Absence dopportunité darbitrage et probabilité risque neutre
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Absence d'opportunité d'arbitrage et mesure risque neutre . . . . 16. 1.1. (AOA) implique (AOAt) . 6 AOA et évaluation d'options dans un modèle d'Itô.
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d'absence d'opportunité d'arbitrage (AOA) et les modèles d'équilibre général. Ces modèles 1 ou taux actuariel est le taux de rendement interne de.
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suffisante simple d'absence d'opportunité d'arbitrage (AOA) qui est la positivité de tous les taux à terme (cf. HULL [1999]). Cette hypothèse d'absence
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Diapositive 1
10 oct. 2014 Un taux d'intérêt peut s'interpréter comme le prix de l'argent ... L'absence d'opportunité d'arbitrage (AOA) impose que : d<1+r<u.
Bruno Bouchard
1Université Paris-Dauphine, Ceremade,
et Ensae, Crest.Cette version : Novembre 2010
2 1 bouchard@ceremade.dauphine.fr, http://www.ceremade.dauphine.fr/ebouchard/2Première version : Juillet 2006.
1Introduction et notations
Ces notes de cours ont pour objectif de présenter la théorie de l"évaluation par absence d"opportunité d"arbitrage. Nous avons essayé de travailler dans un cadre général, à la fois en temps discret et en temps continu, tout en restant à la porté d"un étudiant de M1 ou M2 ayant au préalable suivi un cours de calcul stochastique et ayant des connaissances solides en probabilités. La première partie porte sur les marchés en temps discret. Bien que celle-ci soit d"un intérêt pratique limité, sauf en ce qui concerne le modèle de Cox-Ross- Rubinstein qui sert couramment d"approximation au modèle en temps continu de Black et Scholes, elle permet d"introduire les notions importantes dans un cadre technique abordable par un étudiant de M1. Dans cette partie, on se place sur un espace de probabilité général. La seconde partie porte sur les marchés financiers en temps continu. On se restreint à un espace de type Brownien dans lequel les prix sont modélisés par des processus d"Itô. La lecture du livre [28], qui propose un traitement du même sujet dans un cadre plus restrictif, peut venir en complément de ces notes, notamment comme introduction au calcul stochastique. N"étant évidemment pas possible de traiter tous les modèles couramment utili- sés en finance de marché, nous renvoyons le lecteur intéressé à [25] et [31] pour l"étude détaillée de nombreuses applications concrètes. Nous renvoyons égale- ment à l"excellent ouvrage [33] qui fait très bien le lien entre mathématiques et techniques de couverture (mais est moins complet). Notations générales :Afin d"alléger au maximum la rédaction, nous listons ici un certain nombres de notations qui seront utilisées tout au long de ce document. Tout élémentx= (xi)iddeRdsera identifié à un vecteur colonne de norme 2 euclydiennekxk. On noteRd+:= [0;1)d,Mdl"ensemble des matricesddet M d+lorsque les composantes sont positives. La matrice diag[x]est l"élément de M ddont lai-ème composante diagonale estxi. La trace deM2Mdest noté Trace[M],kMkdésigne sa norme euclydienne comme élément deRd2etM0sa transposée. On travaillera toujours sur un espace de probabilité( ;F;P)muni d"une fil- trationF= (Ft)tTsatisfaisant les conditions habituelles avecF0triviale. Ici Tdésignera l"ensemblef0;:::;Tgou[0;T],T >0, selon que l"on travaille en temps discret ou en temps continu. On désignera toujours parWun mouve- ment browniend-dimensionnel. Pour~PP, un sous-ensembleEdeRdouMd etG F, on noteLp(E; ;G;~P)l"espace des variables aléatoiresG-mesurables, admettant un moment d"ordrep0pour~P, à valeurs dansE. La norme asso- ciée est notéek kLp(~P). Le casp=1correspond aux variables essentiellement bornées, le casp= 0correspond aux variables aléatoiresG-mesurables. On omettra l"un des arguments s"il est clairement identifié par le contexte. On uti- lisera aussi la notationL0bpour désigner l"ensemble des variables aléatoires de L0dont la partie négative appartientL1.
Pour une fonction régulière':(t;x)2[0;T]Rd7!'(t;x), on noterx'et r2x'sa jacobienne et sa hessienne par rapport àx.
3Table des matières
A. Marchés financiers en temps discret 12
1 Modélisation mathématique 13
1 Les actifs financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Cadre probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Actif sans risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Actifs risqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Stratégies financières et portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Théorèmes fondamentaux 16
1 Absence d"opportunité d"arbitrage et mesure risque neutre . . . . 16
1.1 (AOA) implique (AOA
t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Propriété de fermeture sous (AOA
t) . . . . . . . . . . . . 181.3 Existence d"une mesure martingale sous((AOA)t)t 1.4 Absence d"arbitrage sousM(~S)6=;. . . . . . . . . . . . 22
2 Couverture des options européennes . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Marchés complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Extensions à certains marchés imparfaits . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1 Contraintes de portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Information imparfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Coûts de transaction proportionnels (exercice) . . . . . . . 33
4.4 Coûts de transaction fixes (exercice) . . . . . . . . . . . . 34
3 Options américaines en marché complet 37
1 Sur-martingale et enveloppe de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Enveloppe de Snell et arrêt optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Prix et stratégie de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Stratégie d"exercice optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 4 Modèle de Cox-Ross-Rubinstein 44
1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 (AOA) et évaluation d"options (exercice) . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Passage à la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Compléments (exercices) 48
1 Modèle de taux de Ho et Lee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Minimisation du risque quadratique de couverture . . . . . . . . . 53
3 Théorème de Kreps-Yan,
fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4 Option américaine callable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Options swing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
B. Marchés financiers en temps continu : Principes géné- raux 60 6 AOA et évaluation d"options dans un modèle d"Itô 61
1 Actifs financiers, stratégies et portefeuilles . . . . . . . . . . . . . 61
1.1 Actifs financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.2 Stratégies et portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2 Absence d"opportunité d"arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.1 Condition nécessaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2 Condition suffisante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3 Condition nécessaire et suffisante . . . . . . . . . . . . . . 69
3 Evaluation d"options européennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Caractérisation des marchés complets . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1 Approche générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Cas d"une volatilité inversible . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 Options américaines en marchés complets . . . . . . . . . . . . . 74
6 Gestion optimale de portefeuille en marchés complets . . . . . . . 77
6.1 Maximisation d"utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2 Prix d"indifférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3 Minimisation de l"erreur de couverture . . . . . . . . . . . 82
6.4 Maximisation du ratio de succès . . . . . . . . . . . . . . 85
7 Remarque sur les modèles avec dividendes . . . . . . . . . . . . . 85
5 7 Evaluation et gestion par EDP 87
1 Modèle markovien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2 Formule de Feynman-Kac et options européennes . . . . . . . . . 88
3 Inéquations variationnelles et options américaines . . . . . . . . . 91
4 Equations de H.-J.-B. et gestion optimale de portefeuille . . . . . 92
8 Modélisation de la volatilité 97
1 Modèle de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.2 AOA et complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.3 Options européennes dans le cas complet . . . . . . . . . . 99
1.4 Erreur de couverture discrète : rebalancement à pas constants101
1.5 Exemples d"évaluation de produits dérivés (exercices) . . . 103
2 Modèles à volatilité locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.1 Formule de Dupire et EDP d"évaluation en strike et maturité108
2.2 Calibration de la nappe de volatilité à partir d"un nombre
fini de call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3 Modèles à volatilité stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.1 Impact d"une erreur sur la spécification de la volatilité . . 115
3.2 Sur-réplication lorsque la volatilité n"est pas couvrable . . 116
3.3 Couverture à l"aide d"options liquides et trading de la vo-
latilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.4 Couverture statique approchée et semi-statique par calls
et puts, application aux swaps de variance . . . . . . . . . 118 4 Exemples de modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.1 Modèle CEV et processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . 123
4.2 Modèle d"Heston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3 Modèle d"Heston à sauts de Bates . . . . . . . . . . . . . 127
4.4 Modèle SABR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5 Autres modèles de diffusion à volatilité stochastique... . . 128
4.6 Variance swap market models . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5 Evaluation par FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9 Modèles de taux 133
1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
1.1 Zéro-coupon et AOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6 1.2 Courbe des taux spot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
1.3 Courbe de taux forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2 Modèle de Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.2 Prix du zéro-coupon et courbe des taux . . . . . . . . . . 137
3 Modèle de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2 Prix du zéro-coupon et courbe des taux . . . . . . . . . . 140
3.3 Simulation exacte (exercice) . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4 Approche de Heath, Jarrow et Morton . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.1 Dynamique du taux court forward et du zéro-coupon . . . 143
4.2 Exemples de paramétrisation . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5 Mesure forward neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.1 Motivation et définition de la mesure forward neutre . . . 148
5.2 Propriété de martingale du zéro-coupon forward . . . . . . 149
5.3 Propriété de martingale du taux Libor forward . . . . . . 150
6 Quelques produits dérivés de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.1 Call sur obligation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.2 Swap de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3 Swaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.4 Cap et floor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10 Modèles avec risque de défaut 154
1 Modèles de la firme (ou modèles structurels) . . . . . . . . . . . . 154
1.1 Modèle de Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
1.2 Modèle de Black and Cox . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
1.3 Remarques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
1.4 Rappels sur la loi du maximum d"un brownien drifté . . . 157
2 Approche (réduite) par fonction de hasard . . . . . . . . . . . . . 159
2.1 Cas du défaut indépendant du taux sans risque . . . . . . 159
2.2 Défaut non indépendant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3 Approche par processus de Cox (franchissement de barrière) . . . 162
4 Modèle de Heath-Jarrow-Morton avec défaut . . . . . . . . . . . 163
4.1 Courbe de taux forward risqué . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.2 Dynamique du zéro-coupon risqué sous la mesure risque
neutre et intensité de défaut . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7 5 Modèles de migration du risque de crédit . . . . . . . . . . . . . . 165
6 Exemple de produits dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.1 Option sur défaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2 Swap de défaut (CDS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.3 Total Return Swap (TRS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11 Autres exercices 168
1 Modèle de Vasicek à coefficients constants et call sur zéro-coupon 168
2 Option asiatique : moyenne géométrique . . . . . . . . . . . . . . 171
3 Option asiatique : moyenne arithmétique . . . . . . . . . . . . . . 171
4 Gamma hedging et rebalancement discret . . . . . . . . . . . . . 174
5 Couverture sous contrainte de portefeuille . . . . . . . . . . . . . 176
8 Index B t, 14 B t(), 127 B t(1;2), 129 I(t;), 131
L 0b, 21
L S, 22 R t(), 129 R t(1;2), 129 V x;, 14, 54 A, 14, 55
H Kb(~S), 30
M(~S), 15, 57
M b(~S), 16 M loc(~S), 57 , 149 Q , 142 T t, 36, 65 , 13 ~Bt(), 128 ~S, 14, 53 ~Vx;, 14, 54 ~t, 17 1 d, 89 f t(1), 129 esssup, 66 (AOA t), 16 Absence d"opportunité d"arbitrage, 15,
55Actif contingent, 21
Actualisé, 14, 54
Adapté, 13
AOA, 15, 55
Arrêt optimal, 37, 65
Atteignable, 25, 61
Autofinancée, 13, 54
Buy-and-hold, 107, 108
Call, 94
Call sur spread, 96
Call sur zéro-coupon, 142
Cap, 147
Caplet, 147
Condition de non-banqueroute, 55
Condition de Novikov, 57
Conditions d"Inada, 69
Contrôle markovien, 87
Contrainte de portefeuille, 29
Courbe des taux, 129
Courbe des taux forward, 129
Credit rating, 159
Décomposition de Doob-Meyer, 35, 67
Défaut, 148
Dividende, 76
Enveloppe de Snell, 35
Equation d"Hamilton-Jacobi-Belman, 85
Equation de Fokker-Planck, 100
9 Equation de Dupire, 101
Equation de Kolmogorov forward, 100
Exercice optimal, 39, 68
Famille filtrante, 67
Floor, 147
Floorlet, 147
Fonction d"utilité, 69
Fonction de hazard, 153
Fonction de perte, 73
Formule de Dupire, 101
Gestion optimale, 68
Hahn Banach, 18
Information imparfaite, 31
Intensité de défaut, 154
quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24
1.4 Absence d"arbitrage sousM(~S)6=;. . . . . . . . . . . . 22
2 Couverture des options européennes . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Marchés complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Extensions à certains marchés imparfaits . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1 Contraintes de portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Information imparfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Coûts de transaction proportionnels (exercice) . . . . . . . 33
4.4 Coûts de transaction fixes (exercice) . . . . . . . . . . . . 34
3 Options américaines en marché complet 37
1 Sur-martingale et enveloppe de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Enveloppe de Snell et arrêt optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Prix et stratégie de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Stratégie d"exercice optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
44 Modèle de Cox-Ross-Rubinstein 44
1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 (AOA) et évaluation d"options (exercice) . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Passage à la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Compléments (exercices) 48
1 Modèle de taux de Ho et Lee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Minimisation du risque quadratique de couverture . . . . . . . . . 53
3 Théorème de Kreps-Yan,
fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 Option américaine callable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Options swing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
B. Marchés financiers en temps continu : Principes géné- raux 606 AOA et évaluation d"options dans un modèle d"Itô 61
1 Actifs financiers, stratégies et portefeuilles . . . . . . . . . . . . . 61
1.1 Actifs financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.2 Stratégies et portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2 Absence d"opportunité d"arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.1 Condition nécessaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2 Condition suffisante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3 Condition nécessaire et suffisante . . . . . . . . . . . . . . 69
3 Evaluation d"options européennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Caractérisation des marchés complets . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1 Approche générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Cas d"une volatilité inversible . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 Options américaines en marchés complets . . . . . . . . . . . . . 74
6 Gestion optimale de portefeuille en marchés complets . . . . . . . 77
6.1 Maximisation d"utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2 Prix d"indifférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3 Minimisation de l"erreur de couverture . . . . . . . . . . . 82
6.4 Maximisation du ratio de succès . . . . . . . . . . . . . . 85
7 Remarque sur les modèles avec dividendes . . . . . . . . . . . . . 85
57 Evaluation et gestion par EDP 87
1 Modèle markovien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2 Formule de Feynman-Kac et options européennes . . . . . . . . . 88
3 Inéquations variationnelles et options américaines . . . . . . . . . 91
4 Equations de H.-J.-B. et gestion optimale de portefeuille . . . . . 92
8 Modélisation de la volatilité 97
1 Modèle de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.2 AOA et complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.3 Options européennes dans le cas complet . . . . . . . . . . 99
1.4 Erreur de couverture discrète : rebalancement à pas constants101
1.5 Exemples d"évaluation de produits dérivés (exercices) . . . 103
2 Modèles à volatilité locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.1 Formule de Dupire et EDP d"évaluation en strike et maturité108
2.2 Calibration de la nappe de volatilité à partir d"un nombre
fini de call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113 Modèles à volatilité stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.1 Impact d"une erreur sur la spécification de la volatilité . . 115
3.2 Sur-réplication lorsque la volatilité n"est pas couvrable . . 116
3.3 Couverture à l"aide d"options liquides et trading de la vo-
latilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.4 Couverture statique approchée et semi-statique par calls
et puts, application aux swaps de variance . . . . . . . . . 1184 Exemples de modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.1 Modèle CEV et processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . 123
4.2 Modèle d"Heston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3 Modèle d"Heston à sauts de Bates . . . . . . . . . . . . . 127
4.4 Modèle SABR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5 Autres modèles de diffusion à volatilité stochastique... . . 128
4.6 Variance swap market models . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5 Evaluation par FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9 Modèles de taux 133
1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
1.1 Zéro-coupon et AOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
61.2 Courbe des taux spot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
1.3 Courbe de taux forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2 Modèle de Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.2 Prix du zéro-coupon et courbe des taux . . . . . . . . . . 137
3 Modèle de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2 Prix du zéro-coupon et courbe des taux . . . . . . . . . . 140
3.3 Simulation exacte (exercice) . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4 Approche de Heath, Jarrow et Morton . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.1 Dynamique du taux court forward et du zéro-coupon . . . 143
4.2 Exemples de paramétrisation . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5 Mesure forward neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.1 Motivation et définition de la mesure forward neutre . . . 148
5.2 Propriété de martingale du zéro-coupon forward . . . . . . 149
5.3 Propriété de martingale du taux Libor forward . . . . . . 150
6 Quelques produits dérivés de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.1 Call sur obligation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.2 Swap de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3 Swaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.4 Cap et floor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10 Modèles avec risque de défaut 154
1 Modèles de la firme (ou modèles structurels) . . . . . . . . . . . . 154
1.1 Modèle de Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
1.2 Modèle de Black and Cox . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
1.3 Remarques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
1.4 Rappels sur la loi du maximum d"un brownien drifté . . . 157
2 Approche (réduite) par fonction de hasard . . . . . . . . . . . . . 159
2.1 Cas du défaut indépendant du taux sans risque . . . . . . 159
2.2 Défaut non indépendant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3 Approche par processus de Cox (franchissement de barrière) . . . 162
4 Modèle de Heath-Jarrow-Morton avec défaut . . . . . . . . . . . 163
4.1 Courbe de taux forward risqué . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.2 Dynamique du zéro-coupon risqué sous la mesure risque
neutre et intensité de défaut . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 75 Modèles de migration du risque de crédit . . . . . . . . . . . . . . 165
6 Exemple de produits dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.1 Option sur défaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2 Swap de défaut (CDS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.3 Total Return Swap (TRS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11 Autres exercices 168
1 Modèle de Vasicek à coefficients constants et call sur zéro-coupon 168
2 Option asiatique : moyenne géométrique . . . . . . . . . . . . . . 171
3 Option asiatique : moyenne arithmétique . . . . . . . . . . . . . . 171
4 Gamma hedging et rebalancement discret . . . . . . . . . . . . . 174
5 Couverture sous contrainte de portefeuille . . . . . . . . . . . . . 176
8 Index B t, 14 B t(), 127 B t(1;2), 129I(t;), 131
L0b, 21
L S, 22 R t(), 129 R t(1;2), 129 V x;, 14, 54A, 14, 55
HKb(~S), 30
M(~S), 15, 57
M b(~S), 16 M loc(~S), 57 , 149 Q , 142 T t, 36, 65 , 13 ~Bt(), 128 ~S, 14, 53 ~Vx;, 14, 54 ~t, 17 1 d, 89 f t(1), 129 esssup, 66 (AOA t), 16Absence d"opportunité d"arbitrage, 15,
55Actif contingent, 21
Actualisé, 14, 54
Adapté, 13
AOA, 15, 55
Arrêt optimal, 37, 65
Atteignable, 25, 61
Autofinancée, 13, 54
Buy-and-hold, 107, 108
Call, 94
Call sur spread, 96
Call sur zéro-coupon, 142
Cap, 147
Caplet, 147
Condition de non-banqueroute, 55
Condition de Novikov, 57
Conditions d"Inada, 69
Contrôle markovien, 87
Contrainte de portefeuille, 29
Courbe des taux, 129
Courbe des taux forward, 129
Credit rating, 159
Décomposition de Doob-Meyer, 35, 67
Défaut, 148
Dividende, 76
Enveloppe de Snell, 35
Equation d"Hamilton-Jacobi-Belman, 85
Equation de Fokker-Planck, 100
9Equation de Dupire, 101
Equation de Kolmogorov forward, 100
Exercice optimal, 39, 68
Famille filtrante, 67
Floor, 147
Floorlet, 147
Fonction d"utilité, 69
Fonction de hazard, 153
Fonction de perte, 73
Formule de Dupire, 101
Gestion optimale, 68
Hahn Banach, 18
Information imparfaite, 31
Intensité de défaut, 154
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