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Examens corrigés. François DE MARÇAY. Département de Mathématiques d'Orsay. Université Paris-Sud France. 1. Examen 1. Exercice 1.
Exercices corrigés
Université de Batna 2 Département de Mathématiques
Mesure et Intégration
ensembles mesurables et la fonction restreinte sera la mesure. Nous verrons Pour la premi`ere partie de la question intégrer par parties.
Exercices corrigés
Mesure et intégration. Année –. Exercices corrigés. Exercice # . Déterminer les bornes sup et inf des ensembles ci-dessous :.
Recueil des examens Mesures et Intégration
11 nov. 2014 ln. ( 1. 1 ? t. ) f(t)dt. Exercice 4. Soit (X s
Théorie de la mesure et intégration Université de Genève Printemps
Série 1 Correction (corrigée le 26/02/2020). Exercice 1. Correction : La fonction ? est une mesure si et seulement si X a au plus un élément. En e et.
Intégration Exercices et Corrigés
Intégration. Exercices et Corrigés avant de s'aider du corrigé. Je vous encourage `a choisir un exercice ... L'intégration par rapport `a une mesure.
Mesure et Intégration Examen Final – Corrigé 13 janvier 2014
13 jan. 2014 Mesure et Intégration. Examen Final – Corrigé. 13 janvier 2014 — durée 3 h. Notations. (a) ?n est la mesure de Lebesgue dans Rn.
Mesure et Intégration
comporte la matière de Mesure et Intégration. Les chapitres de ce polycopié se terminent par des exercices corrigés puisés dans.
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Le but de ce cours est d'introduire les notions de théorie de la mesure qui seront utiles en calcul des probabilités et en analyse.
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Examens corrigés François DE MARÇAY Département de Mathématiques d'Orsay Université Paris-Sud France 1 Examen 1 Exercice 1 [Inégalité de Tchebychev]
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11 nov 2014 · Université Mohammed V de Rabat Faculté des Sciences Département de Mathématiques Recueil des examens Mesures et Intégration
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Théorie de la mesure et intégration Université de Genève Printemps 2020 Section de Mathématiques Série 1 Correction (corrigée le 26/02/2020)
[PDF] Mesure et Intégration - Département de mathématiques et statistique
MESURE ET INT´EGRATION EN UNE DIMENSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004
[PDF] Exercices corrigés
Mesure et intégration Année – Exercices corrigés Exercice # Déterminer les bornes sup et inf des ensembles ci-dessous :
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13 jan 2014 · Mesure et Intégration Examen Final – Corrigé 13 janvier 2014 — durée 3 h Notations (a) ?n est la mesure de Lebesgue dans Rn
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Intégration par rapport `a une mesure image 28 8 Centre de masse 31 9 Noyaux probabilistes 32 Chapitre 3 Interversion de limites et d'intégrales
Examens corrigés de Théorie de la mesure et de lintégration
EXAMENS AVEC CORRIGES ET DES CONTROLES CONTINUES TRAVAUX DIRIGES DE MODULE INTEGRATION filière SMIA S5 PDF Mathématiques SMIA semestre 5 integration
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Université de Batna 2 Département de Mathématiques 3 Année Licence Mathématiques Mesure et Intégration Exercices corrigés Exercice 1
Universit
´e Mohammed V de Rabat
Facult
´e des Sciences
D´epartement de Math´ematiquesRecueild
AllalGhanmiM-SMA2019-2020
Université Mohammed V, Rabat2014-2015
Faculté des SciencesM28 - SMA 5
Département de MathématiquesMardi 11/11/2014EVALUATION 1 (Durée 1h30)Théorie des mesures et IntégrationQCM:*Pour chaque question, il y a une seule bonne réponse, cochez la parX.
Barème: réponse juste =+1/2 point ;réponse fausse = -1/2 point; pas de réponse=0 point.AbréviationARNJ: Aucune réponse n"est juste
Question 1:Soit (X,M) un espace mesurable etf:X¡!Rune application mesurable. Alors, ²fest continue²{x2X;f(x)È®}2M;8®2R²f(A) est ouvert;8A2M²ARNJQuestion 2:Soient An,A et B des parties mesurables d"un espace mesuré (X,M,¹). Alors,¹vérifie
Å1S
AEÅ1P
nAE0¹(An).²¹(B\A)AE¹(B)¡¹(A).²¹(B[A)AE¹(A)Ź(B) si B½cA.²ARNJQuestion 3:Soit (X,M,¹) un espace mesuré de mesure¾-finie et An2Mdeux à deux disjoints, alors,
Å1`
AEÅ1P
nAE0¹(An) avec¹(An)ÇÅ1 ²¹(X)ÇÅ1 ²9n0;¹(An0),¹(cAn0)2RŲARNJExercice 1Soit (X,A,¹) un espace mesuré tel que¹(X)AE1, etMAE©A2A;¹(A)AE0 ou¹(A)AE1ª.
Montrer queMest une tribu sur X.1pt
Exercice 2On admettra que la tribu de Borel surR, notéeB(R), est engendrée par {]a,Å1[ ;a2R}.
(1) Montrer queB(R) est engendrée par {]a,Å1[ ;a2Q}.1,5pt (2) Soient (X,M) un espace mesurable,f,g:(X,M)!(R,B(R)) deux applications mesurables. (a) Montrer que pour toutr2Q, on a l"égalité :1,5pt {x2X ;f(x)Åg(x)Èr}AE[ s2Q¡ {x2X ;f(x)Ès}\{x2X ;g(x)Èr¡s}¢. (b) En déduire quefÅgest mesurable.1,5pt Exercice 3Soient (X,M,¹) un espace mesuré et (An)n2Nune suite d"éléments deM.(1) On suppose, dans cette question, que pour tout entiern, AnµAnÅ1. Montrer que limn!1¹(An)AE¹µS
.1,5pt (2) On suppose que¹(X)ÇÅ1et que pour tout entiern,¹(An)AE¹(X). (a) Montrer que pour tout entiern,¹µX\µ
nTAE0.1,5pt
(b) En déduire que¹µTAE¹(X).1,5pt
(3) Donner un exemple d"un espace mesuré (X,M,¹) et d"une suite (An)n2Nd"éléments deMtelle que pour tout entiern,
(A n)AEÅ1et¹µTÇÅ1
.1ptExercice 4Soit (X;A;¹) un espace mesuré fini, et (An)n2Net (Bn)n2Ndeux suites d"éléments deA.
(1) Montrer que1,5pt n2NA n2NB n2N(An\Bn). (2) Dans cette question, on suppose de plus que B n½Anpour toutn2N. Montrer que1,5pt n2NA n2NB ·X n2N¡(An)¡¹(Bn)¢.Exercice 5Soit (X,A,¹) un espace mesuré etf:X¡!Rune application mesurable. On considère BAE©x2X;f(x)6AE0ªet
pour tout entiern2N, on note par Anl"ensemble AnAEf¡1([¡n,n]). (1) Montrer que si¹(X)6AE0, alors il existen02Ntel que¹(An0)6AE0.1,5pt (2) Vérifier que B2A.1,5pt(3) On suppose que¹(B)6AE0. Montrer qu"il existe A2Aet"È0 vérifiant¹(A)6AE0 etjf(x)j¸"pour toutx2A.1,5ptM-SMA
Universit
´e Mohammed V, Rabat2014-2015
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D´epartement de Math´ematiques Samedi 07/02/2015RATTRAPAGE - Th´eorie des mesures et Int´egration
(Dur´ee 1h30)N.B.:L"´etudiant doit r´epondre aux questions de cours et doit traiter obligatoirement les exercices 1 et 2 ainsi que l"un des
exercices 3 o`u 4.Questions de cours:Rappeler avec pr´ecision l"ennoc´e du
(1) Th´eor`eme de convergence monotone.1pt
(2) Th´eor`eme de convergence domin´ee.1pt
(3) Th´eor`eme de Fubini.1pt
Exercice 1
Pourx2Ron pose
f(x) =Z0et2cos(tx)dt.
(1) Montrer quefest de classeC1surR.2pt (2) Montrer quefv´erifie l"´equation diff´erentielle 2y0+xy=0.2pt (3) En d´eduire une expression explicite def.2pt
Exercice 2Soit(X,A,m)un espace mesur´e eth:E![0,+¥]une application mesurable. Pour toutA2A, on pose
n(A) =Z A hdm. (1) Montrer quenest une mesure sur(X,A).2pt (2) SoitA2Atel quem(A) =0. Montrer quen(A) =0.2pt (3) Soitf:X!Rune fonction mesurable. Montrer quefestn-int´egrable si et seulement sifhest m-int´egrable et que dans ce cas on a:3pt Z X fdn=Z X fhdm.Exercice 3Soit(X,A,m)un espace mesur´e. (1) Soit(fn)n0une suite de fonctions int´egrables deXdansR. Montrer que2pt n0 Z X jfnjdm n0 Z X fndm =Z Xå n0f n dm. (2) On se place dans le cas([0,1],B([0,1]),l). Montrer que sif2 L2R([0,1],l), alors2pt n11n Z [0,1]tnf(t)dt =Z [0,1]ln11t f(t)dt.Exercice 4Soit(X,A,m)un espace mesur´e. (1) On se donne deux fonctions mesurablesfetgdeXdansR +telles quefg1. Montrer que2pt Z X fdm Z X gdm (m(X))2. (2) On suppose qu"il existe une fonction int ´egrablef:X!Rtelle que 1/fsoit int´egrable. Montrer que la mesuremest finie.2ptM-SMAUniversit
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D ´epartement de Math´ematiquesCF - ExceptionnelTh´eorie des mesures et Int´egration
(Dur´ee 1h30)Questions de cours:Rappeler avec pr´ecision l"ennoc´e du
(1) Th´eor`eme de convergence monotone.1pt
(2) Th´eor`eme de convergence domin´ee.1pt
(3) Th´eor`eme de Fubini.1pt
Exercice 1
Pourx2Ron pose
f(x) =Z0et2cos(tx)dt.
(1) Montrer quefest de classeC1surR.2pt (2) Montrer quefv´erifie l"´equation diff´erentielle 2y0+xy=0.2pt (3) En d´eduire une expression explicite def.2pt
Exercice 2Soit(X,A,m)un espace mesur´e eth:E![0,+¥]une application mesurable.Pour toutA2A, on pose
n(A) =Z A hdm. (1) Montrer quenest une mesure sur(X,A).2pt (2) SoitA2Atel quem(A) =0. Montrer quen(A) =0.2pt (3) Soitf:X!Rune fonction mesurable. Montrer quefestn-int´egrable si et seulement sifh estm-int´egrable et que dans ce cas on a:3pt Z X fdn=Z X fhdm.Exercice 3Soit(X,A,m)un espace mesur´e. (1) Soit(fn)n0une suite de fonctions int´egrables deXdansR. Montrer que2pt n0 Z X jfnjdm n0 Z X fndm =Z Xå n0f n dm. (2) On se place dans le cas([0,1],B([0,1]),l). Montrer que sif2 L2R([0,1],l), alors2pt n11n Z [0,1]tnf(t)dt =Z [0,1]ln11t f(t)dt.M-SMAUniversité Mohammed V, Rabat2015-2016
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Département de MathématiquesLundi 23/11/2015EVALUATION 1 (Durée 1h30) Théorie des mesures et IntégrationQuestions de cours : (1) Donner avec précision l"énnoncé des théorèmes suivants : (a) Théorème d"approximation d"une fonction mesurable positive.1/2pt (b) Théorème de la continuité monotone d"une mesure positive.1/2pt (c) Théorème de prolongement d"une mesure sur une algèbre.1/2pt (2) Donner un exemple de deux mesured¾-finies, mais qui ne sont pas finies.1/2pt Exercice 1Soit (X,M) un espace mesurable etf:X¡!Rune fonction mesurable. On définit la tranca- f n(x):AE8 :nsif(x)Èn f(x) sijf(x)j·n nsif(x)Ç¡n. (1) Tracer les graphes def2,f3etf7dans le même repère pourf(x)AEx2et XAER.1pt (2) Montrer que lesfnsont des fonctions mesurables de X dansR.1pt (3) Montrer que lim n!Å1fn(x)AEf(x) pour toutx2R.2ptExercice 2Soitf:R¡!Rune application borélienne etaun nombre réel fixé. Montrer que les appli-
cationsgethdéfinies parg(x):AEf(xÅa) eth(x):AEf(¡x) sont des applications boréliennes deRdansR.2pt
Exercice 3Soit (X,M) un espace mesurable etf:X¡!Cune fonction mesurable. Montrer qu"il existe une fonction mesurableh:X¡!Cvérifiantjhj´1 et telle quefAEhjfj.2ptIndication :On pourra considérer la fonction f(x)ÅÂE(x)avecE:AEf¡1({0}).]Exercice 4 :Une partie A deRest dite symétrique si¡x2A pour toutx2A. On note parSl"ensemble
des parties symétriques deR. (1) Montrer queSest une tribu surR.1pt (2) Montrer qu"une applicationf:R¡!Rest (S,P(R))-mesurable si, et seulement sifest une fonction paire.1pt (3) Trouver la plus petite tribuMsurRrendant l"applicationx7¡!x2, deRdansR, (M,B(R))- mesurable.2ptExercice 5Soitfune fonction mesurable positive sur un espace mesuré (X,M,¹) et considérons l"en-
sembleFf:AEnÃ2EÅ;÷fo
(1) Soit"nune suite croissante dansEÅconvergeant versf. Montrer que3pt sup 2F"nZ d¹·sup 2 F fZ d¹. (2) Montrer que3pt Z f d¹AEsup 2 F fZ d¹.M-SMAUniversité Mohammed V, Rabat2015-2016
Faculté des SciencesM28 - SMA 5
Département de MathématiquesLundi 28/12/2015Contrôle final (Durée 1h30)Théorie des mesures et IntégrationLa correction tiendra compte de la présentation et de la précision des réponses.
Questions de cours :Donner avec précision l"énnoncé du : (1) Théorème de la continuité monotone d"une mesure positive.1pt (2) Théorème de la convergence Monotone.1pt (3) Théorème de la convergence Dominée.1pt Exercice 1Soit (X,M) un espace mesurable etf:X¡!Rune fonction mesurable. On définit f n(x):AE8 :nsif(x)Èn f(x) sijf(x)j·n nsif(x)Ç¡n. (1) Tracer les graphes def1,f3etf5dans le même repère pourf(x)AEexet XAER.1pt (2) Vérifier que1pt f en déduire que lesfnsont des fonctions mesurables de X dansR.1pt (3) Calculer lim n!Å1fnsur X.1pt Exercice 2Pourtoutefonctionmesurablepositivefsurunespacemesuré(X,M,¹),onconsi- dére l"ensembleFf:AEnÃ2EÅ;÷fo
(1) Montrer que pour toute suite croissante ( n)ndansEÅconvergeant versf, on aF'n½ F f. En déduire que2ptZ f d¹·sup 2 F fZ d¹. (2) Montrer que2ptZ f d¹¸sup 2 F fZ d¹. (3) Conclure.1ptExercice 3Soitfla fonction définie par
f(x)AEZ Å10(1¡cos(t))e¡txt
dt;t2]0,Å1[. (1) Montrer quefest dérivable sur ]0,Å1[.2pt (2) Calculer explicitement sa dérivée.2pt (3) Calculer la limite def(x) quandx!Å1.2pt (4) En déduire la valeur def(x).2ptM-SMAUniversité Mohammed V, Rabat2015-2016
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Département de MathématiquesLundi 14/01/2016Théorie des mesures et Intégration Rattrapage (Durée 1h30)La correction tiendra compte de la précision des réponses. Un point est reservé à la présentation de la copie.Exercice 1Soit (fn)nune suite décroissante de fonctions mesurables positives qui converge¹-p.p. vers
une fonctionfd"un espace mesuré (X;M;¹). Montrer que s"il existen0tel queRXfn0d¹ÇÅ1, alors3pt
lim n!Å1Z X fnd¹AEZ X f d¹.Exercice 2Pourx2Ron pose f(x)AEZquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14[PDF] matrice de variance et covariance exercice corrigé
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