LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE
Un programme linéaire (PL) mis sous la forme particulière où toutes les contraintes sont des équations et toutes les variables sont non négatives est dit sous
Chapitre 3 Méthode du simplexe
Le principe de la méthode du simplexe est d'éviter de calculer tous les du système augmenté obtenu en ajoutant au système Ax = b la relation linéaire.
Méthode du simplexe
implantation de l'algorithme du simplexe méthode révisée du simplexe (relation entre deux Si un problème de programmation linéaire admet au moins une.
1 Programmation linéaire Algorithme du simplexe Résolution de
Si oui donner la solution optimale de (P) et son coût. Page 3. 3. Corrigé. Résolution de programmes linéaires par la méthode des tableaux du simplexe.
Programmation linéaire. Méthode du simplexe.
25 oct. 2010 Un programme linéaire est la maximisation ou la minimisation d'une fonction linéaire sous des contraintes linéaires. 2.1 Exemple. Voici un petit ...
Leçon 0603C La programmation linéaire 2 le simplexe
Lorsque nous sommes en présence de plus de deux produits la méthode du simplexe est la seule méthode permettant de trouver la combinaison de produits qui rend
Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires
C. Prins et M. Sevaux - Programmation linéaire avec Excel : 55 Prochain cours. • Méthode pour résoudre les probl`emes linéaires : le simplex.
1 Programmation linéaire
Document 4 : Corrigé des exercices d'optimisation linéaire. 1 Programmation linéaire Le tableau de départ pour la méthode du simplexe est donc :.
Programmation Linéaire - Cours 2
réels : la programmation linéaire Apprendre la méthode du simplex. • Comprendre son fonctionnement ... Méthode du dictionnaire - version générique.
LA PROGRAMMATION LINEAIRE : RESOLUTION ANALYTIQUE
La programmation linéaire : Résolution analytique La méthode que nous venons d'utiliser est l'algorithme du simplexe du à Dantzig (1947).
Chapitre 3 Méthode du simplexe - Université Laval
Méthode du simplexe CommetoujoursonsupposequeA unematricedeformatm n etb 2Rm Onnoterales colonnesdeA par[a 1;a 2;:::;a n] Aussionferal’hypothèsequelerangdelamatriceA est égalàm Selonlechapitreprécédentnoussavonsquelasolutionoptimaleduproblèmed’optimisation linéaire max z = ctx; Ax = b; x 0: (3 1)
Module 06 - Leçon 03 : La méthode du simplexe
Avant que l’algorithme du simplexe puisse être utilisé pour résoudre un programme linéaire ce programme linéaire doit être converti en un programme équivalent où toutes les contraintes technologiques sont des équations et toutes les variables sont non négatives a Contraintes de type
1 INTRODUCTION 2 AJOUT DES VARIABLES ARTIFICIELLES 3 L
base réalisable au modèle de programmation linéaire 3 L’ALGORITHME DU SIMPLEXE EN DEUX PHASES: La méthode des deux phases consiste à segmenter l’algorithme du simplexe en deux étapes La première étape dite Phase 1 consiste à éliminer les variables artificielles de la base (ou au moins à les rendre nulles)
Programmation linéaire Algorithme du simplexe Résolution de
Programmation linéaire Algorithme du simplexe Résolution de programmes linéaires par la méthode des tableaux du simplexe Soit le programme linéaire : max????=2????1+????2 Sous les contraintes x 1 0 x 2 0 et {????1?????2?3 ????1+22?6 ?????1+2????2?2 1-Rajouter les variables d’écart (positives ou nulles)
Qu'est-ce que la méthode du simplexe?
1 - Principe Lorsque nous sommes en présence de plus de deux produits, la méthode du simplexe est la seule méthode permettant de trouver la combinaison de produits qui rend optimal la fonction économique.
Comment fonctionne l’algorithme du simplexe ?
L’algorithme du simplexe est mis en œuvre selon deux méthodes, la méthode des dictionnaires et la méthode des tableaux. La première méthode permet de bien comprendre le déroulement du simplexe alors que la méthode des tableaux est plus algébrique et elle conduit à la mise en œuvre effective de l’algorithme du simplexe.
Qui a inventé le simplexe ?
Ce terme a été introduit pendant la Seconde Guerre mondiale et systématiquement utilisé à partir de 1947 lorsque G. Dantzig inventa la méthode du simplexe pour résoudre les problèmes de programmation linéaire.
Comment résoudre un programme linéaire ?
Cet article présente les propriétés et les concepts fondamentaux de la programmation linéaire puis expose l’algorithme du simplexe pour résoudre un programme linéaire. L’algorithme du simplexe est mis en œuvre selon deux méthodes, la méthode des dictionnaires et la méthode des tableaux.
Chapitre 3
Méthode du simplexe
Comme toujours, on suppose queAune matrice de formatmnetb2Rm. On notera les colonnes deApar[a1;a2;:::;an]. Aussi, on fera l"hypothèse que le rang de la matriceAestégal à m.
Selon le chapitre précédent, nous savons que la solution optimale du problème d"optimisation
linéairemaxz=ctx; Ax=b; x0:(3.1) se trouve en un sommet de l"ensemble convexe des solutions admissiblesK=fx0jAx= bg. De plus, nous savons que les sommets sont étroitement reliés aux solutions de base admis- sibles. Concrètement, cela signifie que si on choisit une liste de m variables dites de base B=fxj1;xj2;:::;xjmgassociées à des colonnesfaj1;aj2;:::;ajmgqui forment une base de l"espace-colonne, on peut calculer l"unique solution de bases du système Ax B=b en imposant que les variables hors-basexi= 0pour tous lesi6=j1;j2;:::;jm. SixB0, lasolution est admissible et sera appellée solution de base admissible ou réalisable. D"après le
chapitre précédent, la solution de basexBcorrespond à un sommet deK. Par conséquent, il suffit de calculer tous les sommets deKpour trouver la solution optimale.Mais le nombre de sommets est de l"ordre
n!m!(nm)!ce qui est beaucoup trop pour desnetm relativement grands. Le principe de la méthode du simplexe est d"éviter de calculer tous les sommets. A partir d"un sommet donné, la méthode calculera une suite de sommets adjacents l"un par rapport au précédent et qui améliore la fonction objective.3.1 Solutions de base adjacentes
Définition
3.1.1 Deux sommetsxetysont dits adjacents si les variables de base ne
diffèrent que d"un seul élément. 12CHAPITRE 3. MÉTHODE DU SIMPLEXE
Reprenons le problème modèle du premier chapitre écrit sous la forme canonique maxz= 5x1+ 4x2 x1+x3= 6
x1=4 +x2+x4= 6
3x1+ 2x2+x5= 22
x1;x2;x3;x4;x50
Le sommetx= (4;5;2;0;0)correspond aux variables de basefx1;x2;x3g. De même, le sommety= (6;2;0;2:5;0)est associé aux variables de basefx1;x2;x4g. Les deux sommets sont adjacents ce qui est conforme au graphique de l"ensembleKprojeté dansR2.Le système s"écrit
2 6641 0 1 0 0
1=4 1 0 1 0
3 2 0 0 13
7 7526 6664x
1 x 2 x 3 x 4 x 53
7
7775=2
6 6466 223
7 75
Pour calculer la solution de base(4;5;2;0;0), il suffit d"extraire les 3 colonnes de la matriceA
et de résoudre le système carré par la méthode d"élimination de Gauss. Toutefois, lorsque que
l"on voudra calculer la nouvelle solution de base(6;2;0;2:5;0), il faudra recommencer l"éli- mination de Gauss avec les nouvelles colonnes de base. Il est plus avantageux de poursuivre élimination de Gauss à partir du premier calcul.Voici un exemple de calcul.
a)En premier, on forme la matrice augmen tée
2 6641 0 1 0 0 6
1=4 1 0 1 0 6
3 2 0 0 1 223
7 75b) On applique l"élimination de Gauss-Jordan p ourles v ariablesde base fx1;x2;x3g. 2 6
641 0 04=5 2=5 4
0 1 0 6=51=10 5
0 0 1 4=52=5 23
7 75Donc x
1= 4 + 4=5x42=5x5
x2= 56=5x4+ 1=10x5
x3= 24=5x4+ 2=5x5
En posant les variables hors-basesx4=x5= 0, on obtient bien la solution de base x= (4;5;2;0;0).3.2. MÉTHODE DU SIMPLEXE : PHASE II3
c) Main tenant,on désire calculer la solution de base adjacen tel iéesaux v ariablesd ebase fx1;x2;x4g. Pour cela, on poursuit l"élimination de Gauss-Jordan à partir du pivot a 3;42 6641 0 1 0 0 6
0 13=2 0 1=2 2
0 0 5=4 11=2 5=23
7 75:Donc x
1= 6x3
x2= 2 + 3=2x31=2x5
x4= 5=25=4x3+ 1=2x5
En posant les variables hors-basesx3=x5= 0, on obtient bien la solution de base y= (6;2;0;2:5;0). d) P oursuivonsà u nautre sommet adjacen tz= (6;0;0;4:5;4)dont les variables de base sontfx1;x4;x5g. Ce sommet est adjacent àymais pas àx. Poursuivons l"élimination de Gauss-Jordan à partir du pivota2;5 2 6641 0 1 0 0 6
0 23 0 1 4
0 11=4 1 0 9=23
7 75:On obtient les relations
x1= 6x3
x5= 42x2+ 3x3
x4= 9=2x2+ 1=4x3
En posant les variables hors-basesx2=x3= 0, on obtient bien la solution de base z= (6;0;0;4:5;4). L"opération décrite ci-dessus est aussi connue sous le nom de pivotement. Cette stratégie sera à la base de la méthode du simplexe.3.2 Méthode du simplexe : Phase II
Dans cette section, nous allons présenter la Phase II de la méthode du simplexe. La PhaseI qui sert plus à initialiser la Phase II, sera aborder plus tard. Cette phase s"applique à des
problèmes du type maxz=ptx; Cxb; x0:ouminz=ptx; Cxb; x0:(3.2)4CHAPITRE 3. MÉTHODE DU SIMPLEXE
oùCest une matrice de formatmn. On fera l"hypothèse queb0. Cette supposition est cruciale pour la Phase II. Ceci garantie que02K=fx0jCxbg. De plus, nous savons que le point0est un sommet. Ce point servira de point de départ de l"algorithme du simplexe. En gros, l"algorithme va pivoter autour de ce point pour trouver un meilleur sommet. On poursuit l"algorithme jusqu"à l"obtention de la solution optimale.La méthode débute avec la forme canonique du problème (3.2) que l"on écrira sous la forme
maxz=ctx; Ax=b; x0:(3.3) Attention, nous avons inclus les variables d"écart dans la liste des variables, i.e.x2Rm+n.La matriceAetcsont données par
A= [C I]c=p
0L"idée de base de la méthode du simplexe consiste à appliquer l"élimination de Gauss-Jordan
à partir du système augmenté obtenu en ajoutant au systèmeAx=bla relation linéaire z=ctxAx=b; c txz= 0 Ce système peut s"écrire sous la forme matricielle A0 c t1 x z =b 0Nous allons illustrer la méthode sur l"exemple
maxz=x1+ 2x2 sous les contraintes 8< :2x1+x22; x1+ 3x23;
x1;x20:
Au préalable, on écrit le problème sous la forme canonique maxz=x1+ 2x2 sous les contraintes 8< :2x1+x2+x3= 2; x1+ 3x2+x4= 3;
x1;x2;x3;x40:
Voici les étapes de la méthode du simplexe.
3.2. MÉTHODE DU SIMPLEXE : PHASE II5
0.I nitialisation
On choisit la solution de base admissible(0;0;2;3)comme point de départ de l"algo- rithme. Les variables de base sontfx3;x4get les variables hors-base sontfx1;x2g. Ce choix est toujours possible sib0.On forme le tableau initialT.
2 6642 1 1 0 0 2
1 3 0 1 0 3
1 2 0 01 03
7 751.
Choix de la colonne de piv ot
On doit aller vers un sommet adjacent pour lequel la valeur de la fonction objectivez en ce sommet est supérieure. Pour cela, on choisira la variablexiqui fera augmenter le plus rapidementz. C"est-à-dire que l"on choisit l"indiceiqui maximise@z@x i=ci>0. Dans notre cas, la fonctionzvarie plus rapidement en fonction de la variablex2. Donc, on choisit la deuxième colonne comme colonne de pivot. La variablex2entre dans la base mais une variable doit sortir. Remarque 3.2.1Si tous lesci0, la fonction objectivezne peut augmenter davantage. Donc nous avons trouver la solution optimale et l"algorithme se termine à cette étape. 2.Choix de la lign ede piv ot
Quels sont les sommets adjacents de disponible et ayant la variablex2? Il y a 2 possibilités :fx2;x3getfx2;x4g. Essayons le choixfx2;x4g. Donc,x3quitte la base. La solution de base s"obtient à l"aide de l"élimination de Gauss-Jordan à partir du pivota12. On obtient : 2 6642 1 1 0 0 2
5 03 1 03
3 02 0143
7 75et la nouvelle solution de base sera(0;2;0;3)qui n"est pas admissible! Essayons de nouveau avecfx2;x3g. Donc,x4quitte la base. La solution de base s"obtient à l"aide de l"élimination de Gauss-Jordan à partir du pivota22. On obtient : 2 6
645=3 0 11=3 0 1
1=3 1 0 1=3 0 1
1=3 0 02=3123
7 75et la nouvelle solution de base serax= (0;1;1;0)qui est admissible.
6CHAPITRE 3. MÉTHODE DU SIMPLEXE
On observe que la dernière ligne s"écrit
1=3x12=3x4z=2()z= 2 + 1=3x12=3x4:
Etant donné que les variable hors-base vérifiex1=x4= 0, on a quez= 2qui est la valeur de la fonction objective au sommetx= (0;1;1;0). 3.On retourne à l"étap e1.
La dernière ligne du tableau~cxz=2fournie toujours la valeur dez= ~cx+ 2.Même si les coefficients decont été modifiés, le principe de base de l"étape 1 s"applique.
C"est-à-dire que l"on choisit l"indiceiqui maximise@z@x i= ~ci>0. Dans notre cas, la fonctionzvarie plus rapidement en fonction de la variablex1. Donc, on choisit la première colonne comme colonne de pivot. La variablex1entre dans la base et une variable doit sortir. 4.On retourne à l"étap e2.
Les sommets adjacents (ayant la variablex1de commun) sontfx1;x2getfx1;x3g.Essayons avecfx1;x3g. On obtient :
2 66405 12 04
1 3 0 1 0 3
01 01133
7 75et la nouvelle solution de base sera(3;2;4;0)qui n"est pas admissible! Essayons l"autre possibilité avecfx1;x2g. On obtient :2 6
641 0 3=51=5 0 3=5
0 11=5 2=5 0 4=5
0 01=53=51115
3 7 75et la nouvelle solution de base sera(3=5;4=5;0;0)qui est admissible! 5.
On retourne à l"étap e1.
Dans ce cas, la solution sera optimale car les coefficients (pourx1àx4)de la dernière ligne sont tous négatifs ou nuls. On ne peut améliorer la solution en visitant d"autres sommets adjacents. La valeur dezest celle donnée au coin inférieure droit :z= 11=5 car il faut en changer le signe selon la relation~cxz=11=5. Remarque 3.2.2En premier lieu, on observe que l"avant dernière colonne est toujours inchangé. Cela est logique car cette colonne n"est jamais choisie comme colonne de pivot.Son rôle est de fournir la valeur dez. Par conséquent, il est inutile d"écrire cette colonne.
Deuxièmement, il est évident que nous ne pouvons nous permettre d"explorer toutes lespossibilités pour le choix de la ligne de pivot à l"étape 2. Nous avons besoin d"un critère de
sélection.Voici les étapes de la méthode du simplexe. Afin de ne pas nuire à la lisibilité du texte, nous
avons convenu de ne pas changer de notation pour la matriceAet des vecteursbetcen cours d"itération du simplexe. On notera parBle choix de la base à chaque étape du simplexe.3.2. MÉTHODE DU SIMPLEXE : PHASE II7
Algorithme du simplexe
Étape 0 :
On forme le tableau initial Bx
1x2::: xnxn+1xn+2::: xn+mx
n+1a11a12::: a1n1 0:::0b
1x n+2a21a22::: a2n0 1:::0b
2. ..x n+ma m1am2::: a1n0 0:::1b mc1c2::: cn0 0:::00
La base initiale de l"espace-colonne serafxn+1;xn+2;:::;xn+mg. Les autres variables seront égales à0ce qui correspond au point de départx= (0;0;:::;0).Étape 1 :
On doit c hoisirla colonn ede piv ot.
Pour cela, on choisit l"indicejtel quel
c j= maxfcijci>0g: Si aucun choix est possible, on a atteint la solution optimale et l"algorithme se termine. Sinon, on passe à l"étape suivante. Pour un problème de minimisation, on modifie le critère en choissisant l"indicejtel que c j= minfcijci<0g:Étape 2 :
On doit c hoisirla l ignede piv ot.
Pour cela, on choisit l"indice i en utilisant le critère du quotient b ia ij= minfbka kjjakj>0k= 1;2;:::;mg oùjest la colonne de pivot de l"étape 1. a) On applique la pro cédured"élimination de Gauss-Jordan autour du piv otsitué à l"intersection de la ligneiet de la colonnej. Ensuite, on divise la ligneipar le pivot pour le mettre égal à 1. b)quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17[PDF] interprétation droite de henry
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