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Université de Batna 2, Département de Mathématiques,3 Année Licence Mathématiques,Mesure et Intégration

Exercices corrigés

Exercice 1

Question 1 :Déterminer∩

n≥1 ?-1 n,1?et∩n≥1 ?-1 n,1?.

Réponse :D"une part

x? ∩ n≥1 ?-1 n,1?? ?n≥1,x??-1n,1?? =?(x?[0,1]). Ainsi n≥1 ?-1 n,1? ?[0,1]........(?)

D"autre part

(x?[0,1]) =?? ?n≥1,x??-1 n,1?? car[0,1]??-1n,1? pour toutn≥1. x? ∩ n≥1 ?-1 n,1?? Ainsi [0,1]? ∩ n≥1 ?-1 n,1? .......(2?)

De(?)et(2?),on trouve que∩

n≥1 ?-1 n,1?= [0,1].

De même,on montre que∩

n≥1 ?-1 n,1?= [0,1](notons ici que l"étape??n≥1,-1 n< x?,

Remarque : Rappellons que si(A

n)est une suite d"ensembles croissante (resp. décrois- sante) alors elle converge versA=? nAn(resp. versA=∩nAn). 1 On a pour toutn≥1on a-1 alors pour toutn≥1on a?-1 n+ 1,1? ??-1n,1?

Ainsi,la suite d"ensembles??

-1 n,1??n≥1est une suite décroissante. Cela implique qu"elle a une limite. En plus, on a lim n→+∞ ?-1 n,1? =∩n≥1 ?-1 n,1?

C"est à dire

lim n→+∞ ?-1 n,1? = [0,1].

De même,on montre quelim

n→+∞ ?-1 n,1?= [0,1]. Question 2 :Donner un exemple de suite non constante de parties deRdont la limite est]0,1].

Réponse :Montrons quelim

n→+∞ ?1 n,1?= ]0,1] : - Puisque? 1 n,1???1 n+1,1?pour toutn≥1alors la suite??1 n,1??n≥1est une suite croisante. Donc, elle a une limite. En plus, on alim n→+∞ ?1 n,1?=?n≥1 ?1 n,1?. - Calculons? n≥1 ?1 n,1?:

D"une part

x? ? n≥1 ?1 n,1?? ?n≥1,x??1n,1?? Ainsi n≥1 ?1 n,1? ?]0,1]........(?) 2

D"autre part

(x?]0,1]) =?(?n≥1,nx >1)application d"Archimède sur(x,1)?R +×R ?n≥1,1 ?n≥1,x??1n,1? ??1n,1?? x? ? n≥1 ?1 n,1?? Ainsi ]0,1]? ? n≥1 ?1 n,1? .......(2?)

De(?)et(2?),on trouve que?

n≥1 ?1 n,1?= ]0,1]. Question 3 :Déterminer les limites supérieure et inférieure de la suite(B n)n≥1de parties deRdéfinie parB

2n-1=?-2-1

n,1?etB2n=?-1,2 +1 n2?.

Réponse :

Rappel : Soit(A

n)une suite d"ensembles. On a -x?lim n→+∞supAnSsixappartient àAnpour une infinité d"indicesn. -x?lim n→+∞infAnSsixappartient àAnpour toutnsauf pour un nombre fini d"indices.

Montrons quelim

n→+∞supBn= [-2,2].D"une part - Six?[-2,1]alorsxappartient à tout les ensembles impaires. Donc,x?B npour une infinité d"indicen. Donc,x?lim n→+∞supBn - Six?[1,2]Ainsi,x?Bnpour une infinité de valeurs de l"indicen(pourquoi).

Donc,x?lim

n→+∞supBn. Ainsi [-2,2] = [-2,1]?[1,2]?lim n→+∞supBn......(?)

D"autre part, six /?[-2,2]alorsx /?B

nà partir d"un certain rangN. Donc,xappartient

à un nombre fini de partiesB

n.Ceci implique quex /?limn→+∞supBn.C"est à dire, on a montré que (x /?[-2,2]) =?? x /?lim n→+∞supBn 3

Par contraposition, on trouve

lim n→+∞supBn?[-2,2].......(2?)

De (*) et (2*), on trouve quelim

n→+∞supBn= [-2,2].

Montrons quelim

n→+∞infBn= [-1,1] :D"une part, six?[-1,1]alorsx?Bnpour tout non a donc[-1,1]?lim n→+∞infBn.D"autre part, six /?[-1,1]alors il existe une infinité d"indicesnpour lesquellesx /?B ndoncx /?limn→+∞infBn.Ainsi ,limn→+∞infBn?[-1,1].

Question 4 :Existe t"il une suite(C

n)n≥1de parties deRtelle quelimsup nCn= [-1,2]etliminf nCn= [-2,1]. Réponse :Non il n"existe pas. Par l"absurde, on suppose qu"il existe une suite (C n)n≥1de parties deRtelle quelimsup nCn= [-1,2]etliminfnCn= [-2,1].On sait queliminf nCn?limsup nCnalors[-2,1]?[-1,2]. C"est une contradiction.

Exercice 2

SoientX, Ydeux ensembles non vide etf:X-→Yune application. Question 1 :SoitFuneσ-algèbre (tribu) surY.Posonsτ:=f -1(F) ={f-1(B) :B? F}.

Montrer queτest uneσ-algèbre surX.

Réponse :Remarquons que

(A?τ)????B? F:A=f -1(B)????A=f-1(B)avecB? F?. * Montrons queX?τ:On a X=f -1(Y)résultat dans la th. ensembles et

Y? FcarFuneσ-algèbre surY.

C"est à dire, on a montré queX=f

-1(Y)avecY? F.Cela veut direX?τ. 4 ** Montrons que?A?τ,Ac?τ(Stabilité par passage au complément).

SoitA?τalorsA=f

-1(B)avecB? F.On a A c=?f-1(B)?cth. ensemble=f-1(Bc) et B c? FcarB? FetFest uneσ-algèbre surY.

C"est à dire, on a montré queA

c=f-1(Bc)avecBc? F.Cela veut dire queAc?τ.

Remarquons queA?XdoncA

c=CXAetB?YdoncBc=CYB. *** Montrons que?(A i)i?N?τ,?i?NAi?τ(Stabilité par réunion dénombrable):

Soit(A

i)i?N?τalors pour touti?Non aA i=f-1(Bi)avecBi? F. On a i?NAi=?i?N ?f-1(Bi)?th. ensembles=f-1? i?NBi et i?NBi? Fcar(Bi)i?N? FetFest uneσ-algèbre surY.

C"est à dire, on a montré que

i?NAi=f-1? i?NBi avec? i?NBi? F.

Cela veut dire que?

i?NAi?τ. Conclusion : L"image indirecte d"uneσ-algèbre par une application est uneσ-algèbre. Question 2 :SoitGuneσ-algèbre surX.Posonsf(G) ={f(A) :A? G}.Est ce quef(G)est uneσ-algèbre surY(Justifier). Réponse :Pour répondre à cette question, on va traiter ces deux exemples : Exemple 1 :SoientX={1,2,3,4,5}, Y={1,2},G={∅,{1},{2,3,4,5},X}et 5 f:X-→Yavecf(x) = 2pour toutx?X.

On aGuneσ-algèbre surXcarG={∅,A,A

c,X}avecA={1} ?X.En plus, f(G) ={f(A) :A? G}={f(∅),f({1}),f({2,3,4,5}),f(X)} ={∅,{2},{2,2,2,2},{2,2,2,2,2}} ={∅,{2},{2},{2}}={∅,{2}}. Alorsf(G) ={∅,{2}}n"est pas uneσ-algèbre surYcarY /?f(G). Exemple 2 :SoientX=Y={1,2,3,4,5},G={∅,{1},{2,3,4,5},X}etf:X-→

Y=Xavecf(x) =xpour toutx?X.On a

f(G) ={f(A) :A? G}={f(∅),f({1}),f({2,3,4,5}),f(X)} ={∅,{1},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}} ={∅,{1},{2,3,4,5},X}=G.

Alorsf(G) =Gest uneσ-algèbre surY=X.

Conclusion : On ne peut rien conclure sur l"image directe d"uneσ-algèbre par une application. Elle peut être uneσ-algèbre ou ne pas être.

Exercice 3

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