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Mémoire présenté le :

pour l"obtention du Diplôme Universitaire d"actuariat de l"ISFA et l"admission à l"Institut des Actuaires

Par : Timothée FABRE

Titre : Extension du Longstaff-Mithal-Neis : Application à la diffusion des prix en univers monde réel dans un cadrearbitrage-free

Confidentialité :NON(Durée :1 an2 ans)

Les signataires s"engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus

Membres présents du jury de

l"Institut des ActuairesSignature

Membres présents du jury de

l"ISFA ............................Entreprise :

Nom : Malakoff Humanis

Signature :

Directeur de mémoire en entre-

prise :

Nom : Emmanuel KIZILIAN

Signature :

Invité :

Nom :

Signature :

Autorisation de publication et

de mise en ligne sur un site de diffusion de documents actua- riels(après expiration de l"éventuel délai de confidentialité) Signature du responsable entrepriseSignature du candidat

Résumé

Mots clés :Intensité de défaut, rendement d"opportunité, CDS, LMN, crédit, volatilité implicite,

GSE, modèle ALM, cadre de valorisation dynamique, structure par terme de coupons.

L"étude de la distribution de probabilité, en monde réel, d"indicateurs financiers à horizon

moyen et long terme impose la mise en place d"un cadre de valorisation prospective des produits

financiers. Classiquement, un cadre de valorisation fondé sur l"absence d"opportunité d"arbitrage

se construit sur l"information implicitespotinduite par les marchés financiers. Or, en considérant

seulement l"informationspot, une source de risque future est omise : la volatilité des paramètres

implicites. Pour pallier cette carence en la matière, le recours à des modèles depricingdynamiques

(dont certains paramètres sont dépendants du temps) prend tout son sens. Au sein du portefeuille des compagnies d"assurance et des institutions de prévoyance, le poids

que représente la poche obligataire impose une réponse théorique satisfaisante sur le sujet de la

projection de sa valeur. Ainsi, la présente étude propose un cadre de valorisation dynamique relatif

aux produits de taux par extension du modèle de Longstaff-Mithal-Neis : une extension théorique

d"une part et un calibrage innovant pour rendre le modèle initial dynamique d"autre part. L"ex-

tension théorique du modèle LMN porte sur la valorisation des obligations à taux variable et des

indexées inflation : pour les titres à taux variable, la dépendance théorique du facteur d"actuali-

sation et du coupon conduit à spécifier un modèle de taux court (hors cadre LMN) cohérent en

monde réel et pouvant être rendu dynamique. Diebold et Li [2005] ont introduit le modèle Nelson-

Siegel dynamique en montrant qu"il était possible d"ajuster un modèle de série temporelle sur les

régresseurs. En s"inspirant de cet article, le modèle retenu a naturellement été sa version AOA :

le modèle AFNS (Arbitrage-Free Nelson-Siegel) pour lequel la présente étude propose une version

dynamique. Pour les obligations indexées inflation, le cadre de valorisation dynamique s"est inspiré

de l"article de Jarrow et Yildirim [2003] en utilisant la version dynamique du modèle AFNS cité

précédemment et en ajustant une structure paramétrique sur la volatilité implicite descapinflation.

Le passage à un modèle AOA dynamique repose sur trois principes : fixer des paramètres impli-

cites indépendants du temps, ajuster une structure paramétrique par moindres carrés, ajuster un

modèle de série temporelle sur les régresseurs. Ainsi, la version du modèle LMN de la présente étude

s"est inspirée de l"approche de calibration de Planchet et Laïdi [2015], avec une nuance originale

sur le caractère dynamique : un ajustement paramétrique de type Nelson-Siegel sur des structures

par terme de paramètres implicites (en l"occurrence, les paramètres0et 0). Ce contexte de valorisation dans un cadre dynamique est donc régi par un modèle de séries

temporelles multivarié permettant de diffuser les régresseurs des ajustements linéaires effectués

sur les paramètres implicites déduits des inversions de prix. Cette approche s"inscrit dans la mise

en place d"un générateur de scénarios économiques monde réel par lequel les facteurs de risques

projetés sont des paramètres depricing, assurant la cohérence avec la valorisation par l"approche

martingale. Cette hybridation permet notamment d"exploiter les avantages des approches risque

neutre et monde réel, en modélisant des processus réels inobservables pour leur appliquer les for-

mules de valorisation obtenues en amont. Les présents travaux proposent donc une approche innovante de modélisation et de projection

des structures par terme de rendements obligataires, ainsi que des facteurs de risque de crédit. Dans

une première partie, on présente les bases théoriques du cadre, le contexte de l"étude ainsi qu"une

introduction à la modélisation du risque de crédit par l"approche à intensité. Dans un second temps,

la construction du cadre de valorisation dynamique est développée. La procédure de calibration

est détaillée pour chaque classe d"obligation et la technique de reproduction des historiques de

prix et de nappes de volatilité implicite montre des résultats de qualité. La dernière partie vise à

étudier des applications du cadre à l"écrêtage de flux obligataires risqués ainsi qu"à la modélisation

de courbes de rendement obligataire. Malgré une calibration portée intégralement sur des prix, la

robustesse de la démarche proposée s"apprécie par la réplication " mark-to-model » de la courbe

de rendement générique OAT qui émane duproviderde données Bloomberg. iii iv

Abstract

Key words:Default intensity, convenience yield, CDS, LMN, credit, implied volatility, ESG, ALM model, dynamic pricing framework, term structure of yields. Studying financial indicator"s probability distribution, in a real world framework, requires the

implementation of a general model for prospective pricing of financial products. Formally, a no-free-

lunch pricing framework is built upon implied information extracted from the spot data observed on financial markets. Yet, by considering only spot information, another source of future risk is omitted: the volatility of implied parameters. In order to remedy this issue, the use of dynamic pricing models (with some time-dependent parameters) makes a lot of sense. Within portfolios of insurance companies and pension institutions, the high proportion of bonds

requires a satisfying theoretical answer to matters such as portfolio"s value forecasting. Thus, this

study proposes a dynamic pricing framework related to defaultable interest rates products by an add-in of Longstaff-Mithal-Neis: a theoretical extension in one hand and, in the other, an inno- vative calibration procedure to make it dynamic. The theoretical extension of LMN is focused on floating-rate-notes and inflation-linked bonds pricing: concerning FRN, the relation between dis- count factor and coupon leads to specifying a short-rate model (not specified in LMN), which is consistent in a real world framework and that may be made dynamic. Diebold and Li [2005] have introduced the Dynamic Nelson-Siegel model by showing that a time series model can be adjusted on regressors. Inspired by this article, the adopted model is its "no free lunch" version: the AFNS model (Arbitrage-Free Nelson-Siegel) for which this study proposes a dynamic version. Regarding inflation-linked bonds, the model is based on Jarrow and Yildirim"s framework [2011], by using a dynamic version of the aforementioned AFNS model and by adjusting a parametric structure on inflation-linked cap implied volatility. The changeover to a dynamic arbitrage-free model is based on three principles: setting time- independent some of the implied parameters, fitting a parametric function by a least squares method, calibrating a time series model on regressors. Thus, the version of LMN introduced in this

study builds on the calibration method of Planchet and Laïdi [2015], with a creative change on the

dynamic aspect: a Nelson-Siegel parametric adjustment on the term structures of some implied parameters (in this case, the parameters0and

0) is made.

This valuation pattern in a dynamic framework is therefore governed by a multivariate time se- ries model that allows a diffusion of regressors obtained by the linear adjustments done on implied parameters, which are deduced by price inversions. This approach falls within the implementation of a real-world economic scenario generator in which projected risk factors are pricing parameters, ensuring a consistency with the risk-neutral perspective. This hybridisation enables the exploi- tation of the benefits of both risk-neutral and real-world approaches, by modelling unobservable historical processes in order to apply the pricing formulas to them. In the present research, we propose an innovative approach for the modelling of bond yield term structure as well as credit risk factors and their forecasting. The first part is dedicated to some theoretical foundations, to the context of the study and to an overview of credit risk modelling and reduced-form approach. Secondly, we develop the implementation of the valuation framework. The calibration procedure is described for each bond class and the replication technique applied to

historical prices and implied volatility surfaces show high quality, consistent results. The final part

is aimed at studying practical usages of the framework in the correction of defaultable cash-flows

and in yield curve modelling. Despite a fully price-oriented calibration procedure, the reliability of

our approach is assessed by the mark-to-model replication of historical OAT yield curves observed on Bloomberg"s data provider. v vi

Remerciements

En premier lieu, je tiens à exprimer toute ma reconnaissance à mon maître d"apprentissage et binôme Emmanuel KIZILIAN, responsable ALM de Malakoff Humanis. Tu m"as fait découvrir

bien des facettes de la finance quantitative. Ta compréhension des modèles, ta créativité sur les

problématiques de calibration ainsi que ton implication sans égale m"ont éclairé et guidé tant sur

mes objectifs que sur mon intérêt pour ce milieu. Tu m"as appris à déceler les forces et faiblesses

des modèles que je suis amené à étudier, ainsi qu"à les remettre profondément en question. Je te

remercie pour ta disponibilité et ta patience, pour toute la confiance que tu m"as accordée tout au

long de mon apprentissage. Tu as été d"un grand soutien dans l"élaboration de ce mémoire.

J"adresse aussi mes remerciements à tous les professeurs et intervenants du master Actuariat

de l"ISFA pour leur enseignement de qualité qui m"a permis de développer des modèles et d"étudier

les articles sur lesquels se fonde cette étude.

Je tiens à exprimer toute ma gratitude à Nicole EL KAROUI, qui par son master Probabilités et

Finance de Paris Sorbonne et ses enseignants a représenté une profonde satisfaction intellectuelle.

Elle m"a notamment aidé à y voir plus clair sur le sujet de la valorisation desFloating Rate Note.

Enfin, je remercie mes très chers parents, mon frère et mes amis pour leur soutien sans faille et

leurs encouragements. Mathis, Nicef, c"est promis, j"arrête les études et je commence à travailler!

vii viii

Table des matières

Table des figures

xiii

Liste des tableaux

xix

Introductionxxi

I Fondements théoriques du cadre

1

1 Théorie financière

3

1.1 Mesures de probabilité et cohérence du cadre de valorisation

4

1.1.1 Théorème de changement de mesure et valorisation de produits dérivés

4

1.1.2 Quelques mots sur ce qui lie les mesures de probabilité au sein du cadre de

valorisation 6

1.2 Eléments de calcul stochastique

9

1.2.1 Lemme d"Itô multidimensionnel

9

1.2.2 Théorème de Feynman-Kac

9

1.3 Taux d"intérêt et produits dérivés de taux

10

1.3.1 Obligation zéro-coupon, taux d"intérêtspotet tauxforward. . . . . . . . .10

1.3.2Swapde taux etstripping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.3.3Cap,flooretswaption. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

2 Risque de crédit

17

2.1 Introduction et mise en contexte

18

2.2 Modélisation du risque de crédit

20

2.2.1 L"approche structurelle

20

2.2.2 L"approche à intensité

21
II Construction du cadre de valorisation dynamique 27

3 Modélisation de la structure par terme de taux d"intérêt

29

3.1 Modèles de lissage de la structure par terme de taux d"intérêt

3 0

3.1.1 Nelson-Siegel et extensions

30

3.1.2 Nelson-Siegel dynamique

30

3.2 Modèle AOA de taux d"intérêt

31

3.2.1 Spécification du modèlearbitrage-freeNelson-Siegel. . . . . . . . . . . . . 32

3.2.2 Expressions du prix du zéro-coupon et du tauxspot. . . . . . . . . . . . .33

3.2.3 Autour du prix du zéro-coupon dans le modèle retenu

35

3.3 Calibration du modèle AFNS

37

3.3.1 Présentation des données

37

3.3.2 Description de l"approche

38

3.3.3 Introduction de poids

39

3.3.4 Autour de la matrice de volatilité : contraintes d"optimisation

41

3.3.5 Calibration et résultats

42
ix xTABLE DES MATIÈRES4 Modélisation des obligations à taux fixe47

4.1 Le modèle de Longstaff, Mithal et Neis

48

4.1.1 Cadre de l"étude et spécification

48

4.1.2 Formule de valorisation des contratsCredit Default Swap. . . . . . . . . .49

4.1.3 Valorisation des obligations à taux fixe

50

4.1.4 Formules fermées

51

4.2 Calibration du modèle

52

4.2.1 Présentation des données

53

4.2.2 Méthode "classique" de calibration : tour d"horizon sur les pratiques

54

4.2.3 Vers une reproduction plus complète des prix du marché : nouvelle méthode

de calibration 57

4.2.4 Estimation de primes CDS asymptotiques, calibration du modèle de crédit

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