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Déterminants

pède engendré par cesnvecteurs. On peut aussi définir le déterminant d"une matriceA. Le déterminant permet de

savoir si une matrice est inversible ou pas, et de façon plus générale, joue un rôle important dans le calcul matriciel et

la résolution de systèmes linéaires.

Dans tout ce qui suit, nous considérons des matrices à coefficients dans un corps commutatifK, les principaux

exemples étantK=RouK=C. Nous commençons par donner l"expression du déterminant d"une matrice en petites

dimensions.

1. Déterminant en dimension2et3

1.1. Matrice22

En dimension 2, le déterminant est très simple à calculer : deta b c d =adbc.

C"est donc le produit des éléments sur la diagonale principale (en bleu) moins le produit des éléments sur l"autre

diagonale (en orange).ab cd0 @1 A+

1.2. Matrice33

SoitA2M3(K)une matrice 33 :

A=0 @a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a331

A

Voici la formule pour le déterminant :

DÉTERMINANTS1. DÉTERMINANT EN DIMENSION2ET32Il existe un moyen facile de retenir cette formule, c"est larègle de Sarrus: on recopie les deux premières colonnes à

droite de la matrice (colonnes grisées), puis on additionne les produits de trois termes en les regroupant selon la

direction de la diagonale descendante (à gauche), et on soustrait ensuite les produits de trois termes regroupés selon

la direction de la diagonale montante (à droite).a 11a 12a 13a 11a 12a 21a
22a
23a
21a
22a
31a
32a
33a
31a
320
B

BBBBB@1

C

CCCCCAa

11a 12a 13a 11a 12a 21a
22a
23a
21a
22a
31a
32a
33a
31a
320
B

BBBBB@1

C

CCCCCAExemple 1.

Calculons le déterminant de la matriceA=0

@2 1 0 11 3

3 2 11

A

Par la règle de Sarrus :

detA=2(1)1+133+012

3(1)0232111=6.21021

11311321320

B

BBBBB@1

C

CCCCCA

Attention : cette méthode ne s"applique pas pour les matrices de taille supérieure à3. Nous verrons d"autres méthodes

qui s"appliquent aux matrices carrées de toute taille et donc aussi aux matrices 33.

1.3. Interprétation géométrique du déterminant

On va voir qu"en dimension 2, les déterminants correspondent à des aires et en dimension 3 à des volumes.

Donnons nous deux vecteursv1=(ac)etv2=bddu planR2. Ces deux vecteursv1,v2déterminentun parallélogramme.v

1v 2xy O~ i~ jProposition 1. L"aire du parallélogramme est donnée par la valeur absolue du déterminant :

A=det(v1,v2)=deta b

c d .De manière similaire, trois vecteurs de l"espaceR3: v 1=0 @a 11 a 21
a 311
A v2=0 @a 12 a 22
a 321
A v3=0 @a 13 a 23
a 331
A définissent un parallélépipède. DÉTERMINANTS1. DÉTERMINANT EN DIMENSION2ET33v 1v 2v

3À partir de ces trois vecteurs on définit, en juxtaposant les colonnes, une matrice et un déterminant :

det(v1,v2,v3) =det0 @a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a331

A .Proposition 2. Le volume du parallélépipède est donné par la valeur absolue du déterminant :

V=det(v1,v2,v3).On prendra comme unité d"aire dansR2l"aire du carré unité dont les côtés sont les vecteurs de la base canonique10,01, et comme unité de volume dansR3, le volume du cube unité.

Démonstration.

Traitons le cas de la dimension2. Le résultat est vrai siv1=(a0)etv2=0d. En effet, dans ce cas on

a affaire à un rectangle de côtésjajetjdj, donc d"airejadj, alors que le déterminant de la matricea0

0d vautad.v 1v 2ad O~ i~ j

Si les vecteursv1etv2sont colinéaires alors le parallélogramme est aplati, donc d"aire nulle; on calcule facilement

que lorsque deux vecteurs sont colinéaires, leur déterminant est nul.

Dans la suite on suppose que les vecteurs ne sont pas colinéaires. Notonsv1=(ac)etv2=bd. Sia6=0, alors

v0

2=v2ba

v1est un vecteur vertical :v0

2=€0

dba cŠ

L"opération de remplacerv2parv0

2ne change pas l"aire du parallélogramme (c"est comme si on avait coupé le triangle

vert et on l"avait collé à la place le triangle bleu).v 1v 2v 0 2O~ i~ jCette opération ne change pas non plus le déterminant car on a toujours : det(v1,v0

2) =deta0

b dba c =adbc=det(v1,v2).

On pose alorsv0

1=(a0): c"est un vecteur horizontal. Encore une fois l"opération de remplacerv1parv0

1ne change ni

l"aire des parallélogrammes ni le déterminant car det(v0 1,v0

2) =deta0

0dba c =adbc=det(v1,v2). DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT4v 1v 0 2v 0 1O~ i~

jOn s"est donc ramené au premier cas d"un rectangle aux côtés parallèles aux axes, pour lequel le résultat est déjà

acquis. Le cas tridimensionnel se traite de façon analogue.Mini-exercices. 1.

P ourA=1 2

5 3 etB=7 8 9 5 calculer les déterminants deA,B,AB,A+B,A1,A,AT. 2.

Mêmes questions pour A=a b

c d etB=a00 c 0d0 3.

Mêmes questions pour A=0

@2 0 1 21 2

3 1 01

A etB=0 @1 2 3 0 2 2

0 0 31

A 4. Calculer l"aire du parallélogramme défini par les vecteurs

73et14.

5. Calculer le volume du parallélépipède défini par les vecteurs €211Š ,€114Š ,€131Š .2. Définition du déterminant

Cette partie est consacrée à la définition du déterminant. La définition du déterminant est assez abstraite et il faudra

attendre encore un peu pour pouvoir vraiment calculer des déterminants.

2.1. Définition et premières propriétés

Nous allons caractériser le déterminant comme une application, qui à une matrice carrée associe un scalaire :

det :Mn(K)!KThéorème 1(Existence et d"unicité du déterminant).

Il existe une unique application de M

n(K)dansK, appeléedéterminant, telle que (i)

le déterminant est linéaire par rapport à chaque vecteur colonne, les autres étant fixés ;

(ii) si une matrice A a deux colonnes identiques, alors son déterminant est nul ; (iii) le déterminant de la matrice identité I nvaut1.Une preuve de l"existence du déterminant sera donnée plus bas en section2.4 . On note le déterminant d"une matriceA= (aij)par : detAou a

11a12a1n

a

21a22a2n.........

a n1an2ann

Si on noteCilai-ème colonne deA, alors

detA=C1C2Cn=det(C1,C2,...,Cn).

DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT5Avec cette notation, la propriété (i) de linéarité par rapport à la colonnejs"écrit : pour tout,2K,det(C1,...,Cj+

C0 j,...,Cn) =det(C1,...,Cj,...,Cn)+det(C1,...,C0 j,...,Cn), soit a

11a1j+a0

1ja1n a i1aij+a0 ijain a n1anj+a0 njann a

11a1ja1n.........

a i1aijain......... a n1anjann a 11a0 1ja1n a i1a0 ijain a n1a0 njann

Exemple 2.

6 5 4 7103

12 251

=5 6 1 4 723
12 51

Car la seconde colonne est un multiple de 5.

3 2 43

75 32

9 2 104

3 2 4 75 3

9 2 10

3 2 3 75 2
9 2 4

Par linéarité sur la troisième colonne.

Remarque.

Une application deMn(K)dansKqui satisfait la propriété (i) est appeléeforme multilinéaire.

Si elle satisfait (ii), on dit qu"elle estalternée.

Le déterminant est donc la seule forme multilinéaire alternée qui prend comme valeur1sur la matriceIn. Les autres

formes multilinéaires alternées sont les multiples scalaires du déterminant. On verra plus loin comment on peut

calculer en pratique les déterminants.

2.2. Premières propriétés

Nous connaissons déjà le déterminant de deux matrices : le déterminant de la matrice nulle 0nvaut 0 (par la propriété (ii)), le déterminant de la matrice identitéInvaut 1 (par la propriété (iii)).

Donnons maintenant quelques propriétés importantes du déterminant : comment se comporte le déterminant face

aux opérations élémentaires sur les colonnes?Proposition 3.

SoitA2Mn(K)une matrice ayant les colonnesC1,C2,...,Cn. On noteA0la matrice obtenue par une des opérations

élémentaires sur les colonnes, qui sont :

1. C i Ci avec6=0:A0est obtenue en multipliant une colonne deApar un scalaire non nul. AlorsdetA0=detA. 2. C i Ci+Cjavec2K(etj6=i) :A0est obtenue en ajoutant à une colonne deAun multiple d"une autre colonne de A. AlorsdetA0=detA. 3. C i$Cj: A0est obtenue en échangeant deux colonnes distinctes de A. AlorsdetA0=detA. Plus généralement pour (2) : l"opérationCi Ci+Pn j=1 j6=i jCjd"ajouter une combinaison linéaire des autres colonnes conserve le déterminant. Attention! Échanger deux colonnes change le signe du déterminant. DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT6

Démonstration.

1. La première propriété découle de la partie (i) de la définition du déterminant.

2.SoitA=C1CiCjCnune matrice représentée par ses vecteurs colonnesCk. L"opération

Ci Ci+Cjtransforme la matriceAen la matriceA0=C1Ci+CjCjCn. Par linéarité par rapport à la colonnei, on sait que detA0=detA+detC1CjCjCn. Or les colonnesietjde la matriceC1CjCjCnsont identiques, donc son déterminant est nul. 3.

Si on échange les colonnesietjdeA=C1CiCjCnon obtient la matriceA0=C1CiCjCn, où le vecteurCjse retrouve en colonneiet le vecteurCien colonnej.

Introduisons alors une troisième matriceB=C1Ci+CjCj+CiCn. Cette matrice a deux colonnes distinctes égales, donc d"après (ii), detB=0.

D"un autre côté, nous pouvons développer ce déterminant en utilisant la propriété (i) de multilinéarité, c"est-à-dire

linéarité par rapport à chaque colonne. Ceci donne

0=detB=detC1Ci+CjCj+CiCn

=detC1CiCj+CiCn +detC1CjCj+CiCn =detC1CiCjCn +detC1CiCiCn +detC1CjCjCn +detC1CjCiCn =detA+0+0+detA0, encore grâce à (i) pour les deux déterminants nuls du milieu.Corollaire 1.

Si une colonne C

ide la matrice A est combinaison linéaire des autres colonnes, alorsdetA=0.2.3. Déterminants de matrices particulières

Calculer des déterminants n"est pas toujours facile. Cependant il est facile de calculer le déterminant de matrices

triangulaires.Proposition 4.

Le déterminant d"une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) est égal au produit des termes diagonaux.Autrement dit, pour une matrice triangulaireA= (aij)on a

detA= a

11a12... ... ...a1n

0a22... ... ...a2n............

0 ... ... ... 0ann

=a11a22ann. Comme cas particulièrement important on obtient :Corollaire 2. Le déterminant d"une matrice diagonale est égal au produit des termes diagonaux. DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT7

Démonstration.On traite le cas des matrices triangulaires supérieures (le cas des matrices triangulaires inférieures

est identique). Soit donc A=0 B

BBBB@a

11a12a13a1n

0a22a23a2n

0 0a33a3n...............

0 0 0ann1

C

CCCCA.

La façon de procéder utilise l"algorithme du pivot de Gauss (sur les colonnes, alors qu"il est en général défini sur les

lignes). Par linéarité par rapport à la première colonne, on a detA=a11

1a12a13a1n

0a22a23a2n

0 0a33a3n...............

0 0 0ann

On soustrait maintenant de chaque colonneCj, pourj>2, la colonneC1multipliée para1j. C"est l"opération

élémentaireCj Cja1jC1. Ceci ne modifie pas le déterminant d"après la section précédente. Il vient donc

detA=a11

1 0 00

0a22a23a2n

0 0a33a3n...............

0 0 0ann

Par linéarité par rapport à la deuxième colonne, on en déduit detA=a11a22

1 0 00

0 1a23a2n

0 0a33a3n...............

0 0 0ann

et l"on continue ainsi jusqu"à avoir parcouru toutes les colonnes de la matrice. Au bout denétapes, on a obtenu

detA=a11a22a33ann

1 0 00

0 1 00

0 0 10

0 0 01

=a11a22a33anndetIn,

d"où le résultat, car detIn=1, par (iii).2.4. Démonstration de l"existence du déterminant

La démonstration du théorème d"existence du déterminant, exposée ci-dessous, est ardue et pourra être gardée pour

une seconde lecture. Par ailleurs, l"unicité du déterminant, plus difficile, est admise.

Pour démontrer l"existence d"une application satisfaisant aux conditions (i), (ii), (iii) du théorème-définition

1 , on

donne une formule qui, de plus, nous offre une autre méthode de calcul pratique du déterminant d"une matrice, et

on vérifie que les propriétés caractéristiques des déterminants sont satisfaites. On retrouvera cette formule, dite de

développement par rapport à une ligne, en section 4.2

Notation.

SoitA2Mn(K)une matrice carrée de taillenn. Il est évident que si l"on supprime une ligne et une colonne

dansA, la matrice obtenue an1lignes etn1colonnes. On noteAi,jouAijla matrice obtenue en supprimant la

i-ème ligne et laj-ème colonne deA. Le théorème d"existence peut s"énoncer de la façon suivante :Théorème 2(Existence du déterminant).

Les formules suivantes définissent par récurrence, pourn>1, une application deMn(K)dansKqui satisfait aux

propriétés (i), (ii), (iii) caractérisant le déterminant : Déterminant d"une matrice11.Si a2Ket A= (a),detA=a. DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT8•

Formule de récurrence.Si A= (ai,j)est une matrice carrée de taille nn, alors pour tout i fixé

detA= (1)i+1ai,1detAi,1+(1)i+2ai,2detAi,2++(1)i+nai,ndetAi,n.Démonstration.La preuve se fait par récurrence sur l"ordre des matrices.

Initialisation.Dans le casn=1, il est évident que toutes les propriétés souhaitées sont satisfaites.

Hérédité.Supposons maintenant que l"applicationdet:Mn1(K)!Ksoit définie et satisfasse les propriétés (i), (ii)

et (iii). Pour faciliter l"exposition, la preuve va être faite pouri=n. SoitA= (ai,j)notée aussiA= (C1Cn)où

Cj=

‚a1,j

...an,jŒ est laj-ème colonne deA. On notera aussi¯Cj=

‚a1,j

...an1,jŒ la colonne à(n1)éléments, égale àCjprivée de son dernier coefficient.

Propriété (i).

Il s"agit de vérifier que l"application

A7!detA= (1)n+1an,1detAn,1+(1)n+2an,2detAn,2++(1)n+nan,ndetAn,n

est linéaire par rapport à chaque colonne. Nous allons le prouver pour la dernière colonne, c"est-à-dire que :

det(C1,...,Cn1,C0 n+C00 n) =det(C1,...,Cn1,C0 n)+det(C1,...,Cn1,C00 n).

NotonsA,A0,A00les matrices(C1Cn1C0

n+C00 n),(C1Cn1C0 n)et(C1Cn1C00 n), etAn,j,A0 n,j,A00 n,j

les sous-matrices extraites en enlevantn-ème ligne et laj-ème colonne. En comparant les différentes matrices,

on constate quea0 n,j=a00 n,j=an,jsijcolonnes identiques, et diffèrent par la dernière. Comme ce sont des déterminants de taillen1, on peut utiliser

l"hypothèse de récurrence : n+¯C00 n) n) n) =detA0 n,j+detA00 n,j Finalement, en mettant de côté dans la somme len-ème terme : detA= (1)n+1an,1detAn,1+(1)n+2an,2detA1,2++(1)n+nan,ndetAn,n n1X j=1(1)n+jan,jdetAn,jŒ +(1)2nan,ndetAn,nquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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