{xq "1, et on sait par ailleurs que les distributionsSvérifiantxS"0 sont proportion-

nelles à la masses de Dirac en 0 (pour ces deux points on pourrajeter un oeil sur l"avant-dernière

feuille d"exercices). Maintenant sixT"1 on a doncxpT´vpp1{xqq "0, et doncT"vpp1{xq`λδ0

pour un certainλPC, et on vérifie réciproquement que ces distributions sont bien solutions de

xT"1.

2. Il suffit de vérifier que la dérivée distributionnelle de

{vpp1{xq `2iπHest nulle, ce qui est une conséquence de

{vpp1{xq1"{´ixvpp1{xq " ´ip1" ´2iπδ0d"après l"exercice précédent, et comme on

sait queH1"δ0, la distribution en question est bien une fonction constante.

3. Une distributionTest impaire lorsqueT"d´1T" ´T. On a

x ?vpp1{xq,?y " xvpp1{xq,?y "limεÑ0ż |x|ěε?pxq xdx "limεÑ0ż |x|ěε?p´xq xdx uдx" ´limεÑ0ż |u|ěε?puq udu " ´xvpp1{xq,?y,

si bien que vpp1{xq " ´?vpp1{xqest bel et bien impaire. On vérifie sans peine queetˆcommutent

surS1pRdq, si bien que la transformée de Fourier conserve la parité ou l"imparité. Ceci étant dit on

a{vpp1{xq `2iπH"Cd"après la question précédente, en appliquant l"opérateurà cette égalité il

vient donc´{vpp1{xq `2iπH"C, et puisqueH"1R´, on a finalement vpp1{xq `2iπ1R`"C {vpp1{xq `2iπ1R´"C,

et on retrouve la formule annoncée en soustrayant la deuxième ligne à la première et en isolant{vpp1{xq.

4. On sait queiξpH"ˆH1, d"oùiξpH"ˆδ0, et donciξpH"1 d"après l"exercice précédent.ipHest donc

solution dexT"1 surR, donc d"après la première question, on aλPCtel queipH"vpp1{xq`λδ0,

soit

pH" ´ivpp1{xq´iλδ0. OnH´1{2"1{2p1R`´1R´qqui est bien impaire comme annoncé, et

donc

{H´1{2 également. Mais puisque{H´1{2"pH´πδ0, et sachant queδ0est paire, il vient en

appliquant l"opérateurqquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38
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