LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE
Un programme linéaire (PL) mis sous la forme particulière où toutes les contraintes sont des équations et toutes les variables sont non négatives est dit sous
Chapitre 3 Méthode du simplexe
Le principe de la méthode du simplexe est d'éviter de calculer tous les du système augmenté obtenu en ajoutant au système Ax = b la relation linéaire.
Méthode du simplexe
implantation de l'algorithme du simplexe méthode révisée du simplexe (relation entre deux Si un problème de programmation linéaire admet au moins une.
1 Programmation linéaire Algorithme du simplexe Résolution de
Si oui donner la solution optimale de (P) et son coût. Page 3. 3. Corrigé. Résolution de programmes linéaires par la méthode des tableaux du simplexe.
Programmation linéaire. Méthode du simplexe.
25 oct. 2010 Un programme linéaire est la maximisation ou la minimisation d'une fonction linéaire sous des contraintes linéaires. 2.1 Exemple. Voici un petit ...
Leçon 0603C La programmation linéaire 2 le simplexe
Lorsque nous sommes en présence de plus de deux produits la méthode du simplexe est la seule méthode permettant de trouver la combinaison de produits qui rend
Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires
C. Prins et M. Sevaux - Programmation linéaire avec Excel : 55 Prochain cours. • Méthode pour résoudre les probl`emes linéaires : le simplex.
1 Programmation linéaire
Document 4 : Corrigé des exercices d'optimisation linéaire. 1 Programmation linéaire Le tableau de départ pour la méthode du simplexe est donc :.
Programmation Linéaire - Cours 2
réels : la programmation linéaire Apprendre la méthode du simplex. • Comprendre son fonctionnement ... Méthode du dictionnaire - version générique.
LA PROGRAMMATION LINEAIRE : RESOLUTION ANALYTIQUE
La programmation linéaire : Résolution analytique La méthode que nous venons d'utiliser est l'algorithme du simplexe du à Dantzig (1947).
Chapitre 3 Méthode du simplexe - Université Laval
Méthode du simplexe CommetoujoursonsupposequeA unematricedeformatm n etb 2Rm Onnoterales colonnesdeA par[a 1;a 2;:::;a n] Aussionferal’hypothèsequelerangdelamatriceA est égalàm Selonlechapitreprécédentnoussavonsquelasolutionoptimaleduproblèmed’optimisation linéaire max z = ctx; Ax = b; x 0: (3 1)
Module 06 - Leçon 03 : La méthode du simplexe
Avant que l’algorithme du simplexe puisse être utilisé pour résoudre un programme linéaire ce programme linéaire doit être converti en un programme équivalent où toutes les contraintes technologiques sont des équations et toutes les variables sont non négatives a Contraintes de type
1 INTRODUCTION 2 AJOUT DES VARIABLES ARTIFICIELLES 3 L
base réalisable au modèle de programmation linéaire 3 L’ALGORITHME DU SIMPLEXE EN DEUX PHASES: La méthode des deux phases consiste à segmenter l’algorithme du simplexe en deux étapes La première étape dite Phase 1 consiste à éliminer les variables artificielles de la base (ou au moins à les rendre nulles)
Programmation linéaire Algorithme du simplexe Résolution de
Programmation linéaire Algorithme du simplexe Résolution de programmes linéaires par la méthode des tableaux du simplexe Soit le programme linéaire : max????=2????1+????2 Sous les contraintes x 1 0 x 2 0 et {????1?????2?3 ????1+22?6 ?????1+2????2?2 1-Rajouter les variables d’écart (positives ou nulles)
Qu'est-ce que la méthode du simplexe?
1 - Principe Lorsque nous sommes en présence de plus de deux produits, la méthode du simplexe est la seule méthode permettant de trouver la combinaison de produits qui rend optimal la fonction économique.
Comment fonctionne l’algorithme du simplexe ?
L’algorithme du simplexe est mis en œuvre selon deux méthodes, la méthode des dictionnaires et la méthode des tableaux. La première méthode permet de bien comprendre le déroulement du simplexe alors que la méthode des tableaux est plus algébrique et elle conduit à la mise en œuvre effective de l’algorithme du simplexe.
Qui a inventé le simplexe ?
Ce terme a été introduit pendant la Seconde Guerre mondiale et systématiquement utilisé à partir de 1947 lorsque G. Dantzig inventa la méthode du simplexe pour résoudre les problèmes de programmation linéaire.
Comment résoudre un programme linéaire ?
Cet article présente les propriétés et les concepts fondamentaux de la programmation linéaire puis expose l’algorithme du simplexe pour résoudre un programme linéaire. L’algorithme du simplexe est mis en œuvre selon deux méthodes, la méthode des dictionnaires et la méthode des tableaux.
ObjectifLe simplexPi`egesBilan
Programmation Lin´eaire - Cours 2
F. Clautiaux
francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.frUniversit´e Bordeaux 1
Bˆat A33
ObjectifLe simplexPi`egesBilan
Sommaire
Objectif du cours
Algorithme du simplex
Pi`eges du simplex
BilanObjectifLe simplexPi`egesBilan
R´esum´e des ´episodes pr´ec´edents On dispose d"un formalisme pourmod´eliserdes probl`emes r´eels : la programmation lin´eaire On a appris `a r´esoudre le probl`eme `a la main en deuxdimensions Intuition pour r´esoudre en dimension sup´erieure : se d´eplacer de sommet en sommet du poly`edre convexe form´e par les contraintes lin´eairesObjectifLe simplexPi`egesBilan
Objectif du cours
Apprendre la m´ethode du simplex
Comprendre son fonctionnement
Savoir contourner les pi`eges pour l"algorithme Lien avec des notions de math´ematiques connues,interpr´etation g´eom`etriqueObjectifLe simplexPi`egesBilan
Sommaire
Objectif du cours
Algorithme du simplex
Un simplex pas `a pas sur un exemple
M´ethode du dictionnaire - version g´en´eriquePi`eges du simplex
BilanObjectifLe simplexPi`egesBilan
Rappel : forme standard
`A partir de tout PL sous forme normale, on peut construire un PLsous forme standard maxz=n? i=1c ixi n i=1a x i≥0(i= 1,...,n)maxz=n? i=1c ixi n i=1a ijxi+sj=bj(j= 1,...,m) x i≥0(i= 1,...,n) s j≥0(i= 1,...,m)ObjectifLe simplexPi`egesBilan
Base initiale
Calculons une solution initiale simple.
maxz= 5x+y x+y+s1= 10 x-y+s2= 1 x+s3= 3 ?x ?y AB C D E Choix de la base initiale : annuler les variables de d´ecision, ne garder que les variables d"´ecart.Syst`eme obtenu
+s1= 10 +s2= 1 +s3= 3Solution
s1= 10,s2= 1,s3= 3 x= 0,y= 0 z= 0 + 0 = 0ObjectifLe simplexPi`egesBilan
Exemple pas `a pas
R´e´ecrivons notre probl`eme en fonction de notre base (s1,s2,s3). z= 0 +5x+y s1= 10-x-y
s2= 1-x+y
s3= 3-x
?x ?y AB C D EOn parle de forme canonique.
z et les ´el´ements de la base sont chacun exprim´es en fonction d"une constante et des variables hors base en affectant la valeur 0 aux variables hors base, le syst`eme ser´esout directementObjectifLe simplexPi`egesBilan
Exemple pas `a pas
R´e´ecrivons notre probl`eme en fonction de notre base (s1,s2,s3). z= 0 +5x+y s1= 10-x-y
s2= 1-x+y
s3= 3-x
?x ?y AB C D EComment am´eliorer la solution?
En augmentantxouy(on choisitx).
ObjectifLe simplexPi`egesBilan
Exemple pas `a pas
R´e´ecrivons notre probl`eme en fonction de notre base (s1,s2,s3). z= 0 +5x+y s1= 10-x-y
s2= 1-x+y
s3= 3-x
?x ?y AB C D EJusqu"o`u augmenterx?
On sait ques1,s2,s3≥0
s s s s2, qui sort de la base.
ObjectifLe simplexPi`egesBilan
Exemple pas `a pas
On remplaces2parxdans la base
z= 0 +5x+y +s1= 10-x-y +s2= 1-x+y +s3= 3-x ?x ?y AB C D EObjectifLe simplexPi`egesBilan
Exemple pas `a pas
On remplaces2parxdans la base
z-5x= 0 +y +s1+x= 10-y +x= 1-s2+y +x+s3= 3 ?x ?y AB C D EObjectifLe simplexPi`egesBilan
Exemple pas `a pas
Puis on remet le PL sous forme canonique
z= 5-5s2+6y +s1= 9 +s2-2y +x= 1-s2+y +s3= 2 +s2-y ?x ?y AB C D EObjectifLe simplexPi`egesBilan
Exemple pas `a pas
z= 5-5s2+6y +s1= 9 +s2-2y +x= 1-s2+y +s3= 2 +s2-y ?x ?y AB C D E Peut-on am´eliorer la solution? Oui :ya un coefficient positif.Jusqu"o`u augmentery?
On sait ques1,x,s3≥0
s x= 1 +y=?y≥ -1 s s3, qui sort de la base.
ObjectifLe simplexPi`egesBilan
Exemple pas `a pas
On remplaces3paryen base
z= 5-5s2+6y +s1= 9 +s2-2y +x= 1-s2+y +s3= 2 +s2-y ?x ?y AB C D EObjectifLe simplexPi`egesBilan
Exemple pas `a pas
On remplaces3paryen base
z-6y= 5-5s2 +s1+2y= 9 +s2 +x-y= 1-s2 +y= 2 +s2-s3 ?x ?y AB C D EObjectifLe simplexPi`egesBilan
Exemple pas `a pas
Et on r´e´ecrit le PL sous forme canonique
z= 17 +s2-6s3 +s1= 5-s2+2s3 +x= 3-s3 +y= 2 +s2-s3 ?x ?y AB C D EObjectifLe simplexPi`egesBilan
Exemple pas `a pas
z= 17 +s2-6s3 +s1= 5-s2+2s3 +x= 3-s3 +y= 2 +s2-s3 ?x ?y AB C D E Peut-on am´eliorer la solution? Oui,s2a un coefficient positif.Jusqu"o`u augmenters2?
On sait ques1,x,y≥0
s s1, qui sort de la base.
ObjectifLe simplexPi`egesBilan
Exemple pas `a pas
On remplaces1pars2en base.
z= 17 +s2-6s3 +s1= 5-s2+2s3 +x= 3-s3 +y= 2 +s2-s3 ?x ?y AB C D EObjectifLe simplexPi`egesBilan
Exemple pas `a pas
On remplaces1pars2en base.
z-s2= 17-6s3 +s2= 5-s1+2s3 +x= 3-s3 -s2+y= 2-s3 ?x ?y AB C D EObjectifLe simplexPi`egesBilan
Exemple pas `a pas
Et on ´ecrit le PL sous forme canonique.
z= 22 +s1-4s3 +s2= 5-s1+2s3 +x= 3-s3 +y= 7-s1+s3 ?x ?y AB C D EObjectifLe simplexPi`egesBilan
Exemple pas `a pas
z= 22 +s1-4s3 +s2= 5-s1+2s3 +x= 3-s3 +y= 7-s1+s3 ?x ?y AB C D E Peut-on am´eliorer la solution? Non : tous les coefficients sont n´egatifs dans l"objectif.Solution obtenue
x= 3,y= 7,(s2= 5) s1=s3= 0
z= 22ObjectifLe simplexPi`egesBilan
Description formelle de la m´ethode
Probl`eme lin´eaire sous la forme
max jcjxj s.c.? x j≥0 pourj= 1, ...,n Ajout des variables d"´ecart et d"une variable objectif z=?nj=1cjxj x n+i=bi-?nj=1ai,jxjpouri= 1, ...,mObjectifLe simplexPi`egesBilan
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