LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE
Un programme linéaire (PL) mis sous la forme particulière où toutes les contraintes sont des équations et toutes les variables sont non négatives est dit sous
Chapitre 3 Méthode du simplexe
Le principe de la méthode du simplexe est d'éviter de calculer tous les du système augmenté obtenu en ajoutant au système Ax = b la relation linéaire.
Méthode du simplexe
implantation de l'algorithme du simplexe méthode révisée du simplexe (relation entre deux Si un problème de programmation linéaire admet au moins une.
1 Programmation linéaire Algorithme du simplexe Résolution de
Si oui donner la solution optimale de (P) et son coût. Page 3. 3. Corrigé. Résolution de programmes linéaires par la méthode des tableaux du simplexe.
Programmation linéaire. Méthode du simplexe.
25 oct. 2010 Un programme linéaire est la maximisation ou la minimisation d'une fonction linéaire sous des contraintes linéaires. 2.1 Exemple. Voici un petit ...
Leçon 0603C La programmation linéaire 2 le simplexe
Lorsque nous sommes en présence de plus de deux produits la méthode du simplexe est la seule méthode permettant de trouver la combinaison de produits qui rend
Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires
C. Prins et M. Sevaux - Programmation linéaire avec Excel : 55 Prochain cours. • Méthode pour résoudre les probl`emes linéaires : le simplex.
1 Programmation linéaire
Document 4 : Corrigé des exercices d'optimisation linéaire. 1 Programmation linéaire Le tableau de départ pour la méthode du simplexe est donc :.
Programmation Linéaire - Cours 2
réels : la programmation linéaire Apprendre la méthode du simplex. • Comprendre son fonctionnement ... Méthode du dictionnaire - version générique.
LA PROGRAMMATION LINEAIRE : RESOLUTION ANALYTIQUE
La programmation linéaire : Résolution analytique La méthode que nous venons d'utiliser est l'algorithme du simplexe du à Dantzig (1947).
Chapitre 3 Méthode du simplexe - Université Laval
Méthode du simplexe CommetoujoursonsupposequeA unematricedeformatm n etb 2Rm Onnoterales colonnesdeA par[a 1;a 2;:::;a n] Aussionferal’hypothèsequelerangdelamatriceA est égalàm Selonlechapitreprécédentnoussavonsquelasolutionoptimaleduproblèmed’optimisation linéaire max z = ctx; Ax = b; x 0: (3 1)
Module 06 - Leçon 03 : La méthode du simplexe
Avant que l’algorithme du simplexe puisse être utilisé pour résoudre un programme linéaire ce programme linéaire doit être converti en un programme équivalent où toutes les contraintes technologiques sont des équations et toutes les variables sont non négatives a Contraintes de type
1 INTRODUCTION 2 AJOUT DES VARIABLES ARTIFICIELLES 3 L
base réalisable au modèle de programmation linéaire 3 L’ALGORITHME DU SIMPLEXE EN DEUX PHASES: La méthode des deux phases consiste à segmenter l’algorithme du simplexe en deux étapes La première étape dite Phase 1 consiste à éliminer les variables artificielles de la base (ou au moins à les rendre nulles)
Programmation linéaire Algorithme du simplexe Résolution de
Programmation linéaire Algorithme du simplexe Résolution de programmes linéaires par la méthode des tableaux du simplexe Soit le programme linéaire : max????=2????1+????2 Sous les contraintes x 1 0 x 2 0 et {????1?????2?3 ????1+22?6 ?????1+2????2?2 1-Rajouter les variables d’écart (positives ou nulles)
Qu'est-ce que la méthode du simplexe?
1 - Principe Lorsque nous sommes en présence de plus de deux produits, la méthode du simplexe est la seule méthode permettant de trouver la combinaison de produits qui rend optimal la fonction économique.
Comment fonctionne l’algorithme du simplexe ?
L’algorithme du simplexe est mis en œuvre selon deux méthodes, la méthode des dictionnaires et la méthode des tableaux. La première méthode permet de bien comprendre le déroulement du simplexe alors que la méthode des tableaux est plus algébrique et elle conduit à la mise en œuvre effective de l’algorithme du simplexe.
Qui a inventé le simplexe ?
Ce terme a été introduit pendant la Seconde Guerre mondiale et systématiquement utilisé à partir de 1947 lorsque G. Dantzig inventa la méthode du simplexe pour résoudre les problèmes de programmation linéaire.
Comment résoudre un programme linéaire ?
Cet article présente les propriétés et les concepts fondamentaux de la programmation linéaire puis expose l’algorithme du simplexe pour résoudre un programme linéaire. L’algorithme du simplexe est mis en œuvre selon deux méthodes, la méthode des dictionnaires et la méthode des tableaux.
Programmation Lin´eaire
Cours 1 : programmes lin´eaires, mod´elisation et r´esolution graphiqueF. Clautiaux
francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.frUniversit´e Bordeaux 1
Bˆat A33
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMotivation et objectif du cours
Introduction `a la programmation lin´eaire
Un outil qui permet de :
•mod´eliser •r´esoudre toute une classe de probl`emes d"optimisation.Existence de solveurs efficace pour la PL
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanOuvrages de r´ef´erence
V. Chv´atal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983. •R. J. Vanderbei - Linear Programming, Foundations and Extensions,Springer-Verlag, 2008.
•C. Gu´eret, C. Prins et M. Sevaux - Programmation lin´eaire :65 probl`emes d"optimisation mod´elis´es et r´esolus avec Visual Xpress,Eyrolles, 2000.
•C. Prins et M. Sevaux - Programmation lin´eaire avec Excel : 55 probl`emes d"optimisation mod´elis´es pas `a pas et r´esolus avec Excel,Eyrolles, 2011.
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanSommaire
Introduction par l"exemple
Exemple 1 : Production
Exemple 2 : Transport
Exemple 3 : Planification
Programme lin´eaire
R´esolution graphique
Points extrˆemes
Forme standard, bases
Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanProbl`eme de production
Un fabricant produit 2 types de yaourts `a la fraise A et B `a partir de Fraise, de Lait et de Sucre. Chaque yaourt doit respecter les proportions suivantes de mati`eres premi`eres. ABFraise21
Lait12
Sucre01
On dispose de 800 Kg de Fraises, 700 Kg de Lait et 300 Kg de sucre. La vente de 1 Kg de yaourts A et B rapporte respectivement 4eet 5e.Le fabricant cherche `a maximiser son profit.
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Que cherche-t-on `a optimiser? •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Seules valeurs non constantes : les quantit´es de yaourtsAetB produites •On parle devariables •On les noteraxAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •Le profitz •Calcul´e `a partir dexAetxB •On parle defonction objectif •z= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? •Premi`ere contrainte : 800 Kg de fraises disponibles •la quantit´e utilis´ee d´epend de la production : 2xA+xB ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? x x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? x x xA,xB≥0
positivit´e! ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMon premier programme lin´eaire
max4xA+ 5xB x x xA,xB≥0
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanProbl`eme de transport
Approvisionner au moindre coˆut les clients `a partir des usines.Usines (i?I)BordeauxBiarritzToulouse
Productions (pi)251520
Clients (j?J)PauBayonneBordeauxLibourne
Demandes (dj)2012914
Prix/unit´e (ci,j)PauBayonneBordeauxLibourne
Bordeaux261904
Biarritz1222024
Toulouse19302428
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj •Objectif :Minimiser?
i?I? j?Jci,jxi,j ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj •Objectif :Minimiser?
i?I? j?Jci,jxi,j •Contraintes :? i?Ixi,j=dj,?j?J(Demandes `a satisfaire) x i,j≥0,?i?I,j?J ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanProbl`eme de planification
Planifier la production d"articles `a moindre coˆut pour les 4 prochains mois. Production maximale normale : 1200 articles / mois Production maximale en heure sup : 400 articles / moisSurcoˆut heures sup : 7 euros / article
Stockage : 3 euros / article / mois
mois 1mois 2mois 3mois 4Demandes900110017001300
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x t: production normale en p´eriodet= 1,...,4 y t: production en heure sup en periodet= 1,...,4 s t: stock en fin de p´eriodet= 1,...,3 ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x t: production normale en p´eriodet= 1,...,4 y t: production en heure sup en periodet= 1,...,4 s t: stock en fin de p´eriodet= 1,...,3 •Objectif :Minimiser 7?t=4
t=1yt+ 3?t=3 t=1st •Contraintes : x1+y1= 900+s1
s1+x2+y2= 1100+s2
s2+x3+y3= 1700+s3
s3+x4+y4= 1300
s t≥0,t= 1, ...,3 ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanSommaire
Introduction par l"exemple
Programme lin´eaire
R´esolution graphique
Points extrˆemes
Forme standard, bases
Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR`egles de r´e´ecriture (1)
Toute contrainte d"´egalit´e peut s"´ecrire comme deux in´egalit´es : n i=1a ixi=b≡? n i=1a ixi≥b≡n? Tout probl`eme de minimisation peut s"´ecrire comme un probl`eme de maximisation : max n? i=1c ixi≡minn? i=1-cixi ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Ecriture g´en´erale d"un programmation lin´eaire On peut ´ecrire ainsi un programme lin´eaire avecnvariables x1,...,xnetmcontraintes.
max ?ni=1cixi x i?R,(i= 1,...,n) •Lin´earit´e :Objectif et contraintes sont des fonctions lin´eaires des variables de d´ecision (les coefficientscietaijdes variables sont constants) •Continuit´e :Les variables peuvent prendre n"importe quelle valeur r´eelle respectant les contraintes linaires ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Exemples simples de programmes non lin´eaires (1) min?ni=1xixi x i?R,(i= 1,...,n) min ?ni=1xi x i?N,(i= 1,...,n)
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Exemples simples de programmes non lin´eaires (2) min?ni=1cixi x i?R∩[l1,u1]∩[l2,u2],(i= 1,...,n)
min ?ni=1cixi x 1=x2 oux1=x3 x i?R,(i= 1,...,n) ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanForme normale d"un programme lin´eaire
Tout programme lin´eaire peut s"´ecrire sousforme normale. max ?ni=1cixi x i≥0,xi?R,(i= 1,...,n)Si on a une variablexi?R, on introduitx+
i≥0 etx- i≥0 et on posexi=x+ i+x- i. ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanSommaire
Introduction par l"exemple
Programme lin´eaire
R´esolution graphique
Repr´esentation graphique d"un PL
R´esolution graphique
Points extrˆemes
Forme standard, bases
Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR´esolution graphique
On dispose d"un outil (la PL) pour mod´eliser des probl`emes •Comment r´esoudre les probl`emes `a l"aide de la PL? •Plusieurs algorithmes existent, dont le simplexe (prochain cours)•Pour des probl`emes avec deux variables, on peut r´esoudregraphiquement (aide `a comprendre la structure du probl`eme)
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanRepr´esentation graphique
max 4xA+ 5xB x x xA,xB≥0
x xAx B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanRepr´esentation graphique
max 4xA+ 5xB x x xA,xB≥0
xAx B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanRepr´esentation graphique
max 4xA+ 5xB x x x xAx B x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanRepr´esentation graphique
max 4xA+ 5xB x x xA,xB≥0
xAx B x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanTerminologie
Solution :
affectation de valeurs aux variables•Solution r´ealisable :solution r´ealisable si les valeurssatisfont l"ensemble descontraintes
•R´egion r´ealisable :ensemble des solutionsr´ealisables. xAx B x x= (80,150) ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanTerminologie
Solution :
affectation de valeurs aux variables•Solution r´ealisable :solution r´ealisable si les valeurssatisfont l"ensemble descontraintes
•R´egion r´ealisable :ensemble des solutionsr´ealisables. xAx B x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR´esolution graphique
Max 4xA+ 5xB
x x xA,xB≥0
xAx B x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR´esolution graphique
Max 4xA+ 5xB
x x xA,xB≥0
x4xA+ 5xB= 10004xA+ 5xB= 22004xA+ 5xB= 2900
4xA+ 5xB= 0x
Ax B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR´esolution graphique
Max 4xA+ 5xB
x x xA,xB≥0
x4xA+ 5xB= 22004xA+ 5xB= 2900
4xA+ 5xB= 04xA+ 5xB= 1000xAx
B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR´esolution graphique
Max 4xA+ 5xB
x x xA,xB≥0
x4xA+ 5xB= 2900
4xA+ 5xB= 04xA+ 5xB= 10004xA+ 5xB= 2200
x Ax B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR´esolution graphique
Max 4xA+ 5xB
x x xA,xB≥0
x4xA+ 5xB= 04xA+ 5xB= 10004xA+ 5xB= 22004xA+ 5xB= 2900
x Ax B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanExistence d"une solution (optimale)
Quatre possibilit´es
minx+ 2y x+y≥3 x,y≥0Une solution optimale unique.
?x ?y ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanExistence d"une solution (optimale)
Quatre possibilit´es
maxx+ 2y x+y≥3 x,y≥0Solution non born´ee.
?x ?y ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanExistence d"une solution (optimale)
Quatre possibilit´es
maxx+ 2y x+y≥3 x,y≥0Pas de solution.
?x ?y ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanExistence d"une solution (optimale)
Quatre possibilit´es
maxx x+y≥3 x,y≥0Infinit´e de solutions.
?x ?y ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanSommaire
Introduction par l"exemple
Programme lin´eaire
R´esolution graphique
Points extrˆemes
Points extrˆemes et convexit´e
Algorithme g´eom`etrique
Forme standard, bases
Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanNotion de point extrˆeme
Proposition
S"il en existe, il y a toujours
une solution optimale sur un sommet (point extrˆeme) de la r´egion r´ealisableCorollaire
Pour trouver l"optimum, il
"suffit" d"examiner les points extrˆemes de la r´egion r´ealisable x4xA+ 5xB= 04xA+ 5xB= 10004xA+ 5xB= 22004xA+ 5xB= 2900
x Ax B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanPoly`edres et points extrˆemes (1)
D´efinition
Unpoly`edre convexeest l"ensemble des solutions d"un syst`eme fini d"in´egalit´es lin´eaires. L"ensemble des solutions admissibles d"un PL est donc un poly`edre convexe. On s"int´eressera dans un premier temps aux poly`edresborn´es.Rappel : S est convexe si
?x,y?S,?λ?[0,1],λx+ (1-λ)y?S. ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] interprétation droite de henry
[PDF] principe droite de henry
[PDF] exercice corrigé droite de henry
[PDF] courbe de henry excel
[PDF] droite de henry pdf
[PDF] programmation linéaire exercices corrigés pdf
[PDF] programmation linéaire exercices corrigés
[PDF] programmation linéaire simplexe
[PDF] recherche opérationnelle programmation linéaire exercices corrigés pdf
[PDF] exercices recherche operationnelle
[PDF] theme astral chinois complet gratuit interpretation
[PDF] cours recherche opérationnelle methode de simplexe
[PDF] recherche opérationnelle simplexe exercices corrigés
[PDF] livre recherche opérationnelle pdf