[PDF] [PDF] Déterminants - Exo7 - Exercices de mathématiques

View - Download [PDF] Déterminants - Exo7 - Exercices de mathématiques

Previous PDF

Next PDF

Exo7

Déterminants

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1**Montrer que

2a a+b a+c

b+a2b b+c c+a c+b2c =4(b+c)(c+a)(a+b).

X a b c

a X c b b c X a c b a X 1. det (jijj)16i;j6n 2. det (sin(ai+aj))16i;j6n(a1,...,anétantnréels donnés) 3. a0::: :::b

0a...b0

... 0...0... ... 0...0... 0b a0 b0::: :::a 4.

1 1:::1

1 1 0:::0

... 0......... .........1 0

1 0:::0 1

5. det (Cj1 n+i1)16i;j6p+1 6.

X1 0::: :::0

0X1......

............0

0::: :::0X1

a

0::: :::an2an1X

1 i+bj

16i;j6noùa1,...,an,b1,...,bnsont 2nréels tels que toutes les sommesai+bjsoient non nulles.

Calculer detA(en généralisant l"idée du calcul d"un déterminant de VANDERMONDEpar l"utilisation d"une

fraction rationnelle) et en donner une écriture condensée dans le casai=bi=i. B

BBBB@1 1::: :::1

1 2::: :::n

1 2

2::: :::n2

1 2 n1::: :::nn11 C

CCCCA.

B A

2M2n(R). Montrer que detC>0.

detA+detB. B

BBBBBBB@a

1a2::: :::an

a na1a2an1 a n1ana1an2............ a

2a3:::ana11

C CCCCCCCAetP= (w(k1)(l1))16k;l6noùw=e2ip=n. CalculerP2etPA.

En déduire detA.

Exercice 12***I Dérivée d"un déterminantSoientai;j((i;j)élémentdef1;:::;ng2)n2fonctionsdeRdansR, dérivablessurRetA=(ai;j)16i;j6n. Calculer

la dérivée de la fonctionx7!det(A(x)).

Applications. Calculer

1. x+1 1:::1

1x+1......

.........1

1::: :::1x+1

2. x+a1x:::x x x+a2...... .........x x::: :::x x+an 1.

0 1:::1

1 0 ......0 1

1::: :::1 0

et

1 1:::1

1 0 ......0 1

1::: :::1 0

2. det ((i+j1)2) 3. a b:::b b a ......a b b::: :::b a 4. a

1+x c+x::: :::c+x

b+x a2+x...... ......an1+x c+x b+x::: :::b+x an+x b,ccomplexes distincts 5.

2 1 0:::0

1 2 0 .........0 .........2 1

1:::0 1 2

Correction del"exer cice1 NSoit(a;b;c)2R3. NotonsDle déterminant de l"énoncé. Pourxréel, on poseD(x) =

2x x+b x+c

b+x2b b+c c+x c+b2c

(de sorte queD=D(a))).Dest un polynôme de degré inférieur ou égal à 2. Le coefficient dex2vaut

(2c)+(b+c)+(b+c)(2b) =4(b+c): Puis,

D(b) =

2b0b+c

02b b+c

cb c+b2c =2b(4bc(b+c)2)+2b(cb)2=0;

et par symétrie des rôles debetc,D(c) =0. De ce qui précède, on déduit que sib6=c,D(x) =4(b+c)(x+

b)(x+c)(même sib+c=0 car alorsDest un polynôme de degré infèrieur ou égal à 1 admettant au moins

deux racines distinctes et est donc le polynôme nul). Ainsi, sib6=c(ou par symétrie des roles, sia6=bou

a6=c), on a :D=4(b+c)(a+b)(a+c). Un seul cas n"est pas encore étudié à savoir le cas oùa=b=c. Dans

ce cas,

D(a) =

2a2a2a

2a2a2a

2a2a2a

=8a3 1 1 1 11 1 1 11 =32a3=4(a+a)(a+a)(a+a);

ce qui démontre l"identité proposée dans tous les cas (on pouvait aussi conclure en constatant que, pouraetb

fixés, la fonctionDest une fonction continue decet on obtient la valeur deDpourc=ben faisant tendrecvers

bdans l"expression deDdéjà connue pourc6=b). D=4(a+b)(a+c)(b+c).Correction del"exer cice2 NSoitP=

X a b c

a X c b b c X a c b a X .Pest un polynôme unitaire de degré 4. En remplaçantC1parC1+C2+C3+C4et

par linéarité par rapport à la première colonne, on voit quePest divisible par(X+a+b+c). Mais aussi, en

remplaçantC1parC1C2C3+C4ouC1C2+C3C4ouC1+C2C3C4, on voit quePest divisible par (Xab+c)ou(Xa+bc)ou(X+abc).1er cas.Si les quatre nombresabc,a+b+c,

ab+ceta+bcsont deux à deux distincts,Pest unitaire de degré 4 et divisible par les quatre facteurs de

degré 1 précédents, ceux-ci étant deux à deux premiers entre eux. Dans ce cas,P= (X+a+b+c)(X+a+b

c)(X+ab+c)(Xa+b+c).2ème cas.Deux au moins des quatre nombresabc,a+b+c,ab+c eta+bcsontégaux. Notonsalorsqueabc=a+bc,b=aetquea+b+c=ab+c,a=b. Par symétrie des roles, deux des quatre nombresabc,a+b+c,ab+ceta+bcsont égaux si et

seulement si deux des trois nombresjaj,jbjoujcjsont égaux. On conclut dans ce cas que l"expression deP

précédemment trouvée reste valable par continuité par rapport àa,bouc. P= (X+a+b+c)(X+a+bc)(X+ab+c)(Xa+b+c).Correction del"exer cice3 N4

1.Pour n>2, posonsDn=

0 1 2:::n1

1 0 1n2

2 1 0 .........1 n1n2:::1 0 . Tout d"abord, on fait apparaître beaucoup de 1. Pour cela, on effectue les transformationsC1 C1C2puisC2 C2C3puis ...puisCn1= C n1Cn. On obtient D n=det(C1C2;C2C3;:::;Cn1Cn;Cn) =

11:::1n1

11...n2

1 11......

......1 1

1 1:::1 0

On fait alors apparaître un déterminant triangulaire en constatant que det(L1;L2;:::;Ln) =det(L1;L2+

L

1;:::;Ln1+L1;Ln+L1). On obtient

D n=

1::: :::

02......

0 0 ......2

0::: :::0n1

= (1n)(2)n2:

8n>2;Dn= (1n)(2)n2.2.8(i;j)2[[1;n]]2;sin(ai+aj) =sinaicosaj+cosaisinajet donc si on poseC=0

B

BB@cosa1

cosa2... cosan1 C

CCAetS=

0 B

BB@sina1

sina2... sinan1 C CCA, on a8j2[[1;n]];Cj=cosajS+sinajC. En particulier, Vect(C1;:::;Cn)Vect(C;S)et le rang de la matrice proposée est inférieur ou égal à 2. Donc,

8n>3;det(sin(ai+aj))16i;j6n=0:Sin=2, det(sin(ai+aj))16i;j62=sin(2a1)sin(2a2)sin2(a1+a2).

3. L "exercicen"a de sens que si le format nest pair. Posonsn=2poùpest un entier naturel non nul. 5 D n= a0::: :::0b 0 ...0 0 0 ... 0a b0... ... 0b a0... 0 0 0 ...0 b0::: :::0a a+b0::: :::0b 0 ...0 0 0 ... 0a+b b0... ... 0b+a a0... 0 0 0 ...0 b+a0::: :::0a (pour 16j6p;Cj Cj+C2p+1j) = (a+b)p

1 0::: :::0b

0 ...0 0 0 ... 0 1b0... ... 0 1a0... 0 0 0 ...0

1 0::: :::0a

(par linéarité par rapport aux colonnesC1;C2;:::;Cp) = (a+b)p

1 0::: :::0b

0 ...0 0 0 ... 0 1b0... ...ab0... .........0

0 0::: :::0ab

(pourp+16i62p;Li LiL2p+1i): etDn= (a+b)p(ab)p= (a2b2)p.

8p2N;D2p= (a2b2)p.4.On retranche à la première colonne la somme de toutes les autres et on obtient

D n=

1 1:::1

1 1 0:::0

... 0......... .........1 0

1 0:::0 1

(n2)1:::1

0 1 0:::0

......1 0

0::: :::0 1

=(n2): 5.

Pour 1 6i6p,

L i+1Li= (C0n+iC0n+i1;C1n+iC1n+i1;:::;Cp n+iCp n+i1) = (0;C0n+i1;C1n+i1;:::;Cp1 n+i1): On remplace alors dans cet ordreLpparLpLp1puisLp1parLp1Lp2puis ... puisL2parL2L1 pour obtenir, avec des notations évidentes det(Ap) =1 0Ap1 =det(Ap1):

Par suite, det(Ap) =det(Ap1) =:::=det(A1) =1.

6

6.En dév eloppantsui vantla dernière ligne, on obtient :

D n= (an1X)(X)n1+n2å k=0(1)n+k+1akDk; oùDk= X1 00 ...10 0X0 01 0 0 X...0

0 00X1

= (1)kXket donc

8n>2;Dn= (1)nXnån1k=0akXk:Correction del"exer cice4 NSi deux desbjsont égaux, det(A)est nul car deux de ses colonnes sont égales. On suppose dorénavant que les

b jsont deux à deux distincts. Soientl1,...,ln,nnombres complexes tels queln6=0. On a detA=1l ndet(C1;:::;Cn1;nå j=1l jCj) =detB; où la dernière colonne deBest de la forme(R(ai))16i6navecR=ånj=1l jX+bj. On prendR=(Xa1):::(Xan1)(X+b1):::(X+bn).R

ainsi définie est irréductible (car8(i;j)2[[1;n]]2;ai6=bj). Les pôles deRsont simples et la partie entière de

Rest nulle. La décomposition en éléments simples deRa bien la forme espérée. Pour ce choix deR, puisque

R(a1) =:::=R(an1) =0, on obtient en développant suivant la dernière colonne D n=1l nR(an)Dn1; avec l n=limz!bn(z+bn)R(z) =(bna1):::(bnan1)(bn+b1):::(bn+bn1)=(a1+bn):::(an1+bn)(bnb1):::(bnbn1): Donc En réitérant et compte tenu deD1=1, on obtient D n=Õ16i16i;j6n(ai+bj):Dans le cas particulier où8i2[[1;n]];ai=bi=i, en notantHnle déterminant (de HILBERT) à calculer : H n=Van(1;2;:::;n)2Õ

16i;j6n(i+j). Mais,

16i;j6n(i+j) =nÕ

i=1 nÕ j=1(i+j)! =nÕ i=1(n+i)!i!=Õ2nk=1k!(

Õnk=1k!)2;

et d"autre part,

Van(1;2;:::;n) =Õ

16i i=1 nÕ j=i+1(ji)! =n1Õ i=1(ni)!=1n!nÕ k=1k!: Donc, 7

8n>1;Hn=(Õnk=1k!)3n!2Õ2nk=1k!.Correction del"exer cice5 NOn procède par récurrence surn>1. • Pourn=1, c"est clair. • Soitn>1. Supposons que tout déterminantDn

de formatnet du type de l"énoncé soit divisible par 2n1. SoitDn+1un déterminant de formatn+1, du type de

l"énoncé. Si tous les coefficientsai;jdeDn+1sont égaux à 1, puisquen+1>2,Dn+1a deux colonnes égales

et est donc nul. Dans ce cas,Dn+1est bien divisible par 2n. Sinon, on va changer petit à petit tous les1 en 1.

Soit(i;j)un couple d"indices tel queai;j=1 etD0n+1le déterminant dont tous les coefficients sont égaux à

ceux deDn+1sauf le coefficient ligneiet colonnejqui est égal à 1. D n+1D0n+1=det(C1;:::;Cj;:::;Cn)det(C1;:::;C0j;:::;Cn) =det(C1;:::;CjC0j;:::;Cn); oùCjC0j=0 B

BBBBBBBBB@0

0 2 0 01 C CCCCCCCCCA(2 en lignei). En développant ce dernier déterminant suivant saj-ème colonne, on obtient : D n+1D0n+1=2Dn;

oùDnest un déterminant de formatnet du type de l"énoncé. Par hypothèse de récurrence,Dnest divisible par

2

n1et doncDn+1D0n+1est divisible par 2n. Ainsi, en changeant les1 en 1 les uns après les autres, on

obtient D n+1 1:::1 1:::1 (mod 2n).

Ce dernier déterminant étant nul, le résultat est démontré par récurrence.Correction del"exer cice6 ND=detM=Van(1;2;:::;n)6=0 et le système est de CRAMER. Les formules de CRAMERfournissent alors pour

k2[[1;n]],xk=DkD où D k=Van(1;:::;k1;0;k+1;:::;n) = (1)k+1

1:::k1k+1:::n

1(k1)2(k+1)2n2

1(k1)n1(k+1)n1nn1

(en développant par rapport à lak-ème colonne). Par linéarité par rapport à chaque colonne, on a alors

D k= (1)k+112:::(k1)(k+1):::nVan(1;2;:::;k1;k+1;:::;n) = (1)k+1n!k Van(1;2;:::;n)(k(k1)):::(k1)((k+1)k)::::(nk)= (1)k+1n!k!(nk)!D; et donc, 8

8k2[[1;n]];xk= (1)k+1Ckn.Correction del"exer cice7 NEn remplaçant les colonnesC1,...,Cnpar respectivementC1+iCn+1,...,Cn+iC2n, on obtient :

detC=detA+iB B

B+iA A

puis en remplaçant les lignesLn+1,...,L2nde la nouvelle matrice par respectivementLn+1iL1,...,L2niLn, on

obtient : detC=detA+iB B 0AiB =det(A+iB)det(AiB) =jdet(A+iB)j22R+:Correction del"exer cice8 N1ère solution.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

[PDF] Chapitre 1: Distribution Statistique ? une dimension

[PDF] Le Mille Marin /le N

[PDF] Calcul de la distance entre deux points1 - ipnas

[PDF] La distance horizontale entre deux points - Géodésie, Topographie

[PDF] Vitesse et distance d 'arrêt

[PDF] Vitesse et distance d arrêt

[PDF] La génétique - Free

[PDF] Comment obtenir la distance entre deux points connus - Géodésie

[PDF] Calcul de la distance entre deux points

[PDF] ET3 - RESEAUX: Présentation et dimensionnement des installations

[PDF] DONNEES TECHNIQUES

[PDF] LE SALAIRE

[PDF] Caisse Nationale de l 'Assurance Maladie - Cnamts

[PDF] La mesure de la pauvreté - Insee

[PDF] Pauvreté - Insee