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0autrement:

On suppose que pour un certain entierk0>1, on a :

En utilisant un théorème fondamental énoncé avec soin concernant les réunions dénom-

J(E) =infJX

1.Examen 1 3Exercice 6.DansRd, soit un nombre fini quelconquen>1de sous-ensembles mesurables

1;A2;:::;AnRdde mesures finies :

Montrer que (figure-bonus possible) :

1[A2[ [An

16k6n(1)k1X

16i1 A i1\Ai2\ \Aik Exercice 7.Soitmla mesure de Lebesgue surRet soit" >0arbitrairement petit.

Construire un ouvert

Rdense dansRtel quem(

)6". Exercice 8.Soitf2C0c(Rd;R)une fonction réelle continue à support compact. Montrer que :

0 =limh!0Z

R df(xh)f(x)dx: Indication:Sisupp(f)B(0;R)pour un rayonR1assez grand, se limiter àh2Rdavec jhj<1et se ramener àR

B(0;R+1).

Exercice 9.Trouver une suite de fonctions en escalierfn: [0;1]!R+satisfaisant :

0 =limn!1Z

1 0 f n(x)dx; mais telle que, entoutpointx2[0;1], la suite numérique :fn(x)1 n=1 soit bornée et ne converge vers aucune valeur réelle.Indication:Utiliser la suite double F k;m(x) :=1[k1m ;km ]pour16k6m, illustrer son comportement pourm= 1;2;3;4,

décrire en mots les idées qui viennent à l"esprit, et enfin, rédiger en détail une démonstra-

tion rigoureuse.

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, France2. Corrigé de l"examen 1

Exercice 1.Commef:Rd!R+est Lebesgue-intégrable, pour tout réel >0, l"en- semble de sur-niveau : E :=x2Rd:f(x)> est mesurable dansRd. De plus, l"inégalité entre fonctions : f(x)>1E(x)(8x2Rd); est claire lorsquex62Ecarf(x)>0 =0par hypothèse, et vraie aussi lorsquex2E, carf(x)> =1, donc elle est satisfaite partout. Par intégration de cette inégalité, nous obtenons instantanément :Z R df>mE; ce qui donne bienm(E)61 R R df. R R df E EE m(E) Géométriquement, l"hypographe def:(x;y)2RdR+: 06y6f(x); dont la mesure(d+ 1)-dimensionnelle vautR R dfd"après un théorème du cours, est "coupé» à hauteur >0, et sur le sous-ensembleERdoùf > , on ne retient que la valeur-type, ce qui correspond à restreindre la considération au "pseudo-rectangle» de hauteuret de "base»E, lequel est entièrement contenu dans l"hypographe def au-dessus deE:(x;y):x2E;06y6(x;y):x2E;06y6f(x);

et par intégration "visuelle», on trouve bien que l"aire de ce pseudo-rectangle est inférieure

à l"aire intégrale totale :

mE6Z R df:

2.Corrigé de l"examen 1 5Exercice 2.(a) Une fonctionf:E! f1g [R[ f1gdéfinie sur un sous-ensemble

mesurableERdest ditemesurablesi, pour touta2R, son ensemble de sous-niveau : f

1[1; a[=x2E:f(x)< a;

est un sous-ensemblemesurabledeRd. Dans le cours, on a obtenu les caractérisations

équivalentes suivantes :

pour touta2R, l"ensemble :x2E:f(x)6a est mesurable; pour touta2R, l"ensemble :x2E:f(x)>a est mesurable; pour touta2R, l"ensemble :x2E:f(x)> a est mesurable; pour tout couple de nombres réels finis :

1< a < b <+1;

les ensembles-tranches : a < f < b sont mesurables; plus généralement, il en va de même en remplaçantfa < f < bgpar l"un des trois ensembles :a6f < b;a < f6b;a6f6b: (b)On en déduit que pour toutk2Z, les ensemblesEk:=fx2Rd: 2k1< f(x)6 2 kgsont mesurables dansRd. (c)Pour toutk2Z, l"ensembleEk=fx2Rd: 2k1< f(x)62kgest contenu dans l"ensemble : E :=x2Rd:f(x)>0; donc : k2ZE kE: Pour l"inclusion opposée, soitx2Equelconque. Commef(x)>0, et comme la réunion d"intervalles enchaînés :a k2Z

2k1;2k= ]0;1[

est disjointe, il existe un unique entierkx2Ztel que : 2 kx1< f(x)62kx; ce qui signifiex2Ekx, et donne bien :[ k2ZE kE:

6 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, France(d)Soitx2Rdquelconque fixé.

Sif(x) = 0, alors pour toutn2N, puisquex62Ekquel que soitk2Z, on a : F n(x) =X jkj6n2 k1Ek(x) = 0; puis en faisantn! 1:

F(x) = 0 =f(x);

d"où trivialement 12

F(x)6f(x)6F(x), car12

06060, c"est très vrai, mon bébé!

Si maintenantf(x)>0, il existe un uniquekx2Ztel quex2Ekx, d"où pour tout n>jkxj: F n(x) = 2kx; puis en faisantn! 1:

F(x) = 2kx:

Comme par définition dekxon a :

12

F(x) = 2kx1< f(x)62kx=F(x);

en relaxant la "strictitude» de l"inégalité à gauche, nous obtenons bien12

F(x)6f(x)6

F(x). (e)Commef:Rd!R+est mesurable à valeurs positives finies,fest Lebesgue- intégrable (par définition!) si et seulement siR R df <1. Or une intégration de l"enca- drement defparFobtenu à l"instant dans la question précédente donne : 12 Z R dF6Z R df6Z R dF; doncfest Lebesgue-intégrable surRdsi et seulement siFl"est. Maintenant, il est temps d"observer que la suite(Fn)1n=1de fonctions positives est crois- sante : F n+1(x)Fn(x) = 2(n+1)1En1(x) + 2n+11En+1(x)>0; ce qui permet d"appliquer le théorème de convergence monotone pour obtenir :Z R dF=Z R d limn!1Fn =limn!1Z R dFn =limn!1Z R d X jkj6n2 k1Ek =limn!1X jkj6n2 kmEk X k2Z2 kmEk

2R+[ f1g;

et donc on a bien : Z R df <1 ()Z R dF <1 ()X k2Z2 kmEk:

2.Corrigé de l"examen 1 7(f)Avec un exposanta2R, la fonction :

f a(x) :=(jxjalorsque00ailleurs;