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Exo7

Calculs de déterminants

Fiche corrigée par Arnaud Bodin

Exercice 1Calculer les déterminants des matrices suivantes : 7 11 8 4 0 @1 0 6

3 4 15

5 6 211

A0 @1 0 2 3 4 5

5 6 71

A0 @1 01 2 3 5

4 1 31

A 0 B

B@0 1 2 3

1 2 3 0

2 3 0 1

3 0 1 21

C CA0 B

B@0 1 1 0

1 0 0 1

1 1 0 1

1 1 1 01

C CA0 B

B@1 2 1 2

1 3 1 3

2 1 0 6

1 1 1 71

C CA 1. Calculer l"aire du parallélogramme construit sur les v ecteurs~u=2 3 et~v=1 4 2. Calculer le v olumedu parallélépipède construit sur les v ecteurs ~u=0 @1 2 01 A ,~v=0 @0 1 31
A et~w=0 @1 1 11 A 3.

Montrer que le v olumed"un parallélépipède dont les sommets sont des points de R3à coefficients entiers

est un nombre entier. Calculer les déterminants des matrices suivantes : 0 @a b c c a b b c a1 A0 B

B@1 0 0 1

0 1 0 0

1 0 1 1

2 3 1 11

C CA0 B

B@1 1 1 1

11 1 1

1 11 1

1 1 111

C CA0 B

B@10 05 15

2 7 3 0

8 14 0 2

021 111

C CA 0 B

B@a a b0

a a0b c0a a

0c a a1

C CA0 B

BBB@1 0 3 0 0

0 1 0 3 0

a0a0 3 b a0a0

0b0 0a1

C CCCA0 B

BBB@1 0 0 1 0

04 3 0 0

3 0 032

0 1 7 0 0

4 0 0 7 11

C CCCA 1

Calculer les déterminants suivant :

a 1a2an a

1a1......

.........a2 a 1a1a1 1 1

1 1(0)

(0)1 1 a+b aa a a+b...... .........a aa a+b

Soit(a0;:::;an1)2Cn,x2C. Calculer

D n= x0a0

1.........

...x an2

01x+an1

Soitaun réel. On noteDnle déterminant suivant : D n= a00n1

0a.........

.........0 2 00a1 n12 1a 1.

Calculer Dnen fonction deDn1.

2.

Démontrer que : 8n>2Dn=anan2n1å

i=1i2.

1t1t21:::tn111t2t22:::tn12::: ::: ::: ::: :::

1tnt2n:::tn1n

16i Indication pourl"exer cice3 N1.Règle de Sarrus. 2. Dév elopperpar rapport à la deuxième ligne. 3. F aireapparaître des 0 sur la première colonne. 4.

Utiliser la linéarité par rapports à chaque ligne et chaque colonne pour simplifier les coef ficients.

5.

F aireapparaître des 0...

6.

F aireapparaître des 0...

7.

Permuter les lignes et les colonnes pour f aireapparaître une matrice triangulaire par blocs. Indication pourl"exer cice5 NDévelopper par rapport à la dernière colonne.

Indication pour

l"exer cice

6 NDévelopper par rapport à la première colonne pour obtenirDn1et un autre déterminant facile à calculer en

développant par rapport à sa première ligne.Indication pourl"exer cice7 NFaire les opérations suivantes sur les colonnesCn CntnCn1, puisCn1 Cn1tnCn2,...,C2 C2tnC1.

Développer par rapport a la bonne ligne et reconnaître que l"on obtient le déterminant recherché mais au rang

n1.3 Correction del"exer cice1 N1.Le déterminant de la matrice a b c d esta b c d =adbc. Donc7 11 8 4 =7411(8) =116. 2. Nous allons v oirdif férentesméthodes pour calculer les déterminants.

Première méthode.Règle de Sarrus.Pour le matrice 33 il existe une formule qui permet de calculer

directement le déterminant. a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a33

Donc 1 0 6

3 4 15

5 6 21

=1421+0155+36654661513021=18 Attention ! La règle de Sarrus ne s"applique qu"aux matrices 33.

3.Deuxième méthode.Se ramener à une matrice diagonale ou triangulaire.

Si dans une matrice on change un ligneLienLilLjalors le déterminant reste le même. Même chose

avec les colonnes. L

11 0 2

L

23 4 5

L

35 6 7=1 0 2

L

2 L23L10 41L

3 L35L10 63=1 0 2

0 41L

3 L332

L20 032=14(32

) =6 sur la diagonale.

4.Troisième méthode.Développement par rapport à une ligne ou une colonne.Nous allons développer

par rapport à la deuxième colonne. 1 01 2 3 5 4 1 3 = (0)2 5 4 3 +(+3)11 4 3 +(1)11 2 5 =0+3717=14 Bien souvent on commence par simplifier la matrice en faisant apparaître un maximum de 0 par les

opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Puis on développe en choisissant la ligne ou la

colonne qui a le plus de 0. 5.

On f aitapparaître des 0 sur la première colonne puis on dév eloppepar rapport à cette colonne.

D=L

10 1 2 3

L

21 2 3 0

L

32 3 0 1

L

43 0 1 2=0 1 2 3

1 2 3 0

L

3 L32L2016 1L

4 L43L2068 2=1 2 3

16 168 2Pour calculer le déterminant 33 on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on la développe.

D=L

11 2 3

L

216 1L

368 2=1 2 3

L

2 L2+L104 4L

3 L3+6L10 4 20=14 4

4 20 =96

DoncD=96.

4

6.La matrice a déjà beaucoup de 0 mais on peut en f aireapparaît reda vantagesur la dernière colonne, puis

on développe par rapport à la dernière colonne. D 0=L

10 1 1 0

L

21 0 0 1

L

31 1 0 1

L

41 1 1 0=0 1 1 0

1 0 0 1

L

3 L3L20 1 0 0

1 1 1 0=0 1 1

0 1 0 1 1 1 On développe ce dernier déterminant par rapport à la première colonne : D

0=0 1 1

0 1 0

1 1 1=11 1

1 0 =1 7.

T oujoursla même méthode, on f aitapparaître des 0 sur la première colonne, puis on dév eloppepar

rapport à cette colonne. D 00=L

11 2 1 2

L

21 3 1 3

L

32 1 0 6

L

41 1 1 7=1 2 1 2

L

2 L2L10 1 0 1

L

3 L32L1032 2L

4 L4L101 0 5=1 0 1

32 21 0 5On développe par rapport à la deuxième colonne :

D

00=21 1

1 5 =12Correction del"exer cice2 N1.L "aireAdu parallélogramme construit sur les vecteurs~u=a c et~v=b d est la valeur absolue du déterminant a b c d doncA=jadbcj. Ici on trouveA=abs2 1 3 4 = +5 où abs désigne la fonction valeur absolue. 2.

Le v olumedu parallélépipède construit sur trois v ecteursde R3est la valeur absolue du déterminant de

la matrice formée des trois vecteurs. Ici V=abs 1 0 1 2 1 1 0 3 1 =abs +11 1 3 1 +12 1 0 3 =4 où l"on a développé par rapport à la première ligne. 3.

Si un parallélépipède est construit sur trois v ecteursde R3dont les coefficients sont des entiers alors le

volume correspond au déterminant d"une matrice à coefficients entiers. C"est donc un entier.Correction del"exer cice3 N1.P arla règle de Sarrus :

D 1= a b c c a b b c a =a3+b3+c33abc: 5

2.On dév eloppepar rapport à la seconde ligne qui ne contient qu"un coef ficientnon nul et on calcule le

déterminant 33 par la règle de Sarrus : D 2=

1 0 0 1

0 1 0 0

1 0 1 1

2 3 1 1

= +1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 =1: 3. D 3=L

11 1 1 1L

211 1 1L

31 11 1L

41 1 11=1 1 1 1L

2 L2+L10 0 2 2

L

3 L3+L10 2 0 2

L

4 L4+L10 2 2 0

On développe par rapport à la première colonne : D

3= (1)0 2 2

2 0 2

2 2 0=16

4.

Le déterminant est liné airepar rapport à chacune de ses lignes et aussi chacune de ses colonnes. P ar

exemple les coefficients de la première ligne sont tous des multiples de 5 donc D 4=

10 05 15

2 7 3 0

8 14 0 2

021 11

=5

2 01 3

2 7 3 0

8 14 0 2

021 11

On fait la même chose avec la troisième ligne : D 4=52

2 01 3

2 7 3 0

4 7 0 1

021 11

Et enfin les coefficients la première colonne sont des multiples de 2 et ceux de la troisième colonne sont

des multiples de 7 donc : D 4=522

1 01 3

1 7 3 0

2 7 0 1

021 11

=5227

1 01 3

1 1 3 0

2 1 0 1

03 11 Les coefficients sont plus raisonnables ! On faitL2 L2+L1etL3 L32L1pour obtenir : D 4=140

1 01 3

0 1 2 3

0 1 25

03 11 =140 1 2 3 1 25 3 11 =14056=7840 5. D 5=L

1a a b0L

2a a0bL

3c0a aL

40c a a=a a b0L

2 L2L10 0b bc0a aL

4 L4L3c c0 0On fait ensuite les opérations suivantes sur les colonnes :C2 C2+C1etC3 C3C4pour obtenir une

dernière ligne facile à développer : D

5=a2a b00 02b bc c0ac0 0 0= +c2a b002b bc0a=bc(bc4a2)

6

6.On f aitd"abord les opérations C1 C1C3etC2 C2C4et on développe par rapport à la première

ligne : D 6=

1 0 3 0 0

0 1 0 3 0

a0a0 3 b a0a0

0b0 0a

2 0 3 0 0

02 0 3 0

0 0a0 3

b0 0a0

0b0 0a

= (2)

2 0 3 0

0a0 3 0 0a0 b0 0aquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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