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Générateurs de scénarios économiques (GSE) en assurance

en assurancePrésentation, illustration et utilisation des modèles(version 1.3)Intervention du 17 octobre 2012

1

CARITAT

Octobre 2012

Frédéric Planchet Actuaire Associé

fplanchet@winter-associes.fr

Aymric Kamega Actuaire

akamega@winter-associes.fr Un scénario économique correspond à une projection sur un horizon d'intérêt de grandeurs économiques et financières : taux d'intérêt, prix des actions,etc.

Introduction

Une réflexion sur la projection des actifs est indispensable pour le pilotage technique d'un organisme assureur (pour obtenir des projections des valeurs des actifs et des passifs du bilan, définir les conditions dedésinvestissement et de réinvestissement futurs, définir l'allocation stratégique d'actifs optimale, piloter des engagements longs - retraite -,etc.). En particulier, dans le contexte IFRS et Solvabilité 2, il est nécessaire de retenir des modèles d'actifs cohérents et intégrant les contraintes de base suivantes :

2CARITATOctobre 2012

• ne pas sous-estimer les rendements défavorables (pour le calcul du SCR) ; • disposer simplement des visions historique et risque-neutre ; • intégrer l'inflation ; • intégrer les fluctuations de court terme sur la valeur des actifs ; • être cohérent avec les contraintes économiques de long terme ; • intégrer la dépendance entre actifs,etc. Les modèles d'actifs utilisés peuvent être répartis en deuxcatégories :• les modèles composites (description ad'hoc de chaque classe d'actifs avant

Introduction

les modèles composites (description ad'hoc de chaque classe d'actifs avant de les agréger pour proposer une description globale de l'actif) ; • les modèles intégrés (description structurée de plusieurs classes d'actifs à partir d'une variable explicative de référence). Les paramètres qui alimentent un modèle d'actifs peuvent être choisis de trois manières différentes (sans que ces approches soient exclusives) :

3CARITATOctobre 2012

• par une approche statistique à partir d'un historique de données ; • en cherchant à minimiser l'écart quadratique entre les prix issus du modèle et ceux observés sur le marché ; • par une approche " à dire d'expert ».

1. Risques financiers et modèles

composites : présentations

2. Modèle intégré : présentations

SOMMAIRE

GSE en assurance

3. Mise en oeuvre GSE :

préparation

4. Mise en oeuvre GSE : exemple

avec le modèle d'Ahlgrim5.

Utilisation GSE : probabilités

4CARITATOctobre 2012

5. Utilisation GSE : probabilités réelles et risque neutre

1.1. Risque action

Présentation

:pourquoi les marchés d'actions sont -ils volatiles

1. Risques financiers et modèles composites

Présentation

:pourquoi les marchés d'actions sont -ils volatiles Le cours d'une société cotée est sensé refléter sa " valeur fondamentale » (somme de ses revenus futurs actualisés), telle qu'elle peut ressortir d'une analyse économique de l'activité de l'entreprise et de ses perspectives. Les écarts entre la valeur fondamentale et la capitalisation boursière d'une

société sont en général interprétés comme la conséquence decomportementsspéculatifs

qui auraient pour conséquence de créer un décalage entre

5CARITATOctobre 2012

spéculatifs qui auraient pour conséquence de créer un décalage entre l'" économie réelle » et le monde de la finance. Cette dichotomie entre d'une part une analyse économique objective et d'autre part un comportement largement irrationnel des marchés boursiers peut être dépassée au prix d'une réflexion sur la nature de l'aléa sous-jacent à la détermination de la valeur (cf. par exemple distribution de Pareto).

1.1. Risque action

Modèles

classiques

1. Risques financiers et modèles composites

Modèles

classiques Les modèles classiques de valorisation financière d'actifs de type " actions » se sont développés avec l'hypothèse sous-jacente de rendements gaussiens (le modèle de Black et Scholes en est devenu l'archétype). De nombreuses études empiriques montrent que les prix observés sur les marchés ont des comportements très éloignés de l'hypothèsede rendementsgaussiens (cf.Mandelbrot [2005

6CARITATOctobre 2012

gaussiens (cf.Mandelbrot [2005 Le défaut majeur de l'hypothèse gaussienne est de sous-estimer très sensiblement les variations de grande amplitude du rendement. Un modèle prétendant à un certain réalisme ne saurait donc faire l'économie d'une prise en compte du caractère non gaussien des rendements de l'actif.

1.1. Risque action

Modèles

classiques

1. Risques financiers et modèles composites

Modèles

classiques

Black et Scholes [1973] :

Merton [1976] : avecPprocessus de Poisson.Heston

[1993 avec

µ σdS tdt dB t

S t= +

1 dS t dt V t dB t S t ( ) ( )µ λ σdS t k dt dB t dP

S t= - + +

2 dV t a V t dt b V t dB t

7CARITATOctobre 2012

Heston

[1993 avec

Hardy [2001] : avec

1

µdt V t dB t

S t t t t dS t dt dB t

S t= +

1 Pr

ρ|ρ, 1,2, 1,2

ij t tp j i i j 2 dV t a V t dt b V t dB t

1.2. Risque de taux

Présentation

générale

1. Risques financiers et modèles composites

Présentation

générale Contrairement aux actions, pour les produits de taux ce sontdes variables d'état déterminant la structure des taux qui sont modélisées. En effet, le prix d'une obligation passe par la modélisationde la courbe des taux, de laquelle on déduit le prix des zéro-coupons. Le prixd'un titre obligataire quelconque est ensuite obtenu comme combinaison linéaire de zéro-coupons.Ainsi, on a(où P( t,T )est le prix

àla

date tdu zéro -coupon de maturité T):

8CARITATOctobre 2012

Ainsi,

on a(où P( t,T )est le prix

àla

date tdu zéro -coupon de maturité T): avec 1

γ0, 0,T

i

O T N P i P T

0

0, exp

t

P t E r u du

1.2. Risque de taux

Courbes

des taux

1. Risques financiers et modèles composites

Courbes

des taux

On peut retenir deux types de courbes des taux :

• la courbe des taux des emprunts d'État : construite à partirdes obligations émises par l'État (OAT, BTAN et BTF en France). Elle constitue la courbe des taux sans risque dans les pays du G7, les États de ces pays étant censés ne jamais faire défaut. Ils disposent en principe de la meilleure notation possible des agences de notation

9CARITATOctobre 2012

des agences de notation • la courbe des taux swaps (courbe interbancaire) : intègrea prioriune prime de risque puisque le rating moyen des banques se situe généralement entre

A et AA pour S&P et entre A1 et Aa1 pour Moody's.

1.2. Risque de taux

Type de modèle

1. Risques financiers et modèles composites

Type de modèle Les modèles d'évaluation de la structure temporelle des taux d'intérêt sont nombreux mais peuvent toutefois être classés en trois catégories :

• modèles d'équilibre partiel (modèle de Vasicek, etc.) ou d'équilibre général

(modèle de Cox, Ingersoll et Ross,etc.) ;• modèles fondés sur l'absence d'arbitrage (modèle de Hull et White -Vasicek

10CARITATOctobre 2012

modèles fondés sur l'absence d'arbitrage (modèle de Hull et White -Vasicek généralisé -,etc.) ; • modèles fondés sur la dynamique des taux forward (modèles issus de l'approche Heath, Jarrow et Morton,etc.).

1.2. Risque de taux

Modèles

mono -factoriels d'équilibre partiel

1. Risques financiers et modèles composites

Modèles

mono -factoriels d'équilibre partiel Les modèles d'équilibre s'appuient sur un ensemble d'hypothèses concernant certaines variables économiques pour en déduire le comportement du taux court. À la différence du cours des actions, le taux d'intérêt semble poussé, au cours du temps, à revenir vers une moyenne de long terme lorsqu'il s'en éloigne :quand r(t) est

élevé,

la tendance est

àla

baisse, et vice versa

11CARITATOctobre 2012

quand r(t) est

élevé,

la tendance est

àla

baisse, et vice versa Ce comportement s'explique par des arguments macroéconomiques : quand les taux sont élevés, l'économie tend à ralentir, la demande de fonds des emprunteurs est faible et les taux diminuent (et vice versa). Le modèle classique dans ce domaine est celui de Vasicek : t dr a b r dt dW

1.2. Risque de taux

Modèles

mono -factoriels d'équilibre général

1. Risques financiers et modèles composites

Modèles

mono -factoriels d'équilibre général Dans le modèle de Vasicek, le taux court peut devenir négatifcar l'écart-type instantané ne dépend pas du niveau atteint parr(t). À partir d'un modèle d'équilibre général, Cox, Ingersoll etRoss obtiennent une dynamique régissantr(t),tel que le taux court n'est jamais négatif.Ce modèle s'écrit t dr a b r dt r dW

12CARITATOctobre 2012

Ce modèle s'écrit On note que l'écart-type instantané est proportionnel à la racine carré du taux court. Ainsi, lorsque le taux court diminue, l'écart-type fait de même. En outre, lorsque ce taux est nul, il reste une tendance positive égaleàabdt, sans terme stochastique, et le taux repart vers des valeurs positives. t dr a b r dt r dW

1.2. Risque de taux

Modèles

mono -factoriels fondés sur l'absence d'arbitrage

1. Risques financiers et modèles composites

Modèles

mono -factoriels fondés sur l'absence d'arbitrage L'inconvénient des modèles ci-avant est que la courbe initiale des taux est un output qui ne s'ajuste pas automatiquement à celle observéeen date courante. Un modèle fondé sur l'absence d'opportunité d'arbitrage (AOA) est construit de façon à être cohérent avec la structure par termes observée aujourd'hui (un tel modèle prend la structure initiale comme input, et non commeoutput).Hull et White ont ainsi généralisé le modèle de

Vasicek

afin de le rendre

13CARITATOctobre 2012

Hull et White ont ainsi généralisé le modèle de

Vasicek

afin de le rendre compatible avec la courbe des taux actuelle : Un autre exemple classique de modèle fondé sur l'AOA est le modèle de Black et Karasinski (modèle qui par ailleurs ne permet pas aux tauxd'intérêt de devenir négatifs) : t t dr k t ar dt dW ln lnσ t t d r k t a r dt dW

1.2. Risque de taux

Modèles

multifactoriels

1. Risques financiers et modèles composites

Modèles

multifactoriels Les modèles présentés ci-dessus sont des modèles à un facteur, ie qu'un seul facteur est à l'origine de l'évolution de l'ensemble de la courbe des taux. Leur principale limite est qu'ils impliquent que les taux évoluent de façon parfaitement corrélée pour toutes les maturités (toute la courbe des taux étant déterminée par le seul taux courtr), ce qui n'est pas le cas en pratique.

14CARITATOctobre 2012

Parmi les modèles multifactoriels, on trouve le modèle de Hull et White à deux facteurs, basé sur une spécification de la dynamique du tauxcourt (notér t) et du taux long (notél t), qui reprend l'approche de retour à la moyenne du modèle classique de Vasicek : t r t t r r tt l l t l l tdr l r dt dBdl l dt dB

1.2. Risque de taux

Modèles

fondés sur l'absence d'arbitrage et la dynamique des taux forward

1. Risques financiers et modèles composites

Modèles

fondésquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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