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Int´egration et probabilit´es

(cours + exercices corrig´es)

L3 MASS, Universit´e de Nice-Sophia Antipolis

Sylvain Rubenthaler

Table des mati`eres

Introduction iii

1 D´enombrement (rappels) 1

1.1 Ensembles d´enombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Th´eorie de la mesure 5

2.1 Tribus et mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Int´egrales des fonctions ´etag´ees mesurables positives. . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Fonctions mesurables et int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1 Int´egrales des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.2 Int´egrales des fonctions mesurables de signe quelconque. . . . . . . . . 11

2.5 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Ensembles n´egligeables 17

4 Th´eor`emes limites 19

4.1 Stabilit´e de la mesurabilit´e par passage `a la limite. . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Th´eor`emes de convergence pour les int´egrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 Int´egrales d´ependant d"un param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Mesure produit et th´eor`emes de Fubini 29

5.1 Th´eor`emes de Fubini et Fubini-Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.3.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.3.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Fondements de la th´eorie des probabilit´es 37

6.1 D´efinitions g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.2 Esp´erance d"une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3 In´egalit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.4 Lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.4.1 Lois discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.4.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.5 Fonctions caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.6 Fonctions g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

i

6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.7.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.7.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7 Variables ind´ependantes 53

7.1 D´efinitions g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.1.1´Ev´enements et variables ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.1.2 Densit´es de variables ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.2 Lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.3 Somme de deux variables ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.4.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.4.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8 Convergence de variables al´eatoires 61

8.1 Les diff´erentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.3 Th´eor`eme central-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.4.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.4.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9 Conditionnement 71

9.1 Conditionnement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.2 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.3 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.3.1´Enonc´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.3.2 Corrig´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

10 Variables gaussiennes 77

10.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10.2 Gaussiennes et esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A Table de la loi normale 81

Introduction

Le but de ce cours est d"introduire les notions de th´eorie de la mesure qui seront utiles

en calcul des probabilit´es et en analyse. Il est destin´e aux ´etudiants qui veulent poursuivre

leurs ´etudes dans un master `a composante math´ematique. Pour un cours plus complet, se reporter `a la bibliographie. Informations utiles (partiels, barˆemes, annales, corrig´es, ...) : http ://math.unice.fr/≂rubentha/cours.html.

PR´EREQUIS : Pour pouvoir suivre ce cours, l"´etudiant doit connaˆıtre, entre autres, les

d´eveloppements limit´es, les ´equivalents, les ´etudes de fonction, le d´enombrement, les nombre

complexes, la th´eorie des ensembles., les int´egrales et primitives usuelles, la trigonom´etrie

...etc ... iii

Chapitre 1

D´enombrement (rappels)

1.1 Ensembles d´enombrables

D´efinition 1.1.1.Injection.

SoitE,Fdes ensembles,f:E→Fest une injection si?x,y?E,f(x) =f(y)?x=y.

D´efinition 1.1.2.Surjection.

SoitE,Fdes ensembles,f:E→Fest une surjection si?z?F,?x?Etel quef(x) =z.

D´efinition 1.1.3.Bijection.

SoitE,Fdes ensembles,f:E→Fest une bijection sifest une injection et une surjection. Proposition 1.1.4.SoientE,F,Gdes ensembles. Soientf:E→F,g:F→G. Alors [f etginjectives]?[g◦finjective]. D´emonstration.Soientx,ytels queg◦f(x) =g◦f(y). L"applicationgest injective donc

f(x) =f(y). L"applicationfest injective doncx=y.D´efinition 1.1.5.On dit qu"un ensembleEest d´enombrable s"il existe une injection deE

dansN. Dans le cas o`uFest infini, on d´emontrer qu"il existe alors une bijection deEdans N. (Cela revient `a dire que l"on peut compter un `a un les ´el´ements deE.) Exemple 1.1.6.Tout ensemble fini est d´enombrable. Exemple 1.1.7.Zest d´enombrable car l"application f:Z→N k?→?

2nsin≥0

-2n-1sin <0 est bijective (donc injective).01 23-1-2-30 2 4

13Fig.1.1 -´Enum´eration des ´el´ements deZ.

1

2CHAPITRE 1. D´ENOMBREMENT (RAPPELS)

Exemple 1.1.8.N×Nest d´enombrable car l"application f:N×N→N (p,q)?→(p+q)(p+q+ 1)2 +q est bijective (donc injective).0 129 58
74

3 6Fig.1.2 -´Enum´eration des ´el´ements deN×N.

Exemple 1.1.9.L"ensembleQest d´enombrable. L"ensembleRn"est pas d´enombrable. Proposition 1.1.10.Si on aE0,E1, ...,En, ...des ensembles d´enombrables alorsE= E

0?E1?E2? ···=?n≥0Enest un ensemble d´enombrable.

(En d"autres termes, une r´eunion d´enombrable d"ensembles d´enombrables est d´enombrable.)

D´emonstration.S Pour touti≥0,Eiest d´enombrable donc?fi:Ei→Ninjective. Soit

F:?n≥0En→N×N

x?→(i,fi(x)) six?Ei Cette applicationFest injective. L"ensembleN×Nest d´enombrable donc il existeg:N×N→

Ninjective. Par la proposition 1.1.4,g◦Fest injective. Donc?n≥0Enest d´enombrable.1.2 Exercices

Tous les exercices de ce chapitre n"ont pas un lien direct avec le cours. Par contre, ils constituent des r´evisions n´ecessaires `a la suite du cours. 1.2.1

´Enonc´es

1) Rappel :Sif:E→FetA?F,f-1(A) ={x?E:f(x)?A}. SiC?E,f(C) =

{f(x),x?C}.

On consid`ere l"applicationf:R→R,x?→x2.

(a) D´eterminerf([-3,-1]),f([-3,1]),f(]-3,1]). (b) D´eterminerf-1(]- ∞,2]),f-1(]1,+∞[),f-1(]-1,0]?[1,2[).

2) Calculer les limites suivantes :

(a) lim x→0sin(x)log(1+x) (b) lim x→+∞?1 +2x x (c) lim x→01-cos(x)xsin(x)

1.2. EXERCICES3

(d) lim x→01-(1+x)α1-(1+x)βpourα,β >0.

3) Calculer les int´egrales suivantes :

(a)?+∞

0x2e-xdx

(b)?+∞ e

11(log(z))2zdz

(c) ?1

01(2-x)(1+x)dx

(d) ?π/4 0cos

2(x)+sin2(x)cos

2(x)dx.

4) Int´egrales de Wallis

Pour toutn?N, on pose :

I n=?

π/2

0 sinn(x)dx . (a) CalculerI0etI1. (b) Donner une relation de r´ecurrence entreInetIn+2. (c) En d´eduire que : ?p?N, I2p=(2p-1)(2p-3)...12p(2p-2)...2π2 etI2p+1=2p(2p-2)...2(2p+ 1)(2p-1)...1. 2pI

2p+1= 1.

(e) En d´eduire la formule de Wallis : lim p→+∞1p

2p(2p-2)...2(2p-1)(2p-3)...1?

2 (f) Montrer que?n?N,In≂n→+∞?π 2n.

1.2.2 Corrig´es

(1) (a)f([-3,-1]) = [1,9],f([-3,1]) = [0,9],f(]-3,1]) = [0,9[. (b)f-1(]- ∞,2]) = [-⎷2,⎷2],f-1(]1,+∞[) =]- ∞,-1[?]1,+∞[,f-1(]-1,0]? [1,2[) ={0}?]-⎷2,-1]?[1,⎷2[. (2) (a) sin(x)log(1+x)≂x→0+xx = 1→x→0+1 (b) ?1 +2x x=exlog(1+2x )etxlog?1 +2x ?≂x→+∞2xx →x→+∞2 donc par continuit´e de la fonction exp :?1 +2x x→x→+∞e2 (c)

1-cos(x)xsin(x)=(x2/2)+o(x2)x

2+o(x2)≂x→0x

22x2= 1/2

(d) (a) on int`egre par parties : 0 x2e-xdx= [-x2e-x]+∞0+? 0

2xe-xdx

= 0 + [-2xe-x]+∞0+? 0

2e-xdx

= [-2e-x]+∞0= 2 (b) changement de variable :t= log(z),z=et,dz=etdt e

11(log(z))2zdz=?

11t 2dt = [-1/t]+∞1= 1

4CHAPITRE 1. D´ENOMBREMENT (RAPPELS)

(c) on d´ecompose

1(2-x)(1+x)=1/32-x+1/31+x(toujours possible pour une fraction ratio-

nelle `a pˆoles simples) et donc : 1

01(2-x)(1 +x)dx=?

-13 log(2-x) +13 log(1 +x)? 1 0 =13 log(4) (d) changement de variable :t= tan(x),x= arctan(t),dx=11+t2dt

π/4

0cos

2(x) + sin2(x)cos

2(x)dx=?

π/4

0

1 + tan2(x)dx

= [tan(x)]π/4 0= 1 (3) (a)I0=?π/2

01dx=π2

,I1=?π/2

0sin(x)dx= [-cos(x)]π/2

0= 1. (b) On int`egre par parties pour toutn≥2 : I n+2=?

π/2

0 sinn+1(x)sin(x)dx = [-sinn+1(x)cos(x)]π/2

0+ (n+ 1)?

π/2

0 sinn(x)cos2(x)dx = (n+ 1)(In-In+2) d"o`uIn+2=n+1n+2In. (c) D´emonstration par r´ecurrence de la formule pourI2p(d´emonstration similaire pour I

2p+1) :

- c"est vrai enp= 0 - si c"est vrai jusqu"au rangpalorsI2p+2=2p+12p+2I2p=(2p+1)(2p-1)...1(2p+2)(2p)...2π2

2p+1=2p+12p, donc

lim p→+∞I 2pI

2p+1= 1

(e) on d´eduit de la question pr´ec´edente : lim p→+∞π2 (2p-1)(2p-3)...12p(2p-2)...2?

2(2p+ 1) = 1,

d"o`u la formule de Wallis (f) On fait la d´emonstration pournimpair . Soitn= 2p+ 1 : I

2p+1=2p(2p-2)...2(2p+ 1)...1

⎷p

2p+ 1?1

p

2p(2p+ 2)...2(2p-1)...1?

2 p→+∞1?2(2p+ 1)⎷π .

Chapitre 2

Th´eorie de la mesure

La th´eorie de la mesure est l"outil utilis´e pour mod´eliserle hasard.

2.1 Tribus et mesures

2.1.1 Tribus

Dans la suite, on utilisera un ensemble Ω que l"on appellera"univers». Il contient tous les al´eas possibles. D´efinition 2.1.1.Une familleAde parties deΩest une tribu (surΩ) si elle v´erifie

1.Ω? A

2.A? A ?Ac? A(stabilit´e par passage au compl´ementaire)

3.A0,A1,A2,··· ? A ? ?n≥0An? A(une r´eunion d´enombrable d"´el´ements deAest

dansA)

Remarque 2.1.2.On rappelle que :

-Ac:={x?Ω :x /?A} - Une tribu est un ensemble de parties. Ces parties sont appel´ees"´ev´enements». Proposition 2.1.3.Stabilit´e par intersection d´enombrable. SoientAune tribu etA0,A1,A2,··· ? A, alors∩n≥0An? A. D´emonstration.On note pour toutn,Bn=Acn. Donc, par d´efinition d"une tribu,Bn? A,?n et?n≥0Bn? A. n≥0An=∩n≥0Bcn n≥0Bn? c

( par d´efinition )? A.Exemple 2.1.4.Pour n"importe quel ensembleΩ,A={∅,Ω}est une tribu.

Exemple 2.1.5.Pour n"importe quel ensembleΩ, ,A=P(Ω)(les parties deΩ) est une tribu. Proposition 2.1.6.SoitA ? P(Ω), il existe une tribu not´eeσ(A)telle que siBest une tribu telle queA ? Balorsσ(A)? B. On dira queσ(A) est la plus petite tribu contenantA, ou encore queσ(A) est la tribu engendr´ee parA. 5

6CHAPITRE 2. TH´EORIE DE LA MESURE

D´efinition 2.1.7.Soit l"ensemble de parties deRsuivant :

A={]a,b[:a,b?R? {+∞,-∞}}

(c"est l"ensemble des intervalles ouverts). La tribuσ(A)s"appelle la tribu des bor´eliens et se

noteB(R). Exemple 2.1.8.Soit[a,b]intervalle ferm´e deR. Les intervalles]-∞,a[,]b,+∞[sont dans B(R). La familleB(R)est une tribu donc]- ∞,a[?]b,+∞[? B(R)(stabilit´e par r´eunion d´enombrable), et donc aussi(]- ∞,a[?]b,+∞[)c= [a,b]? B(R)(stabilit´e par passage au compl´ementaire). De mˆeme, on peut montrer que tous les intervalles deRsont dansB(R), ainsi que tous les singletons (les ensembles de la forme{x},x?R).

2.2 Mesures

Notation 2.2.1.Dans le calcul des mesures, on adopte les conventions de calcul suivantes (qui ne sont pas valables ailleurs) :?x?R,x+∞= +∞,0× ∞= 0. D´efinition 2.2.2.SoitΩun ensemble muni d"une tribuA. On dit queμest une mesure (positive) sur(Ω,A)si :

1.μ:A →[0,+∞](elle peut prendre la valeur∞)

2.μ(∅) = 0

3. siA0,A1,A2,··· ? Aet sont deux `a deux disjointsalorsμ(?n≥0An) =?

n≥0μ(An). Quandμest une mesure sur (Ω,A) est telle queμ(Ω) = 1, on dit queμest une mesure de probabilit´e(cette d´efinition sera rappel´ee plus tard dans le cours). La tribuAquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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