LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE
Un programme linéaire (PL) mis sous la forme particulière où toutes les contraintes sont des équations et toutes les variables sont non négatives est dit sous
Chapitre 3 Méthode du simplexe
Le principe de la méthode du simplexe est d'éviter de calculer tous les du système augmenté obtenu en ajoutant au système Ax = b la relation linéaire.
Méthode du simplexe
implantation de l'algorithme du simplexe méthode révisée du simplexe (relation entre deux Si un problème de programmation linéaire admet au moins une.
1 Programmation linéaire Algorithme du simplexe Résolution de
Si oui donner la solution optimale de (P) et son coût. Page 3. 3. Corrigé. Résolution de programmes linéaires par la méthode des tableaux du simplexe.
Programmation linéaire. Méthode du simplexe.
25 oct. 2010 Un programme linéaire est la maximisation ou la minimisation d'une fonction linéaire sous des contraintes linéaires. 2.1 Exemple. Voici un petit ...
Leçon 0603C La programmation linéaire 2 le simplexe
Lorsque nous sommes en présence de plus de deux produits la méthode du simplexe est la seule méthode permettant de trouver la combinaison de produits qui rend
Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires
C. Prins et M. Sevaux - Programmation linéaire avec Excel : 55 Prochain cours. • Méthode pour résoudre les probl`emes linéaires : le simplex.
1 Programmation linéaire
Document 4 : Corrigé des exercices d'optimisation linéaire. 1 Programmation linéaire Le tableau de départ pour la méthode du simplexe est donc :.
Programmation Linéaire - Cours 2
réels : la programmation linéaire Apprendre la méthode du simplex. • Comprendre son fonctionnement ... Méthode du dictionnaire - version générique.
LA PROGRAMMATION LINEAIRE : RESOLUTION ANALYTIQUE
La programmation linéaire : Résolution analytique La méthode que nous venons d'utiliser est l'algorithme du simplexe du à Dantzig (1947).
Chapitre 3 Méthode du simplexe - Université Laval
Méthode du simplexe CommetoujoursonsupposequeA unematricedeformatm n etb 2Rm Onnoterales colonnesdeA par[a 1;a 2;:::;a n] Aussionferal’hypothèsequelerangdelamatriceA est égalàm Selonlechapitreprécédentnoussavonsquelasolutionoptimaleduproblèmed’optimisation linéaire max z = ctx; Ax = b; x 0: (3 1)
Module 06 - Leçon 03 : La méthode du simplexe
Avant que l’algorithme du simplexe puisse être utilisé pour résoudre un programme linéaire ce programme linéaire doit être converti en un programme équivalent où toutes les contraintes technologiques sont des équations et toutes les variables sont non négatives a Contraintes de type
1 INTRODUCTION 2 AJOUT DES VARIABLES ARTIFICIELLES 3 L
base réalisable au modèle de programmation linéaire 3 L’ALGORITHME DU SIMPLEXE EN DEUX PHASES: La méthode des deux phases consiste à segmenter l’algorithme du simplexe en deux étapes La première étape dite Phase 1 consiste à éliminer les variables artificielles de la base (ou au moins à les rendre nulles)
Programmation linéaire Algorithme du simplexe Résolution de
Programmation linéaire Algorithme du simplexe Résolution de programmes linéaires par la méthode des tableaux du simplexe Soit le programme linéaire : max????=2????1+????2 Sous les contraintes x 1 0 x 2 0 et {????1?????2?3 ????1+22?6 ?????1+2????2?2 1-Rajouter les variables d’écart (positives ou nulles)
Qu'est-ce que la méthode du simplexe?
1 - Principe Lorsque nous sommes en présence de plus de deux produits, la méthode du simplexe est la seule méthode permettant de trouver la combinaison de produits qui rend optimal la fonction économique.
Comment fonctionne l’algorithme du simplexe ?
L’algorithme du simplexe est mis en œuvre selon deux méthodes, la méthode des dictionnaires et la méthode des tableaux. La première méthode permet de bien comprendre le déroulement du simplexe alors que la méthode des tableaux est plus algébrique et elle conduit à la mise en œuvre effective de l’algorithme du simplexe.
Qui a inventé le simplexe ?
Ce terme a été introduit pendant la Seconde Guerre mondiale et systématiquement utilisé à partir de 1947 lorsque G. Dantzig inventa la méthode du simplexe pour résoudre les problèmes de programmation linéaire.
Comment résoudre un programme linéaire ?
Cet article présente les propriétés et les concepts fondamentaux de la programmation linéaire puis expose l’algorithme du simplexe pour résoudre un programme linéaire. L’algorithme du simplexe est mis en œuvre selon deux méthodes, la méthode des dictionnaires et la méthode des tableaux.
1 Programmation linéaire
Algorithme du simplexe
Résolution de programmes linéaires par la méthode des tableaux du simplexeSoit le programme linéaire :
Sous les contraintes x1 0 , x2 0 et ൝
1-Rajouter les ǀariables d'Ġcart (positives ou nulles). Puis rĠsoudre le problğme par l'algorithme du
simplexe et la méthode des tableaux.2-Pour vérifier le résultat de la question précédente, résoudre le problème (à 2 variables x1, x2)
graphiquement.Soit le programme linéaire :
Sous les contraintes x1 0 , x2 0 et ൝
1-Rajouter les ǀariables d'Ġcart (positiǀes ou nulles). Puis rĠsoudre le problğme par l'algorithme du
simplexe et la méthode des tableaux.2-Pour vérifier le résultat de la question précédente, résoudre le problème (à 2 variables x1, x2)
graphiquement.Algorithme du simplexe.
Soit le problème (P):
tt d d d 0,0 12 624 s.c.2max 21
21
21
21
21
xx xx xx xx xxz
On note e1, e2 et e3 les variables d'Ġcarts (ш0) respectiǀement de la premiğre, deudžiğme et troisiğme
contrainte. 21-Ecrire (P) sous forme standard (ajout des ǀariables d'Ġcart et transformation des contraintes en
contraintes d'ĠgalitĠs)2-RĠsoudre (P) par l'algorithme du simpledže (indication : 2 itérations) et donner la solution optimale.
RĠsolution d'un programme linéaire : algorithme du simplexe. On considère le programme linéaire (P) suivant :Sous les contraintes ൞
1-On rajoute les ǀariables d'Ġcart dž30, x40, x50 au programme (P) afin de le mettre sous forme
standard (contraintes d'ĠgalitĠs). Faut-il les faire précéder du signe + ou du signe - ?2-On a fait tourner l'algorithme du simpledže sur ce programme (P) aprğs aǀoir rajoutĠ les ǀariables
d'Ġcart dž30, x40, x50 . On est arrivé au tableau suivant : base x1 x2 x3 x4 x5 x1 1 2 0 0 -1 = 3 x3 0 7 1 0 -4 = 7 x4 0 4 0 1 -3 = 30 -1 0 0 2 = -6 + z
a-Retrouver ce tableau à partir des données initiales et sachant qu'on est sur la base x1, x3, x4.
b-Est-on arrivé à la solution optimale et pourquoi ? c-Sinon, - déterminer la variable entrant en base - déterminer la variable sortant de base - Faire le " pivotage » pour passer au tableau suivant.3-Le tableau suivant est-il le dernier et pourquoi ? Si oui, donner la solution optimale de (P) et son
coût. 3Corrigé
Résolution de programmes linéaires par la méthode des tableaux du simplexeSoit le programme linéaire :
Sous les contraintes x1 0 , x2 0 et ൝
Le tableau associé à la solution de base x3=3, x4=6, x5=2, x1=x2=0 est donné ci-dessous : base X1 X2 X3 X4 X5X3 1 -1 1 = 3
X4 1 2 1 = 6
X5 -1 2 1 = 2
2 1 = 0 + z
Il suffit de recopier les coefficients car la matrice de base B=Identité Var. entrante : x1 de cout rĠduit madž c'est-à-dire 2 . Var. sortante : min{3/1,6/1}=3 qui correspond à la variable x3.Le pivot est 1 entouré. On pivote.
Le tableau associé à la solution de base x1=3, x4=3, x5=5, x3=x2=0 est donné ci-dessous : base X1 X2 X3 X4 X5X1 1 -1 1 = 3
X4 0 3 -1 1 = 3
X5 0 1 1 1 = 5
0 3 -2 = - 6 + z
Var. entrante ͗ dž2 de cout rĠduit madž c'est-à-dire 3 . Var. sortante : min{3/3,5/1}=1 qui correspond à la variable x4.Le pivot est 3 entouré. On pivote.
Le tableau associé à la solution de base x1=4, x2=1, x5=4, x3=x4=0 est donné ci-dessous : base X1 X2 X3 X4 X5X1 1 0 2/3 1/3 = 4
X2 0 1 -1/3 1/3 = 1
4X5 0 0 1+1/3 -1/3 1 = 4
0 0 -1 -1 = - 9 + z
Pas de coût réduit>0. Donc le problème est résolu. La solution est x1=4, x2=1, x3=0, x4=0, x5=4 . Et z = 9 .Soit le programme linéaire :
Sous les contraintes x1 0 , x2 0 et ൝
On rajoute ǀar. d'Ġcart x3 et x4 positives ou nulles.X1 X2 X3 X4
Contr1 1 1 1 = 2
Contr2 1 1 = 1
Max -1 3 = 0 + z
Itération 0
base X1 X2 X3 X4X3 1 1 1 = 2
X4 1 0 1 = 1
-1 3 = 0 + z X2 entre en base. Qui sort ? Min{2/1}=2 qui correspond à x3Itération 1
base X1 X2 X3 X4X2 1 1 1 = 2
X4 1 0 1 = 1
-4 0 -3 = -6 + z Les coûts réduits sont 0. Donc on a fini. La solution est x1=0, x2=2, x3=0, x4=1 5 RĠsolution d'un programme linéaire : algorithme du simplexe. On considère le programme linéaire (P) suivant :Sous les contraintes ൞
1-On rajoute les ǀariables d'Ġcart dž30, x40, x50 au programme (P) afin de le mettre sous forme
standard (contraintes d'ĠgalitĠs). Faut-il les faire précéder du signe + ou du signe - ?2-On a fait tourner l'algorithme du simpledže sur ce programme (P) aprğs aǀoir rajoutĠ les ǀariables
d'Ġcart dž30, x40, x50 . On est arrivé au tableau suivant : base x1 x2 x3 x4 x5 x1 1 2 0 0 -1 = 3 x3 0 7 1 0 -4 = 7 x4 0 4 0 1 -3 = 30 -1 0 0 2 = -6 + z
a-Retrouver ce tableau à partir des données initiales et sachant qu'on est sur la base x1, x3, x4.
b-Est-on arrivé à la solution optimale et pourquoi ? c-Sinon, - déterminer la variable entrant en base - déterminer la variable sortant de base - Faire le " pivotage » pour passer au tableau suivant.3-Le tableau suivant est-il le dernier et pourquoi ? Si oui, donner la solution optimale de (P) et son
coût.Question 1
On met le programme linéaire (P) sous forme standard : 6Sous les contraintes ൞
Question 2-a
Comment retrouver ce tableau. Les variables de base sont x1, x3, x4. On en déduit la matrice de base :Et son inverse est :
On peut la retrouver dans le tableau, au signe près, sous les variables x3, x4, x5 puisque dans les
contraintes initiales sous les variables x3, x4, dž5 on a l'opposé de la matrice identité : -I. Donc puisque
les contraintes initiales sont pré-multipliées par B-1 on retrouve sous ces colonnes -B-1.On en déduit ensuite :
Pour la ligne des coûts réduits, on utilise la formule matricielle cN-cBB-1N : 7Questions 2-b, 2-c et 3
base x1 x2 x3 x4 x5 x1 1 2 0 0 -1 = 3 x3 0 7 1 0 -4 = 7 x4 0 4 0 1 -3 = 30 -1 0 0 2 = -6 + z
ସ donc x4 sort base x1 x2 x3 x4 x5 x1 1 0 0 -1/2 1/2 = 3/2 Lx1-2L'x2 x3 0 0 1 -7/4 5/4 = 7/4 Lx3-7L'x2 x2 0 1 0 1/4 -3/4 = 3/40 0 0 1/4 5/4 = -21/4 + z
LzнL'x2
Pas de coût réduit <0 donc stop.
La solution optimale est x1=3/2, x2=3/4, x3=7/4 , x4=x5=0Z= 21/4=23/2+33/4
8Algorithme du simplexe.
Soit le problème (P):
tt d d d 0,0 12 624 s.c.2max 21
21
21
21
21
xx xx xx xx xxz
On note e1, e2 et e3 les ǀariables d'Ġcarts (ш0) respectiǀement de la premiğre, deudžiğme et troisiğme
contrainte.1-Ecrire (P) sous forme standard (ajout des ǀariables d'Ġcart et transformation des contraintes en
contraintes d'ĠgalitĠs)2-RĠsoudre (P) par l'algorithme du simpledže (indication : 2 itérations) et donner la solution optimale.
base X1 X2 E1 E2 E3E1 1 1 1 = 4
E2 2 1 1 = 6
E3 -2 1 1 = 1
1 2 = 0 +z
X2 rentre, min{4/1, 6/1, 1/1}=1 e3 sort
base X1 X2 E1 E2 E3E1 3 0 1 -1 = 3
E2 4 0 1 -1 = 5
X2 -2 1 1 = 1
5 0 -2 = -2 +z
L'e1=Le1-Lx2
L'e2=Le2-Lx2
L'z=Lz-2Lx2
base X1 X2 E1 E2 E3E1 3 0 1 -1 = 3
E2 4 0 1 -1 = 5
X2 -2 1 1 = 1
5 0 -2 = -2 +z
X1 rentre, min{3/3 , 5/4}=1 donc e1 sort
9 base X1 X2 E1 E2 E3 x1 1 0 1/3 -1/3 = 1E2 0 0 -4/3 1 1/3 = 1
X2 0 1 2/3 1/3 = 3
0 0 -5/3 -1/3 = -7 +z
L'e2=Le2-4Lx1
L'x2=Lx2+2Lx1
L'z=Lz-5Lx1
Pas de coût réduit >0 STOP
Solution optimale : x1=1 , e2=1, x2=3, e1=e3=0
L'objectif z vaut 7
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