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Universit´e Pierre et Marie Curie2004-2005

Licence de math

ematiques T el´e-enseignement Int egration

Exercices et Corrig

es en compl´ement du Cours de Gilles Pag`es

Jacques F´ejoz

fejoz@math.jussieu.fr Il est n´ecessaire de chercher longtemps soi-mˆeme les exercices, avant de s"aider du corrig´e. Je vous encourage `a choisir unexercice par chapitre, parmi ceux qui ne sont pas les plus ´el´ementaires, `a r´ediger sa solution et `a m"envoyer votre travail pour que je le cor- rige.Adopter une r´edaction concise et v´erifier scrupuleusement ses d´emonstrations: ceux qui suivront ces deux conseils seront r´ecompens´es.

Table des mati`eres

Chapitre 1. Int´egrale de Riemann. Tribus. Mesures 2

1. Rappels tr`es succints surl"int´egrale de Riemann 2

2. Exemples de limites de sous-ensembles 4

3. Exemples ´el´ementaires de tribus 5

4. Tribus et partitions6

5. Tribus et topologies8

9. Exemples d"applications mesurables 9

10. Tribu image r´eciproque 10

11. Tribu image directe11

13. Partitions, extractions et mesurabilit´e 12

15. Mesure invariante par une application * 12

16. Le th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e 14

17. Entropie d"une partition 16

18. Pourquoi la tribu bor´elienne ? 17

20. Une mesure diffuse purement atomique 18

24. L"ensemble de Cantor * 19

Chapitre 2. L"int´egration par rapport `a une mesure 22

1. Exemples ´el´ementaires 22

2. Un exemple bˆete23

3. In´egalit´e de Fatou stricte 25

4. Un crit`ere d"int´egrabilit´e 25

5. Une application du th´eor`eme de convergence monotone 27

6. Une application du th´eor`eme de convergence domin´ee 28

7. Int´egration par rapport `a une mesure image 28

8. Centre de masse31

9. Noyaux probabilistes32

Chapitre 3. Interversion de limites et d"int´egrales 36

1. Int´egrales et primitives 36

2. Passages `a la limite dans une int´egrale 38

3. Interversions d"une somme de s´erie et d"une int´egrale 39

4. D´erivation sous le signe somme 41

5. Calcul d"un ´equivalent par la m´ethode de Laplace 42

2

TABLE DES MATI`ERES3

6. Formule de Stirling par la m´ethode de Laplace 43

8. Partie finie de Hadamard 45

9. D´erivation sous le signe somme - un cas pathologique simple 47

11. Des questions de sommabilit´e 48

12. Le th´eor`eme ergodique de Birkhoff (1931) 50

13. In´egalit´e de Jensen et entropie d"une partition 54

Chapitre 4. Produits de mesures 57

1. Questions ´el´ementaires 57

2. Carr´e de la mesure de comptage 57

3. Un contre-exemple au th´eor`eme de Fubini 58

4. Mesure d"un graphe58

5. Applications du th´eor`eme de Fubini 59

6. Calculs de volumes de solides 63

7. Int´egrale curviligne65

8. Int´egrale de surface67

10. Action lagrangienne et g´eod´esiques 69

11. Calcul d"une int´egrale multiple 73

12. Propri´et´es ´el´ementaires des fonctions Γ etBet application `a une formule sommatoire

13. Variables al´eatoires ind´ependantes * 77

14. Exemples de produits de convolution 79

15. Convol´ee de probabilit´es de Poisson * 80

Chapitre 5. Les espaces de fonctions int´egrables 82

1. Application de l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz 82

2. Convergence simple et convergence dansLp82

3. NormesLp83

4. S´eries de Fourier dansL2* 84

5. Esp´erance conditionnelle et th´eor`eme ergodique de Birkhoff * 88

Chapitre 6. La transform´ee de Fourier 92

1. Calculs et propri´et´es ´el´ementaires 92

2. R´egularit´e de la transform´ee de Fourier 93

4. Non surjectivit´e de la transformation de Fourier 94

5.´Equation de propagation 95

6.´Equation de diffusion de la chaleur 96

8.´Equivalent d"une int´egrale de Fresnel 100

9. Rotations irrationnelles et s´eries de Fourier 102

10. Th´eor`eme central limite 103

CHAPITRE 1

Int´egrale de Riemann. Tribus. Mesures

Sommaire

1. Rappels tr`es succints surl"int´egrale de Riemann 2

2. Exemples de limites de sous-ensembles4

3. Exemples ´el´ementaires de tribus5

4. Tribus et partitions6

5. Tribus et topologies8

9. Exemples d"applications mesurables9

10. Tribu image r´eciproque10

11. Tribu image directe11

13. Partitions, extractions et mesurabilit´e 12

15. Mesure invariante par une application * 12

16. Le th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e 14

17. Entropie d"une partition16

18. Pourquoi la tribu bor´elienne ?17

20. Une mesure diffuse purement atomique 18

24. L"ensemble de Cantor *19

1. Rappels tr`es succints surl"int´egrale de Riemann.Soient

a < bdeux r´eels etEun espace de Banach r´eel. NotonsBl"espace des fonctions born´ees deIdansE, muni de la norme?f?∞= sup t?I?f(t)?. Notons aussiEle sous-espace deBdes fonctions en escalier. a.Montrer que l"ensemble des subdivisions deIest muni d"une re- lation d"ordre naturelle. Siαetβsont deux subdivisions deI, on noteraα?βleur borne inf´erieure pour cette relation d"ordre. b.Rappeler la d´efinition de l"int´egrale de Riemann d"une fonction en escalierf?E. c.Interpr´etercette d´efinition g´eom´etriquementdans le cas o`uE=R. d.Montrer que l"application ainsi d´efinieI= (E,?·?∞)→(E,?·?) est lin´eaire et uniform´ement continue. NotonsRl"espace desfonctions r´egl´eesdeIdansE; par d´efinition, c"est l"adh´erence deEdans (B,??∞). e.Montrer qu"il existe un unique prolongementcontinu de l"application I`aR. 4

1. INT´EGRALE DE RIEMANN. TRIBUS. MESURES 5

NotonsE(I,R) l"espace des fonctions en escalier deIdansR.

Quelle que soitf?B, notons

et

N(f) = infI(f),I(f) =?

?b a p(t)dt, p?ˆE(f)? f.Montrer queNd´efinit une semi-norme surB. NotonsAl"espace desfonctions Riemann-int´egrablesdeIdans E; par d´efinition, c"ets l"adh´erence deEdansBpour la topologie deN. g.Montrer qu"il existe un unique prolongementcontinu de l"application I`aA.

Correction.

a.Une subdivision deIs"identifie `a une partie finie de l"int´erieur ]a,b[ deI. Alors l"ensemble

des subdivisions est muni de la relation d"ordre partiel de l"inclusion, et la borne inf´erieure de

deux subdivisions est simplement leur r´eunion. b.Soitαune subdivision adapt´ee `af. Notonsα={α1< ... < αn},α0=aetαn+1=b. La fonctionfest de la forme f=? j1]αj,αj+1[+? j1{αj}, o`ucj,dj?Eet o`u, pour toute partieAdeI,1A:t?→1 sit?Aet 0 sit /?A, d´enote la fonction indicatrice deA. Par d´efinition, l"int´egrale de Riemann defest le vecteur b a f(t)dt=?

En prenant une autre subdivisionβadapt´ee `afet en consid´erant la subdivisionα?βon voit

que cette d´efinition ne d´epend pas de la subdivision choisie.

c.Dans le cas o`uE=R, le r´eel (αj+1-αj)cjest l"aire alg´ebrique du rectangle bord´e par l"axe

des abscisses et le graphe de la restriction def`a l"intervalle ]αj,αj+1[ (compt´ee n´egativement si

c j<0). Donc?b af(t)dtest l"aire alg´ebrique de la r´egion du plan d´elimit´ee parl"axe des abscisses et le graphe def.

d.Soientf,g?Eetλ,μ?R. Soientαune subdivision adapt´ee `af,βune subdivision adapt´ee

`ag, etγ=α?β. En utilisant la formule pr´ec´edente avec la subdivisionγon voit que l"on a

I(λf+μg) =λI(f) +μI(g).

De plus, avec les notations de la question pr´ec´edente, on a b a f(t)dt????? ce qui montre queI:E→Best lipschizienne, donc uniform´ement continue. e.Supposons que˜Isoit un prolongement continu deI`aR. Soitfune fonction r´egl´ee.

Par d´efinition, il existe une suite (φn) deEqui converge versf. En particulier, (φn) est de

Cauchy. CommeIest uniform´ement continue, (I(φn)) aussi est de Cauchy. Comme cette derni`ere est une suite r´eelle et commeRest complet, (I(φn)) converge. Comme˜Iest continu, ˜I(f) = limnI(φn). Ceci montre que le prolongement est unique.

1. INT´EGRALE DE RIEMANN. TRIBUS. MESURES 6

En prenant une seconde suite (ψn) de fonctions en escalier tendant versf, on voit que la

limite deI(ψn) co¨ıncide forc´ement avec celle deI(φn), parce queφn-ψnconverge vers 0?E,

dont l"int´egrale au sens deIest nulle. Donc c"est une semi-norme. (Le seul axiome qui manque pour enfaire une norme est l"axiome de s´eparation.) g.L"applicationI: (E,N)→(E,?·?) est uniform´ement continue, et se prolonge donc comme pr´ec´edemment en une fonction continue d´efinie sur l"adh´erenceAdeE.

2. Exemples de limites de sous-ensembles.

a.D´eterminer la limite des suites (An)n≥1et (A?n)n≥1de parties deR d´efinies par A n=? -1 n,1? etA?n=? -1n,1? b.Donner un exemple de suite non constante de parties deRdont la limite est ]0,1]. c.D´eterminer les limites sup´erieure et inf´erieure de la suite (Bn)n≥1 de parties deRd´efinie par B

2n-1=?

-2-1 n,1? etB2n=? -1,2 +1n2? d.Existe-t-il une suite (Cn)n≥1de parties deRtelle que limsup nCn= [-1,2] et liminfnCn= [-2,1] ? Soient (an)n?Net (bn)n?Ndeux suites de r´eels qui convergent re- spectivement vers-1 et 1. e.Trouver la condition sur ces deux suites pour que lim n[an,bn] = [-1,1[. f.Est-il possible que limn[an,bn] n"existe pas ?

Correction.

a.Les suites (An) et (A?n) sont d´ecroissantes. Donc elles ont une limite. Six?[0,1], alorsxappartient `aAnet `aA?npour toutn≥1. Donc [0,1]?limnAnet [0,1]?limnA?n. R´eciproquement, six /?[0,1], alors il existe un rangN`a partir duquelx /?An etx /?A?n. Donc lim n→+∞An= limn→+∞A?n= [0,1]. b.Avec le mˆeme type d"arguments qu"`a la question pr´ec´edente, on voit que lim n→+∞? 1 n,1? =]0,1].

1. INT´EGRALE DE RIEMANN. TRIBUS. MESURES 7

c.Six?[-2,1], alorsxappartient `aBnpour une infinit´e de valeurs de l"indicen(en l"occurence, toutes les valeurs paires≥2). Il en est de mˆeme six?[-1,2] (les valeurs impaires denjouant maintenant le rˆole clef). On a donc [-2,2]?limsupnBn. D"autre part, six /?[-2,2], on a x /?Bn`a partir d"un certain rang ; doncxappartient au plus `a un nombre fini de partiesBnet x /?limsupnBn. Par cons´equent, limsup n→+∞Bn= [-2,2]. Pour la limite inf´erieure desBn, on peut utiliser un argument similaire. Six?[-1,1], alors x?Bnpour toutn. On a donc [-1,1]?liminfnBn. D"autre part, six /?[-1,1], il existe une infinit´e de valeurs de l"indicenpour lesquellesx /?Bn. Doncx /?liminfnBn. Finalement, liminf n→+∞Bn= [-1,1]. d.Non : on a toujours liminfnBn?limsupnBntandis que [-2,1] n"est pas inclus dans [-1,2]. e.On a lim n[an,bn] = [-1,1[??limn1[an,bn]=1[-1,1[ f.Oui : par exemple, sian= 1 etbn= 1 + (-1)n/npourn≥1, alors en faisant de mˆeme qu"`a la question (a). on peut v´erifier que limsup n→+∞[an,bn] = [-1,1] et liminfn→+∞[an,bn] = [-1,1[ ; donc lim n[an,bn] n"existe pas, bien que limnanet limnbnexistent toutes deux.

3. Exemples ´el´ementaires de tribus.

a.Quelle est la tribu engendr´ee par l"ensemble des singletons d"un ensembleE? b.`A supposer que le cardinal deEest sup´erieur `a 2, quelle est la tribu engendr´ee par l"ensemble des paires (c"est-`a-diredes ensembles `a deux ´el´ements) deE? c.Une partieAdeE´etant fix´ee, quelle est la tribu engendr´ee par l"ensemble des parties deEcontenantA? d.SoientEetFdeux tribus deE. D´ecrire simplement la tribu engendr´ee parE∩F, puis de la tribu engendr´ee parE?F. e.Quelle est la tribu deRengendr´ee parA={[0,2],[1,3]}? Quel est son cardinal ?

Correction.

a.Analyse - La tribuEengendr´ee par l"ensemble des singletons deEcontient les unions finies

ou d´enombrables de singletons, c"est-`a-dire les partiesfinies ou d´enombrables deE. Elle contient

donc aussi le compl´ementaire des parties finies ou d´enombrables deE. Synth`ese - L"ensemble des partiesAdeEtelles queAouAcest finie ou d´enombrable est bien une tribu, et il contient les singletons deE. C"est doncE. b.NotonsFla tribu engendr´ee par l"ensemble des paires deE. Les paires deE, en tant qu"unions de deux singletons deE, sont dans la tribuEde la question pr´ec´edente. DoncF?E. R´eciproquement, six,yetzsont trois ´el´ements distincts deE, par exemple le singleton {x}={x,y} ∩ {x,z}= ({x,y}c? {x,z}c)c est dans la tribuF; doncE?F. Donc, si le cardinal deEest sup´erieur `a 3, on aF=E. Dans le cas o`uEest un ensemble `a deux ´el´ements, disons{1,2},Fest la tribu grossi`ere {∅,E}, tandis queEest la tribuP(E) ={∅,{x},{y},E}.

1. INT´EGRALE DE RIEMANN. TRIBUS. MESURES 8

c.La tribu engendr´ee par l"ensemble des parties deEcontenantAest l"ensemble des partiesB deEqui contiennentAou dont l"intersection avecAest vide. d.SoientEetFdeux tribus quelconques deE. La tribu engendr´ee par

E∩F={A?P(E),A?EetA?F}

estE∩Felle-mˆeme. Mais on prendra garde que g´en´eralement la partie

E?F={A?P(E), A?EouA?F}

deP(E) n"est pas stable par union finie, donc a fortiori pas par union d´enombrable. En r´ealit´e,

la tribu engendr´ee parE?Fest

σ(E?F) ={A?B, A?EetB?F}.

e.La tribu deRengendr´ee parA={[0,2],[1,3]}contient forc´ement Cet ensemble de 16 parties est stable par union et par compl´ementation. C"est donc la tribu

σ(A) cherch´ee.

Une r´eponse plus conceptuelle consiste `a remarquer queσ(A) est aussi la tribu engendr´ee

par la partition deR`a 4 ´el´ements{[0,1[,[1,2],]2,3],[0,3]c}, et poss`ede donc les 24´el´ements

donn´es.

4. Tribus et partitions.On rappelle qu"une partition d"un en-

sembleEest un recouvrement (Aj)j?JdeE(c"est-`a-dire que lesAj sont des parties deAdont la r´eunion estEtout entier) dont les ´el´ements sont deux `a deux disjoint (quels que soientj,k?Jtels que j?=kon aAj∩Ak=∅). a.SoitAune partie d"un ensembleEdistincte de l"ensemble vide et deElui-mˆeme. Montrer que la tribu engendr´ee par{A}est l"union de{∅,E}et d"une partition. b.SoitA={A,B,C}une partition deEen trois sous-ensembles.

D´ecrire la tribu engendr´ee parA.

c.Plus g´en´eralement, d´ecrire la tribu engendr´ee par une partition d´enombrable deE. Une tribuEd´efinit naturellement une partitionAEdeE, dont les ´el´ements sont les parties de la forme

¯x=?

x?A?EA, x?E. d.Montrer queAEest bien une partition deE. e.Montrer que si la tribuEest au plus d´enombrable la partitionAE qui lui est associ´ee engendreE. f.Montrer que siEest engendr´ee par une partitionau plus d´enombrable

Bcette partition estAE.

1. INT´EGRALE DE RIEMANN. TRIBUS. MESURES 9

g.Quelle partition engendre la tribu deRengendr´ee par le singleton {[0,1]}? et par la paire{[0,1],[0,2]}? Quel est le cardinal de ces tribus ? h.Montrer que la tribuP(R) n"est engendr´ee par aucune partition deR. i.Montrer qu"une tribu infinieEn"est pas d´enombrable et que donc la question (e) ne concerne que les tribus finies. (Indication : Raison- ner par l"absurde et montrer queEserait en bijection avec l"ensemble des parties de la partition qui l"engendre.)

Correction.

a.La tribu engendr´ee par{A}est{∅,A,Ac,E}. C"est bien l"union de{∅,E}et d"une partition {A,Ac}. b.La tribu engendr´ee par une partitionA={A,B,C}est σ(A) ={∅,E,A,B,C,Ac,Bc,Cc}={∅,E,A,B,C,B?C,C?A,A?B}. c.La tribu engendr´ee par une partition au plus d´enombrableA={Ai,i?I}(I?N) contient les unions (forc´ement au plus d´enombrables) i?JA i de partiesAi?A,i?J,J?I. Or, puisque la partitionAest suppos´ee au plus d´enombrable, l"ensemble des telles unions contientE=?A?AAet est stable par passage au compl´ementaire : i?JA i? c j?JcA j (avec la convention que l"union d"un ensemble vide de sous-ensembles est l"ensemble vide). Doncσ(A) est l"ensemble des unions de partiesA?A. d.Pour toutx?Eon ax?¯x. Donc?x?E¯x=Eet l"ensembleAE={¯x}x?Eest un recouvrement deE. Pour voir queAEest une partition, il reste `a montrer que deux parties

distinctes deEappartenant `aAEsont disjointes. De fa¸con ´equivalente, consid´erons deux parties

¯x,¯y?AEnon disjointes et montrons qu"elles co¨ıncident. Il existez?¯x∩¯y. Commez?¯x,

zappartient `a toutes les partiesAmesurables contenantx. Donc ¯z?¯x. R´eciproquement, montrons que ¯x?¯z. Supposons d"abord quex /?¯z. Alors il existe une partie mesurableA?E telle quez?Aetx /?A, doncz /?Acetx?Ac. CommeEest une tribu,Ac?E. Doncz /?¯x, ce qui est contraire aux hypoth`eses. Doncx?¯z. Mais alors le mˆeme argument qui a servi `a

montrer que ¯z?¯xmontre l"inclusion inverse. Finalement, ¯x= ¯z. Par sym´etrie, on a de mˆeme

¯y= ¯z. Par transitivit´e on a ¯x= ¯y. DoncAEest bien une partition deE.

e.SiEest une tribu au plus d´enombrable, ¯xest l"intersection au plus d´enombrable de parties

A?E, donc ¯x?E. Comme pour toutx?Eon ax?¯x, pour toute partieA?Eon a A?? x?A¯x.

Mais d"apr`es la d´efinition des classes ¯x, l"inclusion inverse est vraie aussi, de sorte que pour toute

partieA?Eon a A=? x?A¯x.

D"apr`es la question pr´ec´edente, ceci montre que la tribuEest engendr´ee par la partitionAE=

{¯x, x?E}.

1. INT´EGRALE DE RIEMANN. TRIBUS. MESURES 10

f.Supposons queEest engendr´ee par une partition au plus d´enombrableB. Pour toutx?E on a ¯x=∩x?A?BA?B. DoncAE?B. R´eciproquement, soitB?Bet supposons par l"absurde queB /?AE. Soitx?B. Par d´efinition de ¯xon a ¯x?B. CommeB /?AE, on a doncB?¯x. Mais ¯x?B, ce qui est incompatible avec le fait queBest une partition. g.La tribu deRengendr´ee par la singleton{[0,1]}est, d"apr`es la question (a),

E={∅,[0,1],[0,1]c,R}.

Elle est donc engendr´ee par la partition

{[0,1],[0,1]c}={[0,1],]- ∞,0[?]0,+∞[} et poss`ede 2

2= 4 ´el´ements. (Remarquons que [0,1]cn"est pas connexe, puisqu"il est constitu´e

de deux segments ; pourtant, contrairement `a une erreur commune, il n"y a aucune raison de s´eparer ses deux composantes connexes.) La tribu engendr´ee par la paire{[0,1],[0,2]}est aussi engendr´ee par{[0,1],]1,2]}, donc aussi par la partition {[0,1],]1,2],]- ∞,0[?]2,+∞[}; elle poss`ede 2

3= 8 ´el´ements.

h.Supposons d"abord que la tribuP(R) deRest engendr´ee par une partitionAdont les classes d"´equivalence ne soient pas toutes des singletonsdeR. SoitA?Aune classe non r´eduite `a un singleton. La tribu engendr´ee parAest incluse dans la tribu engendr´ee par l"ensemble des parties deEcontenantA. Mais d"apr`es la question (c) de l"exercice (2), cette derni`ere est strictement incluse dansP(R). Ceci est contraire `a l"hypoth`ese. Donc la tribuP(R) ne peut ˆetre engendr´ee a priori que par la partition{{x}, x?R}. D"apr`es la question (a) de l"exercice (2), cette partitionn"engendre que la tribu des parties

qui sont au plus d´enombrables ou de compl´ementaire au plusd´enombrable ; or par exemple ni

l"intervalle [0,+∞[ ni son compl´ementaire ne sont d´enombrables. Donc la partition deRen singletons n"engendre pasP(R). Finalement, aucune partition deRn"engendre la tribuP(R). i.Supposons par l"absurde queEest une tribu (infinie) d´enombrable. D"apr`es la question (d) elle est engendr´ee par une partitionAet les partiesAdeEsont exactement les unions de classes A n?A. DoncEest en bijection avecP(A). De deux choses l"une : soit la partitionAest finie, auquel casEelle-mˆeme est finie ; soitAest infinie, auquel casEa au moins la puissance du continu. Ceci est en contradiction avec l"hypoth`ese.

5. Tribus et topologies.On rappelle qu"unetopologiesur un

ensembleEest une partie deP(E) qui contient∅etEet qui est stable par intersection finie et par union quelconque. Les ´el´ements d"une topologie sont les(ensembles) ouverts. a.Comparer les axiomes d´efinissant respectivement une tribuet une topologie.quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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