[PDF] Recueil des examens Mesures et Intégration

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´e Mohammed V de Rabat

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´e des Sciences

D

´epartement de Math´ematiquesRecueild

Allal

GhanmiM-SMA2019-2020

Université Mohammed V, Rabat2014-2015

Faculté des SciencesM28 - SMA 5

Département de MathématiquesMardi 11/11/2014EVALUATION 1 (Durée 1h30)

Théorie des mesures et IntégrationQCM:*Pour chaque question, il y a une seule bonne réponse, cochez la parX.

Barème: réponse juste =+1/2 point ;réponse fausse = -1/2 point; pas de réponse=0 point.

AbréviationARNJ: Aucune réponse n"est juste

Question 1:Soit (X,M) un espace mesurable etf:X¡!Rune application mesurable. Alors, ²fest continue²{x2X;f(x)È®}2M;8®2R²f(A) est ouvert;8A2M²ARNJ

Question 2:Soient An,A et B des parties mesurables d"un espace mesuré (X,M,¹). Alors,¹vérifie

Å1S

AEÅ1P

nAE0¹(An).²¹(B\A)AE¹(B)¡¹(A).²¹(B[A)AE¹(A)Ź(B) si B½cA.²ARNJ

Question 3:Soit (X,M,¹) un espace mesuré de mesure¾-finie et An2Mdeux à deux disjoints, alors,

Å1`

AEÅ1P

nAE0¹(An) avec¹(An)ÇÅ1 ²¹(X)ÇÅ1 ²9n0;¹(An0),¹(cAn0)2RŲARNJ

Exercice 1Soit (X,A,¹) un espace mesuré tel que¹(X)AE1, etMAE©A2A;¹(A)AE0 ou¹(A)AE1ª.

Montrer queMest une tribu sur X.1pt

Exercice 2On admettra que la tribu de Borel surR, notéeB(R), est engendrée par {]a,Å1[ ;a2R}.

(1) Montrer queB(R) est engendrée par {]a,Å1[ ;a2Q}.1,5pt (2) Soient (X,M) un espace mesurable,f,g:(X,M)!(R,B(R)) deux applications mesurables. (a) Montrer que pour toutr2Q, on a l"égalité :1,5pt {x2X ;f(x)Åg(x)Èr}AE[ s2Q¡ {x2X ;f(x)Ès}\{x2X ;g(x)Èr¡s}¢. (b) En déduire quefÅgest mesurable.1,5pt Exercice 3Soient (X,M,¹) un espace mesuré et (An)n2Nune suite d"éléments deM.

(1) On suppose, dans cette question, que pour tout entiern, AnµAnÅ1. Montrer que limn!1¹(An)AE¹µS

.1,5pt (2) On suppose que¹(X)ÇÅ1et que pour tout entiern,¹(An)AE¹(X). (a) Montrer que pour tout entiern,¹µ

X\µ

nT

AE0.1,5pt

(b) En déduire que¹µT

AE¹(X).1,5pt

(3) Donner un exemple d"un espace mesuré (X,M,¹) et d"une suite (An)n2Nd"éléments deMtelle que pour tout entiern,

(A n)AEÅ1et¹µT

ÇÅ1

.1pt

Exercice 4Soit (X;A;¹) un espace mesuré fini, et (An)n2Net (Bn)n2Ndeux suites d"éléments deA.

(1) Montrer que1,5pt n2NA n2NB n2N(An\Bn). (2) Dans cette question, on suppose de plus que B n½Anpour toutn2N. Montrer que1,5pt n2NA n2NB ·X n2N¡

(An)¡¹(Bn)¢.Exercice 5Soit (X,A,¹) un espace mesuré etf:X¡!Rune application mesurable. On considère BAE©x2X;f(x)6AE0ªet

pour tout entiern2N, on note par Anl"ensemble AnAEf¡1([¡n,n]). (1) Montrer que si¹(X)6AE0, alors il existen02Ntel que¹(An0)6AE0.1,5pt (2) Vérifier que B2A.1,5pt

(3) On suppose que¹(B)6AE0. Montrer qu"il existe A2Aet"È0 vérifiant¹(A)6AE0 etjf(x)j¸"pour toutx2A.1,5ptM-SMA

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´epartement de Math´ematiques Samedi 07/02/2015RATTRAPAGE - Th´eorie des mesures et Int´egration

(Dur´ee 1h30)N.B.:L"´etudiant doit r´epondre aux questions de cours et doit traiter obligatoirement les exercices 1 et 2 ainsi que l"un des

exercices 3 o`u 4.Questions de cours:Rappeler avec pr

´ecision l"ennoc´e du

(1) Th

´eor`eme de convergence monotone.1pt

(2) Th

´eor`eme de convergence domin´ee.1pt

(3) Th

´eor`eme de Fubini.1pt

Exercice 1

Pourx2Ron pose

f(x) =Z

0et2cos(tx)dt.

(1) Montrer quefest de classeC1surR.2pt (2) Montrer quefv´erifie l"´equation diff´erentielle 2y0+xy=0.2pt (3) En d

´eduire une expression explicite def.2pt

Exercice 2Soit(X,A,m)un espace mesur´e eth:E![0,+¥]une application mesurable. Pour tout

A2A, on pose

n(A) =Z A hdm. (1) Montrer quenest une mesure sur(X,A).2pt (2) SoitA2Atel quem(A) =0. Montrer quen(A) =0.2pt (3) Soitf:X!Rune fonction mesurable. Montrer quefestn-int´egrable si et seulement sifhest m-int´egrable et que dans ce cas on a:3pt Z X fdn=Z X fhdm.Exercice 3Soit(X,A,m)un espace mesur´e. (1) Soit(fn)n0une suite de fonctions int´egrables deXdansR. Montrer que2pt n0 Z X jfnjdm n0 Z X fndm =Z Xå n0f n dm. (2) On se place dans le cas([0,1],B([0,1]),l). Montrer que sif2 L2R([0,1],l), alors2pt n11n Z [0,1]tnf(t)dt =Z [0,1]ln11t f(t)dt.Exercice 4Soit(X,A,m)un espace mesur´e. (1) On se donne deux fonctions mesurablesfetgdeXdansR +telles quefg1. Montrer que2pt Z X fdm Z X gdm (m(X))2. (2) On suppose qu"il existe une fonction int ´egrablef:X!Rtelle que 1/fsoit int´egrable. Montrer que la mesuremest finie.2ptM-SMA

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´e des SciencesM28 - SMA 5

D ´epartement de Math´ematiquesCF - Exceptionnel

Th´eorie des mesures et Int´egration

(Dur´ee 1h30)Questions de cours:Rappeler avec pr

´ecision l"ennoc´e du

(1) Th

´eor`eme de convergence monotone.1pt

(2) Th

´eor`eme de convergence domin´ee.1pt

(3) Th

´eor`eme de Fubini.1pt

Exercice 1

Pourx2Ron pose

f(x) =Z

0et2cos(tx)dt.

(1) Montrer quefest de classeC1surR.2pt (2) Montrer quefv´erifie l"´equation diff´erentielle 2y0+xy=0.2pt (3) En d

´eduire une expression explicite def.2pt

Exercice 2Soit(X,A,m)un espace mesur´e eth:E![0,+¥]une application mesurable.

Pour toutA2A, on pose

n(A) =Z A hdm. (1) Montrer quenest une mesure sur(X,A).2pt (2) SoitA2Atel quem(A) =0. Montrer quen(A) =0.2pt (3) Soitf:X!Rune fonction mesurable. Montrer quefestn-int´egrable si et seulement sifh estm-int´egrable et que dans ce cas on a:3pt Z X fdn=Z X fhdm.Exercice 3Soit(X,A,m)un espace mesur´e. (1) Soit(fn)n0une suite de fonctions int´egrables deXdansR. Montrer que2pt n0 Z X jfnjdm n0 Z X fndm =Z Xå n0f n dm. (2) On se place dans le cas([0,1],B([0,1]),l). Montrer que sif2 L2R([0,1],l), alors2pt n11n Z [0,1]tnf(t)dt =Z [0,1]ln11t f(t)dt.M-SMA

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Faculté des SciencesM28 - SMA 5

Département de MathématiquesLundi 23/11/2015EVALUATION 1 (Durée 1h30) Théorie des mesures et IntégrationQuestions de cours : (1) Donner avec précision l"énnoncé des théorèmes suivants : (a) Théorème d"approximation d"une fonction mesurable positive.1/2pt (b) Théorème de la continuité monotone d"une mesure positive.1/2pt (c) Théorème de prolongement d"une mesure sur une algèbre.1/2pt (2) Donner un exemple de deux mesured¾-finies, mais qui ne sont pas finies.1/2pt Exercice 1Soit (X,M) un espace mesurable etf:X¡!Rune fonction mesurable. On définit la tranca- f n(x):AE8 :nsif(x)Èn f(x) sijf(x)j·n nsif(x)Ç¡n. (1) Tracer les graphes def2,f3etf7dans le même repère pourf(x)AEx2et XAER.1pt (2) Montrer que lesfnsont des fonctions mesurables de X dansR.1pt (3) Montrer que lim n!Å1fn(x)AEf(x) pour toutx2R.2pt

Exercice 2Soitf:R¡!Rune application borélienne etaun nombre réel fixé. Montrer que les appli-

cationsgethdéfinies parg(x):AEf(xÅa) eth(x):AEf(¡x) sont des applications boréliennes deRdansR.2pt

Exercice 3Soit (X,M) un espace mesurable etf:X¡!Cune fonction mesurable. Montrer qu"il existe une fonction mesurableh:X¡!Cvérifiantjhj´1 et telle quefAEhjfj.2pt

Indication :On pourra considérer la fonction f(x)ÅÂE(x)avecE:AEf¡1({0}).]Exercice 4 :Une partie A deRest dite symétrique si¡x2A pour toutx2A. On note parSl"ensemble

des parties symétriques deR. (1) Montrer queSest une tribu surR.1pt (2) Montrer qu"une applicationf:R¡!Rest (S,P(R))-mesurable si, et seulement sifest une fonction paire.1pt (3) Trouver la plus petite tribuMsurRrendant l"applicationx7¡!x2, deRdansR, (M,B(R))- mesurable.2pt

Exercice 5Soitfune fonction mesurable positive sur un espace mesuré (X,M,¹) et considérons l"en-

sembleFf:AEn

Ã2EÅ;÷fo

(1) Soit"nune suite croissante dansEÅconvergeant versf. Montrer que3pt sup 2F"nZ d¹·sup 2 F fZ d¹. (2) Montrer que3pt Z f d¹AEsup 2 F fZ d¹.M-SMA

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Département de MathématiquesLundi 28/12/2015Contrôle final (Durée 1h30)

Théorie des mesures et IntégrationLa correction tiendra compte de la présentation et de la précision des réponses.

Questions de cours :Donner avec précision l"énnoncé du : (1) Théorème de la continuité monotone d"une mesure positive.1pt (2) Théorème de la convergence Monotone.1pt (3) Théorème de la convergence Dominée.1pt Exercice 1Soit (X,M) un espace mesurable etf:X¡!Rune fonction mesurable. On définit f n(x):AE8 :nsif(x)Èn f(x) sijf(x)j·n nsif(x)Ç¡n. (1) Tracer les graphes def1,f3etf5dans le même repère pourf(x)AEexet XAER.1pt (2) Vérifier que1pt f en déduire que lesfnsont des fonctions mesurables de X dansR.1pt (3) Calculer lim n!Å1fnsur X.1pt Exercice 2Pourtoutefonctionmesurablepositivefsurunespacemesuré(X,M,¹),onconsi- dére l"ensembleFf:AEn

Ã2EÅ;÷fo

(1) Montrer que pour toute suite croissante ( n)ndansEÅconvergeant versf, on aF'n½ F f. En déduire que2ptZ f d¹·sup 2 F fZ d¹. (2) Montrer que2ptZ f d¹¸sup 2 F fZ d¹. (3) Conclure.1pt

Exercice 3Soitfla fonction définie par

f(x)AEZ Å1

0(1¡cos(t))e¡txt

dt;t2]0,Å1[. (1) Montrer quefest dérivable sur ]0,Å1[.2pt (2) Calculer explicitement sa dérivée.2pt (3) Calculer la limite def(x) quandx!Å1.2pt (4) En déduire la valeur def(x).2ptM-SMA

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Département de MathématiquesLundi 14/01/2016Théorie des mesures et Intégration Rattrapage (Durée 1h30)La correction tiendra compte de la précision des réponses. Un point est reservé à la présentation de la copie.

Exercice 1Soit (fn)nune suite décroissante de fonctions mesurables positives qui converge¹-p.p. vers

une fonctionfd"un espace mesuré (X;M;¹). Montrer que s"il existen0tel queR

Xfn0d¹ÇÅ1, alors3pt

lim n!Å1Z X fnd¹AEZ X f d¹.Exercice 2Pourx2Ron pose f(x)AEZquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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