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Theorie des sondages : cours 1

CameliaGoga

IMB, Universite de Bourgogne

e-mail : camelia.goga@u-bourgogne.fr

Master Besancon

Plan du cours et bibliographie

Plan du cours

I

Chapitre 1: Generalites

I

Chapitre 2: Plans simples

I

Chapitre 3: Sondage stratie

I

Chapitre 4: Sondage a deux degres et en grappes

I

Chapitre 5: Techniques de linearisation et de

re-echantillonnage I

Chapitre 6: Techniques de redressement

Bibliographie:

I

Pascal Ardilly : Les techniques de sondages.

I

Yves Tille : Theorie des sondages.

Problemes fondamentaux des sondages

Le sondage

: bien plus qu'u nsondage d'opinion ; Exemples des domaines qui utilisent les techniques de sondages : 1. la d eterminationdu volume de certaines p roductionsagricoles ; 2. des calculs de grands indices m ediatiques: l'indice des p rix a la consommation ou l'indice du co^ut a la construction; 3. en sp ort: les contr^ olesantidopage ; 4. le nomb rede ch^ omeurs; 5.:::

Plan d'un sondage

PopulationUde taille nieN, connue ou inconnue;

U=fu1;:::;uk;:::;uNg=f1;:::;k:::;Ng:

Un elementuk2Us'appelleindividu .

Tres important

: L 'individuuk2Uest repere precisement et sans aucune ambiguite : identiant k. Exemples: les fermes agricoles (1), les sportifs participants a un concours (3), la population d'un pays avec quelques exceptions (enfants, fonctionnaires) (4) Variable d'inter^et: Yqui prend la valeurykpour l'individuk; 1. quantitative 2. qualitative

L'objectif d'un sondage

: obtenir l'info rmationsur un pa rametre qui est une fonction deyk, = (y1;:::;yN); on ne s'interesse pas aux valeurs deY(statistique inferentielle).

Le parametre est inconnu.

I

SiYestquantitative , alors peut ^etre

1. = P k2Uykle total deYdans la populationU; 2. = P k2Uyk=Nla moyenne deY; 3. le quantile (m ediane)de Y; 4. la va rianceet l' ecart-type; Exemples: le revenu total ou moyen, nombre de ch^omeurs ... I SiYestquanlitative , alors peut ^etre essentiellement des pourcentagesd'individus de la population dont la variable prend telle ou telle modalite. Exemple: la proportion d'individus qui ont vote pour monsieurA. EchantillonsdansU: une partie d'individus de la population qui sera interrogee =)une enqu^ete par sondage. On peut obtenirs selon deux procedes : 1. p robabiliste : les individus sont s electionnesselon un p rocede probabilistep(s)ou chaque individu a une p robabilitedonnee connue d'avancekd'appartenir a l'echantillon; 2. non-p robabilisteou empirique : les sondages pa rqu otas;c o^ut moins eleve, en France beaucoup utilises;

Recensement

: on observe tous les elementsde U. Chaque individukde l'echantillonsest interroge et on noteyk.

On obtient

f(k;yk);k2sg: Plusieurs modalites : interview directe, par telephone, par la poste... Les valeursyk;aveck2ssont utilisees pour construire un estimateurb(yk;k2s) de (yk;k2U).

On veut

inf erer les r esultatsde l' echantillonsa la populationU.

On regarde laprecisiondeb;

faire presque aussi bien qu'un recensement mais avec un co^ut beaucoup plus faible.

Un peu plus de vocabulaire

Denition

Une population cible est une population pour laquelle l'information est requise.Denition L'unite d'observation est l'unite sur laquelle on collecte eectivement l'information.Denition Les unites d'echantillonnage sont des entites disjointes dont l'union est egale a la population.Exemple: en Chine, le chef responsable d'un village est le seul autorise a repondre aux enqu^etes et represente l'ensemble de ses administres : ces derniers constituent l'unite d'observation alors que le chef est l'unite d'echantillonnage. (on supposera que l'unite d'observation et l'unite d'echantillonnage concident.)Denition La base de sondage donne les moyennes d'identier les unites d'echantillonnage et de communiquer avec elles.

Base de sondage

Une base parfaite:

1. p ossibilitede rep ererles unit essans ambigu te: l 'identiant =)liste d'identiants de bonne qualite; un logement: par la commune, le district, l'immeuble et un rang numerique qu'on lui donne dans l'immeuble. un individu: la commune, le no et le nom de la rue, son nom et prenom; 2. exhaustive ;sinon, on a un d efautde couverture ; 3. sans double compte. 4. contenir de l'info rmationauxiliaire.

Deux types de bases:

1. liste : registres d' etatcivil, des entrep rises,des adresses, annuaire et 2. a reolaire : les unit essont des secteurs g eographiques. Les imperfections d'une base: sous-couverture, sur-couverture, repetition, classication erronee. Absence d'une base: sondage empirique ou considerer une population intermediaire;

Types d'erreurs

Nous avons plusieurs types d'erreurs :

1.erreurs dues a l'echantillonnage: consequence du fait

qu'un echantillon a ete pris et non toute la population;

2.erreurs non dues a l'echantillonnage:

I erreurs de couverture entre la base de sondage et la population cible;

Ierreurs de non-reponse :

totale: pas de reponse a aucune question, partielle: pas de reponse a certaines question mais pas a toutes; Ierreurs de mesure : la dierence entre la vraie valeur et la valeur inscrite; Ierreurs de traitement : le codage et la saisie des donnees.

Population, echantillon

1.

Soit la p opulation

ou inconnu avant la mise en uvre de l'enqu^ete; 2.

Un echantillonsest un sous ensemble deU;

3.

Soit une va riableYet nous sommes interesses par

l'estimation du total deY; t Y=X Uy k ou la moyenne deYsiNest connu,y U=1N X Uy k:

Plan de sondagep()

La notion du plan de sondage est specique a la theorie des sondages. I L'ensemble de toutes les parties non vides deUestS.

Exemple: SoitU=f1;2;3galors

I

Soit une variable aleatoireS: (

;K;P)!(S;B(S);p) avec

P(S(w) =s) =p(s):

En eet, l'echantillonspeut ^etre vu comme la realisation de

Sde loip().

Denition

Le plan de sondage p (s)est une probabilite surS:

Proprietes d'un plan de sondagep(s)

1. comme tou teloi de p robabilite,nous avons p(s)0 etX s2Sp(s) = 1:

2.p() determine les proprietes statistiques de quantites

calculees dans l'echantillon (voir chapitre 2).

3.p() est un outil mathematique qui n'est pas trop utile dans la

selection de l'echantillon. 4. c'est le sondeur qui d ecidequel plan de sondage sera utilis e: dierence avec la statistique classique. Attention :p(s) xe a priori mais pas forcement connu. Remarque: on supposera pendant ce cours quep() ne depend pas de la variable d'inter^et; on dit que le plan est non-info rmatif

Denition

La taille d'un echantillonn

sest le cardinal de s. Remarque:nspeut ^etre le m^eme pour tous les echantillons ou non.

Exemple 1

Soit une populationU=f1;2;3;4getR=le revenu moyen de cette population. On a R

1= 6000;R2= 12000;R3= 8000;R4= 6000:

On veut interroger que deux personnes, alors on a six echantillons de tailles 2 sans remise s

1=f1;2g;s2=f1;3g;s3=f1;4g

s

4=f2;3g;s5=f2;4g;s5=f3;4g:

On prend

p(s1) = 0;25;p(s2) = 0;25;p(s3) = 0;2; p(s4) = 0;1;p(s5) = 0;1;p(s6) = 0;1;

Exemple 2

Soit une populationU=f1;2;3;4g. On considere les six echantillons de taille 2 sans remise s

1=f1;2g;s2=f1;3g;s3=f1;4g

s

4=f2;3g;s5=f2;4g;s5=f3;4g:

On prend

p(s1) = 1=3;p(s2) = 1=6;;p(s3) = 1=2; p(s4) =p(s5) =p(s6) = 0;

Les probabilites d'inclusionketkl

Une propriete d'une population nieUavec des elements identies est que dierents individus peuvent avoir dierentes probabilites de se trouver dans l'echantillon.

Denition

: On app elle va riablein dicatrice la va riableal eatoire I k=Ik(S)denie de la facon suivante : I k=1k2S

0sinon(1)

Remarque: les variablesIkne sont pas forcement independantes et identiquement distribuees.

Denition

: P ourun plan p (), on appellep robabilited'inclusion de premier degrek, la probabilite que l'individu k se trouve dans un echantillon : k=P(k2S) =P(Ik= 1) =X s3kp(s) Denition: P ourun plan p (), on appellep robabilited'inclusion de deuxieme degrekl, la probabilite que les individus k et l se trouvent dans un echantillon : kl=P(k;l2S) =P(IkIl= 1) =X s3k;lp(s) kk=k

Remarques:

Un plan de sondage est souvent choisi en respectant desket klxes a l'avance; Lesksont connus pour tousk2Uavant m^eme la mise en oeuvre de l'enqu^ete dans le cas d'un sondage direct d'elements (voir sections ...); par contre lesklsont souvent compliques, voir impossible a calculer; Leskne sont pas caracteristiques du plan de sondage;

Leskaveck2ssont fondamentaux pour le calcul des

estimateurs. Remarque: On supposera dans ce cours quek>0 pour tout k2U.

Application aux exemples 1 et 2

Exemple 1

Calcul dek:

1=P(12S) =p(s1) +p(s2) +p(s3) = 0;7

2=P(22S) =p(s1) +p(s4) +p(s5) = 0;45

3=P(32S) =p(s2) +p(s4) +p(s6) = 0;45

4=P(42S) =p(s3) +p(s5) +p(s6) = 0;4

Calcul dekl:

12=P(1;22S) =p(s1) = 0;25

13=P(1;32S) =p(s2) = 0;25

14=P(1;42S) =p(s3) = 0;2

23=24=34= 0;1

Exercice: refaire le calcul pour l'exercice 2.

La notion de statistique et d'estimateur

Denition

On app ellestatistique une fonction r eellede la va riable aleatoire S, Q(S). Pour une realisation S=s, Q prend la valeur Q(s).Nous voulons examiner comment une statistique change en fonction des realisationssdeS.

Exemples:nS=P

UIk;P Syk;P Syk=P Szk!

Q(S) =Q((k;yk;zk;:::);k2S):

Tres important

: les va riablesYandZne sont pas aleatoires; c'est la variableSqui est l'alea.

Denition

: Un estimateur bd'un parametreest une statistique (fonction de S),b =b(S) et la quantite b(s)obtenue pour une realisation s de S est appelee estimation de.

Loi d'un estimateur

Loi d'un estimateur

b : connaissance des couples (p(s);b(s)) pour tous less2 S: En pratique:imp ossiblede conna ^trela vraie loi de b a cause de l'indisponibilite de tous lesb(s) : si tel etait le cas, on n'aurait pas eu besoin de faire un sondage!!

On peut denir :

1.

L'esp erance

de b(S) estE(b) =P s2Sp(s)b(s); 2.

La va riance

de b(S) estV(b) =P s2Sp(s)(b(s)E(b))2; 3.

La cova riance

Cov(b1;b2) =P

s2Sp(s)(b1(s)E(b1))(b2(s)E(b2)).

La qualited'un estimateurb est juge a travers :

I le biaisB(b) =E(b); on prefereb sans biais ou peu biaise; I la varianceV(b) (inconnue et estimee a l'aide du m^emes); on choisit l'estimateur qui a une plus petite variance; I l'erreur quadratique moyenneEQM(b) =V(b) +B2(b); I le coecient de variationCV(b) =pV(b)E(b).

Exemple 1:

I

Le vrai revenu moyen est =R1+R2+R3+R44

= 8000: I On considere les echantillons de taille 2 et comme estimateur de la moyenne dans chaque echantillon : b (s1) =R1+R22 = 9000:::echantillon;sp(s)b p(s)bf1;2g0:2590002250 f1;3g0:2570001750 f1;4g0:260001200 f2;3g0:1100001000 f2;4g0:19000900 f3;4g0:17000700 I

L'esperance deb est

E(b) = 0:259000 + 0:257000 +:::+ 0:17000 = 7800

et le biais est 78008000 =200: I

La variance est

V(b) = 0:25(90007800)2+ 0:25(70007800)2+

:::+ 0:1(70007800)2= 1860000 I

L'erreur quadratique moyenne est

EQR(b) = 0:25(90008000)2+ 0:25(70008000)2+

:::+ 0:1(70008000)2= 1900000 =V(^t) +Biais2 \sans biais"signie que le resultat est bon \en moyenne" mais

pas que le resultat obtenu a partir d'unechantillon est exact.Cas 1Cas 2Cas 3Figure:Biais et p recision

cas 1= estimateur sans biais (la mo yennedes toutes les p ositions est le centre); cas 2= estimateur p recismais biais e (les p ositionssont tr es proches les unes des autres mais eloignees du centre); cas 3= estimateur "pa rfait" (le sp ositionssont tr esp rochesdu centre).

Intervalles de conance

Un estimateur peut ^etre sans biais pour un parametre (la moyenne de ses valeurs sur tous les echantillons possibles) mais nous disposons d'un seul echantillon seulement qui nous fournie une seule estimation p ournotre pa rametrequi p eut^ etreasse z eloignee de la vraie valeur (comme vu dans l'exemple prededent). On prefere donner une estimation de par intervalles de conance.

Hypothese indispensable:b suit une loi normale :

IC (b) = [bz=2qV(b);b +z=2qV(b)]

IC(b) = [bz=2qb

V(b);b +z=2qb

V(b)]

Resultat

Soit un plan de sondage p(). Alors

1.E(Ik) =k;

2.V(Ik) =k(1k);

3.Cov(Ik;Il) =klkl:Resultat

Considerons un plan de sondage p()de taille xe n(V (ns) = 0).

Alors,

1.P Uk=n; 2.PP k6=lkl=n(n1); 3.P l2U;l6=kkl= (n1)k. Theorie des sondages "versus" statistique inferentielle (1) Le fait d'avoir d'unites "identies" engendre des estimateurs fondamentaux en theorie des sondages et dierents de la statistique classique :

Exemple:N= 3,n= 2 ets1=f1;2g;s2=f1;3gets3=f2;3g.

On considerep(s1) =p(s2) =p(s3) = 1=3 (voir SAS) et on prend t=8 :t

1=y1=2 +y2=2si s1tire

t

2=y1=2 + 2y3=3si s2tire

t

3=y2=2 +y3=3si s3tire

et la moyenne empirique :y S=P

Syk=2:Alors,

tety

Ssont sans biais poury

U; V(y

S)V(t) =y3(3y23y1y3)54

>0 poury3(3y23y1y3)>0: Theorie des sondages "versus" statistique inferentielle (2) Nous avons la possibilite d'ameliorer certain estimateurs mais sans pouvoir trouver un unique meilleur estimateur (de variance minimale).

Dans la theorie des sondages :

le theoreme deRao-Blackw ell: p ourtout estimateur qui d epend de l'ordre et de la multiplicite des unites dans l'echantillon (pour un tirage avec remise),on peut trouver un estimateur meilleur qui ne depend pas de l'ordre ni de la multiplicite. Par contre, il n'existe pas une statistique minimale complete et par consequence, ni d'estimateur de variance uniformement minimale. Theorie des sondages "versus" statistique inferentielle (3) Alors, de facon pratique, gr^ace au theoreme RB, on peutquotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

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