[PDF] Calculs de déterminants - Exo7 - Exercices de mathématiques
Calculer les déterminants des matrices suivantes : On a utilisé le fait que le déterminant d'une matrice diagonale (ou triangulaire) est le produit des
[PDF] Déterminants - Exo7 - Cours de mathématiques
DÉTERMINANTS 1 DÉTERMINANT EN DIMENSION 2 ET 3 3 v1 v2 v3 À partir de ces trois vecteurs on définit en juxtaposant les colonnes une matrice et un
[PDF] Déterminants - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 9 ***I Déterminer les matrices A carrées d'ordre n telles que pour toute matrice carrée B d'ordre n on a det(A+B) = detA+detB Correction ? [
[PDF] Déterminants - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 3 ***I Déterminants de VANDERMONDE Cas particulier : ?i ? [[1n]] ai = bi = i (déterminant de HILBERT) Correction ? [005638]
[PDF] Déterminants - Exo7 - Exercices de mathématiques
Déterminants Le but de cette feuille d'exercices est d'apprendre à calculer le déterminant d'une matrice de taille quelconque
[PDF] Calculs sur les matrices - Exo7 - Exercices de mathématiques
Ainsi aij = 0 (pour tout i j) autrement dit A est la matrice nulle Correction de l'exercice 5 ? 1 si le déterminant ad ?bc est non nul l'inverse est 1
[PDF] Systèmes déquations linéaires - Exo7 - Exercices de mathématiques
(d) Par les formules de Cramer Les formules de Cramer pour un système de deux équations sont les suivantes si le déterminant vérifie ad ?bc = 0 :
[PDF] Produit scalaire espaces euclidiens - Exo7
Exercice 5 ***I Matrices et déterminants de GRAM Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension p sur R (p ? 2) Pour (x1 xn) donné dans En
[PDF] cours-exo7pdf
Déterminants Droites et plans Courbes pa- ramétrés Géométrie affine et euclidienne Nombres réels Suites I Fonctions continues Zéros de fonctions
[PDF] fic00080pdf - Exo7 - Exercices de mathématiques
36 Déterminants 88 37 Calculs de déterminants 91 38 Rang de matrices 94 39 Projections 98 40 Réductions des endomorphismes
Exo7 - Cours de mathématiques
calculer en pratique les déterminants 2 2 Premières propriétés Nous connaissons déjà le déterminant de deux matrices : • le déterminant de la matrice nulle 0n vaut 0 (par la propriété (ii)) • le déterminant de la matrice identité In vaut 1 (par la propriété (iii))
Exo7 : Cours et exercices de mathématiques
Exo7 Déterminants Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette ?che sur www maths-france * très facile ** facile *** dif?culté moyenne **** dif?cile ***** très dif?cile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1 ** Montrer que 2a a+b a+c b+a 2b b+c c+a c+b 2c =4(b+c)(c+a)(a+b)
Déterminants
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1**SoientA=(ai;j)16i;j6nune matrice carrée etB=(bi;j)16i;j6noùbi;j=(1)i+jai;j. Calculer det(B)en fonction
de det(A). 0C oùA,BetCsont des matrices carrées de formats respectifsn,petqavecp+q=n. Montrer que det(A) =det(B)det(C). nulles. CalculerCn=det1a i+bj16i;j6n. Cas particulier :8i2[[1;n]],ai=bi=i(déterminant de HILBERT).
colonne inconnu. 1Soientx1,...,xnnentiers naturels tels quex1< ::: la matrice obtenue par1. On obtient la matriceAqui se déduit donc de la matriceBpar multiplication des lignes ou des colonnes par un nombre pair de1 (puisqu"il y a autant de lignes portant un numéro pair que de colonnes portant un numéro pair). Par suite, det(B) =det(A).Correction del"exer cice2 NSoientC2Mq(K)etD2Mp;q(K). Soitj:(Mp;1(K))p!K Ainsi,jest une formep-linéaire alternée sur l"espaceMp;1(K)qui est de dimensionp. On sait alors qu"il existel2Ktel quej=ldetB0(où detB0désigne la forme déterminant dans la base canonique deMp;1(K)) (en supposant acquise la valeur d"un déterminant triangulaire qui peut s"obtenir en revenant à la définition d"un =det(B)det(C).Correction del"exer cice3 NSoitnun entier naturel non nul. On noteL0,L1,...,Lnles lignes du déterminant Van(x0;:::;xn) A la ligne numérondu déterminant Van(x0;:::;xn), on ajoute une combinaison linéaire des lignes précédentes du typeLn Ln+ån1i=0liLi. La valeur du déterminant n"a pas changé mais sa dernière ligne s"écrit maintenant (P(x0);:::;P(xn))oùPest un polynôme unitaire de degrén. On choisit alors pourP(le choix desliéquivaut au choix deP) le polynômeP=Õn1i=0(Xxi)(qui est bien unitaire de degrén). La dernière ligne s"écrit alors(0;:::;0;P(xn+1))et en développant ce déterminant suivant cette dernière ligne, on obtient la relation de On suppose dorénavant que lesaisont deux à deux distincts de même que lesbj(et toujours que les sommes16i;j6nx
jxijiest un entier naturel. a 0a1:::an2an1
a n1a0...an2............... a 2......a1
a 1a2:::an1a0
=detA. Pour cela, on calculera d"abordAWoùW= (w(j1)(k1))16j;k6navecw=e2ip=n. Montrer quedest dérivable surRet calculerd0.
2. Application : calculer dn(x) =
x+1 1:::1 1 .........1 1:::1x+1
B A de format 2nest un réel positif. alors detA B C D =det(ADBC). Montrer que le résultat persiste siDn"est pas inversible. det(A+M) =detA+detM. Montrer queA=0. B BBBBBB@0::: :::0a0
1......a1
0............
.........0... 0:::0 1an11
C CCCCCCA. Calculer det(AxIn).
2 1. det AoùA2M2n(K)est telle queai;i=aetai;2n+1i=betai;j=0 sinon. 2. 1 0::: :::0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0::: :::0 1
3. 1::: :::1
... 0 1:::1 1 ............1 1 1:::1 0
et 0 1::: :::1
1 .........1 1::: :::1 0
(n>2) 4. (I) a b:::b b .........b b:::b a (n>2). Correction del"exer cice1 N1ère solution.
detB=å s2Sne(s)bs(1);1:::bs(n);n=å s2Sne(s)as(1);1:::as(n);n =detA: 2ème solution.On multiplie les lignes numéros 2, 4,... deBpar1 puis les colonnes numéros 2, 4,... de
PourX=Ip, on obtientl=detIpD
0C et donc 8B2Mp(K), detB D
0C =det(B)detIpD 0C De même, l"applicationY7!detIpD
0Y est une formeq-linéaire alternée des lignes deYet donc il existe m2Ktel que8Y2Mq(K), detIpD 0Y =mdet(Y)puisY=Iqfournitm=detIpD 0Iq et donc 8B2Mp(K),8C2Mq(K),8D2Mp;q(K),
detB D 0C =det(B)det(C)detIpD 0Iq =det(B)det(C), 8(B;C;D)2Mp(K)Mq(K)Mp;q(K), detB D
0C 8n2N;Van(x0;:::;xn) =P(xn)Van(x0;:::;xn1) =Õn1i=0(xnxi)Van(x0;:::;xn1).
En tenant compte de Van(x0) =1, on obtient donc par récurrence 8n2N;8(xi)06i6n2Kn;Van(xi)06i6n1=Õ06i
Soitn2N. On noteL1,...,Ln+1les lignes deCn+1.
On effectue surCn+1la transformationLn+1 ån+1i=1liLiavecln+16=0. On obtientCn+1=1l
n+1Dn+1oùDn+1est le déterminant obtenu en remplaçant la dernière ligne deCn+1par la iX+ai. On prendR=(Xb1):::(Xbn)(X+a1):::(X+an+1). • Puisque lesaisont distincts desbj,Rest irréductible. • Puisque lesaisont deux à deux distincts, les pôles deRsont simples. • Puisque deg((Xb1):::(Xbn))
8n2N;Cn+1=1l
n+1R(bn+1)Cn. Calculonsln+1. Puisquean+1est un pôle simple deR, ln+1=limx! an+1(x+an+1)R(x) =(an+1b1):::(an+1bn)(an+1+a1):::(an+1+an)=(an+1+b1):::(an+1+bn)(an+1a1):::(an+1an).
On en déduit que
1l n+1R(bn+1) =(an+1a1):::(an+1an)(an+1+b1):::(an+1+bn)(bn+1b1):::(bn+1bn)(bn+1+a1):::(bn+1+an) puis la relation de récurrence i=n+1 ouj=n+1(ai+bj)Cn.En tenant compte deC1=1a
1+b1, on obtient par récurrence
det 1a i+bj16i;j6n(ai+bj).(y compris dans les cas particuliers analysés en début d"exercice).
Calcul du déterminant de HILBERT. On est dans le cas particulier où8i2[[1;n]],ai=bi=i. D"abordVan(1;:::;n) =Õnj=2
Õj1
i=1(ji)Õnj=2(j1)!=Õn1j=1i!.
5 Puis Õ16i;j6n(i+j) =Õni=1Õnj=1(i+j)=Õni=1(i+n)!i!=et donc8n2N;Hn=(Õni=1i!)4n!2Õ2ni=1i!.Correction del"exer cice5 NLe déterminant du système estD=Van(1;:::;n)6=0. Le système proposé est donc un système de CRAMER.
Les formules de CRAMERdonnent :8j2[[1;n]],xj=DjD
où D j=1:::1 1 1:::1
1j1 0j+1n
1:::(j1)n10(j+1)n1:::nn1
= (1)j+11:::j1j+1:::n
1:::(j1)n1(j+1)n1:::nn1
(en développant suivant laj-ème colonne) = (1)j+11:::(j1)(j+1):::n1:::1 1:::1
1j1j+1n
1:::(j1)n2(j+1)n2:::nn2
(parnlinéarité) = (1)j+1n!jVan(1;:::;(j1);(j+1);:::;n) = (1)j+1n!j
= (1)j+1n!j!(nj)!Van(1;:::;n) = (1)j+1n jVan(1;:::;n):
Finalement,
8j2[[1;n]],xj= (1)j+1n
j.Correction del"exer cice6 NOnnoteC1,...,Cnlescolonnesdudéterminantdel"énoncépuisonposeC=(cos(ai))16i6netS=(sin(ai))16i6n.
Pour toutj2[[1;n]],Cj=sin(aj)C+cos(aj)S. Ainsi, les colonnes de la matrice proposée sont dans Vect(C;S)
qui est un espace de dimension au plus deux et donc, sin>3, det(sin(ai+aj))16i;j6n=0.6Sin=2, on asin(2a1)sin(a1+a2)
sin(a1+a2)sin(2a2)=sin(2a1)sin(2a2)sin2(a1+a2).Correction del"exer cice7 NSoient les vecteurs colonnesA= (ai)16i6netU= (1)16i6n.
8j2[[1;n]],Cj=A+bjU. Les colonnes de la matrice proposée sont dans un espace de dimension au plus deux
et donc, sin>3, det(ai+bj)16i;j6n=0.Sin=2, on aa1+b1a1+b2
a2+b1a2+b2
= (a1+b1)(a2+b2)(a1+b2)(a2+b1) =a1b2+a2b1a1b1a2b2= (a2a1)(b1b2).Correction del"exer cice8 NPour toutj2[[1;n]], C j= ((a+i+j)2)16i6n=j2(1)16i6n+2(a+j)(i)16i6n+(i2)16i6n. Les colonnes de la matrice proposée sont dans un espace de dimension au plus trois et donc, sin>4, det((a+i+j)2)16i;j6n=0.Le calcul est aisé pourn2 f1;2;3g.Correction del"exer cice9 Nx jxijiest déjà un rationnel strictement positif. PosonsPi=1 sii=1, et sii>2,Pi=X(X1):::(X(i2))(i1)!.Puisque, pouri2[[1;n]], deg(Pi) =i1, on sait que la famille(Pi)16i6nest une base deQn1[X]. De plus, pour
i>2,PiXi1(i1)!est de degréi2 et est donc combinaison linéaire deP1,P2,...,Pi2ou encore, pour 26i6n,
la ligne numéroidu déterminant det C i1xj16i;j6nest somme de la ligne
xi1j(i1)!16j6net d"une combinaison
linéaire des lignes qui la précède. En partant de la dernière ligne et en remontant jusqu"à la deuxième, on
retranche la combinaison linéaire correspondante des lignes précedentes sans changer la valeur du déterminant.
On obtient par linéarité par rapport à chaque ligne det C i1xj16i;j6n=1Õ
ni=1(i1)!Van(x1;:::;xn) =Õ16iFinalement,
16i jxiji=det C i1xj 16i;j6n2N.Correction del"exer cice10 NLe coefficient lignej, colonnek,(j;k)2[[1;n]]2, de la matriceAvautakjavec la convention : si(n1)6
u61,au=an+u. Le coefficient lignej, colonnek,(j;k)2[[1;n]]2, de la matriceAWvaut 7 n u=1a ujw(u1)(k1)=njå v=(j1)a vw(v+j1)(k1)=1å v=(j1)a vw(v+j1)(k1)+njå v=0a vw(v+j1)(k1) 1å v=(j1)a v+nw(v+n+j1)(k1)+njå u=0a uw(u+j1)(k1)(carav+n=avetwn=1) n1å u=nj+1a uw(u+j1)(k1)+njå u=0a uw(u+j1)(k1)=n1å u=0a uw(u+j1)(k1) =w(j1)(k1)n1å u=0a uwu(k1): Pourk2[[1;n]], posonsSk=ån1u=0auwu(k1). Le coefficient lignej, colonnekdeAWvaut doncw(j1)(k1)Sk. Par passage au détereminant, on en déduit que : det(AW) =detw(j1)(k1)Sk 16j;k6n= (Õnk=1Sk)det(w(j1)(k1))16j;k6n
(Skest en facteur de la colonnek) ou encore(detA)(detW) = (Õnk=1Sk)(detW). Enfin,West la matrice de VANDERMONDEdes racinesn-èmes de l"unité et est donc inversible puisque celles-ci sont deux à deux
distinctes. Par suite detW6=0 et après simplification on obtient detA=Õnk=1SkoùSk=ån1u=0auwu(k1).Par exemple, a b c c a b b c a =S1S2S3= (a+b+c)(a+jb+j2c)(a+j2b+jc)oùj=e2ip=3. Un calcul bien plus simple sera fourni dans la planche Réduction .Correction del"exer cice11 N1.d=ås2Sne(s)as(1);1:::as(n);nest dérivable surRen tant que combinaison linéaire de produits de
fonctions dérivables surRet de plus d 0=å
s2Sne(s)(as(1);1:::as(n);n)0=å s2Sne(s)nå i=1a s(1);1:::a0s(i);i:::as(n);n=nå i=1å s2Sne(s)as(1);1:::a0s(i);i:::as(n);n nå i=1det(C1;:::;C0i;:::;Cn) (oùC1;:::;Cnsont les colonnes de la matrice): 2.1 ère solution.D"après ce qui précède, la fonctiondnest dérivable surRet pourn>2 etxréel, on a
8 d 0n(x) =nå
i=1 x+1 1:::1 0 1::: :::1 1 .........1... ...x+1 0... ... 1 1 1 ... 0x+1... ... 1......... ..................1 1::: :::1 0 1:::1x+1
(la colonne particulière est la colonnei) nå i=1d n1(x)(en développant lei-ème déterminant par rapport à sai-ème colonne) =ndn1(x): En résumé,8n>2,8x2R,dn(x) =ndn1(x). D"autre part8x2R,d1(x) =x+1 et8n>2,dn(0) =0 (déterminant ayant deux colonnes identiques). Montrons alors par récurrence que8n>1,8x2R,dn(x) =xn+nxn1. • C"est vrai pourn=1. • Soitn>1. Supposons que8n>1,8x2R,dn(x) =xn+nxn1. Alors, pourx2R, d n+1(x) =dn+1(0)+Rxquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
16i;j6n2N.Correction del"exer cice10 NLe coefficient lignej, colonnek,(j;k)2[[1;n]]2, de la matriceAvautakjavec la convention : si(n1)6
u61,au=an+u. Le coefficient lignej, colonnek,(j;k)2[[1;n]]2, de la matriceAWvaut 7 n u=1a ujw(u1)(k1)=njå v=(j1)a vw(v+j1)(k1)=1å v=(j1)a vw(v+j1)(k1)+njå v=0a vw(v+j1)(k1) 1å v=(j1)a v+nw(v+n+j1)(k1)+njå u=0a uw(u+j1)(k1)(carav+n=avetwn=1) n1å u=nj+1a uw(u+j1)(k1)+njå u=0a uw(u+j1)(k1)=n1å u=0a uw(u+j1)(k1) =w(j1)(k1)n1å u=0a uwu(k1): Pourk2[[1;n]], posonsSk=ån1u=0auwu(k1). Le coefficient lignej, colonnekdeAWvaut doncw(j1)(k1)Sk. Par passage au détereminant, on en déduit que : det(AW) =detw(j1)(k1)Sk16j;k6n= (Õnk=1Sk)det(w(j1)(k1))16j;k6n
(Skest en facteur de la colonnek) ou encore(detA)(detW) = (Õnk=1Sk)(detW). Enfin,West la matricede VANDERMONDEdes racinesn-èmes de l"unité et est donc inversible puisque celles-ci sont deux à deux
distinctes. Par suite detW6=0 et après simplification on obtient detA=Õnk=1SkoùSk=ån1u=0auwu(k1).Par exemple, a b c c a b b c a =S1S2S3= (a+b+c)(a+jb+j2c)(a+j2b+jc)oùj=e2ip=3.Un calcul bien plus simple sera fourni dans la planche Réduction .Correction del"exer cice11 N1.d=ås2Sne(s)as(1);1:::as(n);nest dérivable surRen tant que combinaison linéaire de produits de
fonctions dérivables surRet de plus d0=å
s2Sne(s)(as(1);1:::as(n);n)0=å s2Sne(s)nå i=1a s(1);1:::a0s(i);i:::as(n);n=nå i=1å s2Sne(s)as(1);1:::a0s(i);i:::as(n);n nå i=1det(C1;:::;C0i;:::;Cn) (oùC1;:::;Cnsont les colonnes de la matrice):2.1 ère solution.D"après ce qui précède, la fonctiondnest dérivable surRet pourn>2 etxréel, on a
8 d0n(x) =nå
i=1 x+1 1:::1 0 1::: :::1 1 .........1... ...x+1 0... ... 1 1 1 ... 0x+1... ... 1......... ..................11::: :::1 0 1:::1x+1
(la colonne particulière est la colonnei) nå i=1d n1(x)(en développant lei-ème déterminant par rapport à sai-ème colonne) =ndn1(x): En résumé,8n>2,8x2R,dn(x) =ndn1(x). D"autre part8x2R,d1(x) =x+1 et8n>2,dn(0) =0 (déterminant ayant deux colonnes identiques). Montrons alors par récurrence que8n>1,8x2R,dn(x) =xn+nxn1. • C"est vrai pourn=1. • Soitn>1. Supposons que8n>1,8x2R,dn(x) =xn+nxn1. Alors, pourx2R, d n+1(x) =dn+1(0)+Rxquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] Le Mille Marin /le N
[PDF] Calcul de la distance entre deux points1 - ipnas
[PDF] La distance horizontale entre deux points - Géodésie, Topographie
[PDF] Vitesse et distance d 'arrêt
[PDF] Vitesse et distance d arrêt
[PDF] La génétique - Free
[PDF] Comment obtenir la distance entre deux points connus - Géodésie
[PDF] Calcul de la distance entre deux points
[PDF] ET3 - RESEAUX: Présentation et dimensionnement des installations
[PDF] DONNEES TECHNIQUES
[PDF] LE SALAIRE
[PDF] Caisse Nationale de l 'Assurance Maladie - Cnamts
[PDF] La mesure de la pauvreté - Insee
[PDF] Pauvreté - Insee