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Méthodes de sondage

Echantillonnage et Redressement

Guillaume Chauvet

École Nationale de la Statistique et de l"Analyse de l"Information

27 avril 2015

Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 1 / 198

Panorama du cours

1Echantillonnage en population finie

2Méthodes d"échantillonnage

3Méthodes de redressement

Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 2 / 198

Objectifs du cours

Présenter les méthodes d"inférence dans le cas d"une population finie d"individus.Donner les principales méthodes d"échantillonnage utilisées dans les en- quêtes.Décrire les méthodes de redressement qui permettent d"utiliser une in- formation auxiliaire au moment de l"estimation.Donner des exemples pratiques. Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 3 / 198

Echantillonnage en population finie

Echantillonnage en population finie

Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 4 / 198

Echantillonnage en population finieNotations

Notations

Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 5 / 198

Echantillonnage en population finieNotations

Notations

On se place dans le cadre d"une population finieUd"individusouunités statistiques, supposées identifiables par un label. On notera simplement

U=f1;:::;k;:::;Ng

oùNdésigne la taille de la populationU. On s"intéresse à unevariable d"intérêty(éventuellement vectorielle), qui prend la valeuryksur l"individukdeU. La variableyest vue ici comme non aléatoire : la populationUétant fixée,la valeur prise parysur chaque individu est parfaitement définie et déterministe. On souhaite disposer d"indicateurs pour la populationU(totaux, moyennes, fractiles, indices, ...). Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 6 / 198 U

Echantillonnage en population finieNotations

Notations

Essentiellement pour des considérations pratiques, la variable d"intérêt n"est

pas observée sur l"ensemble de la population :effectuer unrecensementcoûte cher, et suppose de disposer d"unebase

de sondagedonnant la liste de l"ensemble des individus de la population,même dans le cas d"un recensement traditionnel, l"ensemble des données

recueillies est rarement exploité,augmenter la taille d"un questionnaire augmente lefardeau de réponse,

et diminue les taux de réponse,de façon générale, lanon-réponsediminue la taille de l"échantillon ef-

fectivement observé. Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 8 / 198

Echantillonnage en population finieNotations

Exemples

Exemple 1 :Les enquêtes-ménages de l"Insee visent à décrire les condi- tions de vie des ménages (emploi, logement, patrimoine, ... ). Les ménages enquêtés sont sélectionnés dans un échantillon de zones appelé l"Echantillon-

Maître.

Exemple 2 :Les enquêtes-entreprises sont réalisées à l"aide d"une base de sondage (répertoire SIRENE) et de sources externes. Exemple 3 :Enquête auprès d"un échantillon de personnes pour connaître une opinion politique, les habitudes en termes de media, l"avis sur un pro- duit ... On utilise souvent dans ce cas desméthodes de tirage empiriques (échantillonnage par quotas, échantillonnage de volontaires). Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 9 / 198

Echantillonnage en population finieNotations

Paramètre d"intérêt

On s"intéresse à unparamètre d"intérêtde la forme (yk; k2U):

Unestimateurde ce paramètre sera de la forme

(yk; k2S)^(S)

oùSdésigne l"échantillon aléatoire finalement observé.Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 10 / 198

Echantillonnage en population finieNotations

Paramètre d"intérêt

Total et moyenne

On peut s"intéresser au total

t y=X k2Uy k d"une variable quantitative sur la population, ou encore à sa valeur moyenne y=1N X k2Uy k:

Exemple :

Chiffre d"affaires total des entreprises d"un secteur d"activité, pourcentage d"étudiants fumeurs, ... Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 11 / 198

Echantillonnage en population finieNotations

Paramètre d"intérêt

Estimation sur domaine

Un cas particulier important est celui de l"estimation sur une sous-population U d(appeléedomaine) d"un total t yd=X k2Udy k ou d"une moyenne yd=1N dX k2Udy k avecNdla taille du domaine. Il peut s"agir d"un domaine au sens géographique (habitants d"une région), socio-démographique (individus de moins de 20 ans), temporel (individus présents à une date donnée), ... Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 12 / 198 UdU

Echantillonnage en population finieNotations

Paramètre d"intérêt

Estimation par substitution

Savoir estimer un total permet de traiter le cas de très nombreux paramètres qui peuvent s"exprimer comme des fonctions de totaux. C"est le cas d"un ratio, d"un coefficient de corrélation, d"une variance, d"un coefficient de ré- gression, ... Ces paramètres sont estimés par substitution, en remplaçant chaque total inconnu par son estimateur.

Exemple 1 :

R=tyt xestimé par^R=^ty^ tx: Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 14 / 198

Echantillonnage en population finieNotations

Paramètre d"intérêt

Estimation par substitution

Exemple 2 :

OR=p A1pAp

B1pBestimé pardOR=^pA1^pA^pB1^pB:

Il est également possible d"estimer des paramètres plus complexes tels que des fractiles (médianes), ou des indices (Gini, utilisé comme indicateur d"in-

égalité).

Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 15 / 198

Echantillonnage en population finieNotations

Plan de sondage

La sélection de l"échantillon aléatoireSse fait à l"aide d"unplan de sondage psurU, c"est à dire à l"aide d"une loi de probabilité sur les parties deU:

8sU p(s)0etX

sUp(s) = 1:

On noteSl"échantillon aléatoire, et on distingueral"estimateur^(yk; k2S)^(S),l"estimation^(yk; k2s)^(s).

On appellealgorithme d"échantillonnageune méthode pratique permettant de sélectionner un échantillon selon le plan de sondage choisi. Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 16 / 198

Echantillonnage en population finieNotations

Exemple

Soit la populationU=f1;2;3;4g, etp()le plan de sondage défini par : p(f1;2g) = 0:2p(f1;4g) = 0:1p(f3;4g) = 0:3 p(f1;2;3g) = 0:3p(f2;3;4g) = 0:1

La variable aléatoireSprend ses valeurs dans

ff1;2g;f1;4g;f3;4g;f1;2;3g;f2;3;4gg:

On a par exemple

P(S=f1;2g) =p(f1;2g) = 0:2

A la différence des lois de probabilités classiques (normale, exponentielle, binomiale, ...) l"aléatoire ne porte pas sur la variable mais sur le sous-ensemble d"individus observés. Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 17 / 198

Echantillonnage en population finieNotations

Comparaison avec une variable aléatoire réelle SoitXune variable aléatoire distribuée selon une loi de PoissonP(). La variable aléatoireXprend ses valeurs dans

N=f0;1;2;:::g:

On a pourk2N:

P(X=k) = expkk!:

L"espérance deXcorrespond à la valeur moyenne de ses valeurs possibles, pondérées par leurs probabilités :

E[X] =X

k2NkP(X=k) =:Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 18 / 198

Echantillonnage en population finieNotations

Mesures de précision

L"espérance d"un estimateur

^(S)se définit de façon analogue : E ph^(S)i =X sU^ (s)P(S=s) X sUp(s)^(s):

Le biais d"un estimateur

^(S)correspond à son erreur moyenne : B ph^(S)i =Eph^(S)i X sUp(s)h^(s)i Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 19 / 198

Echantillonnage en population finieNotations

Mesures de précision

On s"intéressera également à la Variance

V ph^(S)i =Ep n^(S)Ep[^(S)]o 2 X sUp(s)n^(s)Ep[^(S)]o 2; et à l"Erreur Quadratique Moyenne (EQM) EQM ph^(S)i =Ep n^(S)o 2 =Bph^(S)i

2+Vph^(S)i

Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 20 / 198

Echantillonnage en population finieNotations

Quelques simulations

Pour illustrer la notion de biais et de variance, on considère l"exemple d"une population deN= 1 000individus âgés de 15 à 20 ans. Dans cette population, un échantillon de taillen= 50est sélectionné et enquêté. Pour chaque individu enquêté, on obtient son poids (en kg), sa taille (en cm) et son âge. On s"intéresse à l"estimation du poids moyen et de la taille moyenne (carré noir). Chaque échantillon permet d"obtenir une estimation (points bleus) de ces paramètres. La moyenne des estimations est représentée par le point rouge. Guillaume Chauvet (ENSAI)Echantillonnage27 avril 2015 21 / 198 l l l l ll l l l l l l ll l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l ll l l l l l l l l l l l l lquotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

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