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Calculer les déterminants des matrices suivantes : On a utilisé le fait que le déterminant d'une matrice diagonale (ou triangulaire) est le produit des
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DÉTERMINANTS 1 DÉTERMINANT EN DIMENSION 2 ET 3 3 v1 v2 v3 À partir de ces trois vecteurs on définit en juxtaposant les colonnes une matrice et un
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Exercice 9 ***I Déterminer les matrices A carrées d'ordre n telles que pour toute matrice carrée B d'ordre n on a det(A+B) = detA+detB Correction ? [
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Exercice 3 ***I Déterminants de VANDERMONDE Cas particulier : ?i ? [[1n]] ai = bi = i (déterminant de HILBERT) Correction ? [005638]
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Déterminants Le but de cette feuille d'exercices est d'apprendre à calculer le déterminant d'une matrice de taille quelconque
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Ainsi aij = 0 (pour tout i j) autrement dit A est la matrice nulle Correction de l'exercice 5 ? 1 si le déterminant ad ?bc est non nul l'inverse est 1
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(d) Par les formules de Cramer Les formules de Cramer pour un système de deux équations sont les suivantes si le déterminant vérifie ad ?bc = 0 :
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Exercice 5 ***I Matrices et déterminants de GRAM Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension p sur R (p ? 2) Pour (x1 xn) donné dans En
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Déterminants Droites et plans Courbes pa- ramétrés Géométrie affine et euclidienne Nombres réels Suites I Fonctions continues Zéros de fonctions
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36 Déterminants 88 37 Calculs de déterminants 91 38 Rang de matrices 94 39 Projections 98 40 Réductions des endomorphismes
Exo7 - Cours de mathématiques
calculer en pratique les déterminants 2 2 Premières propriétés Nous connaissons déjà le déterminant de deux matrices : • le déterminant de la matrice nulle 0n vaut 0 (par la propriété (ii)) • le déterminant de la matrice identité In vaut 1 (par la propriété (iii))
Exo7 : Cours et exercices de mathématiques
Exo7 Déterminants Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette ?che sur www maths-france * très facile ** facile *** dif?culté moyenne **** dif?cile ***** très dif?cile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1 ** Montrer que 2a a+b a+c b+a 2b b+c c+a c+b 2c =4(b+c)(c+a)(a+b)
Déterminants
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le coursExercice 1**Montrer que
2a a+b a+c
b+a2b b+c c+a c+b2c =4(b+c)(c+a)(a+b).X a b c
a X c b b c X a c b a X 1. det (jijj)16i;j6n 2. det (sin(ai+aj))16i;j6n(a1,...,anétantnréels donnés) 3. a0::: :::b0a...b0
... 0...0... ... 0...0... 0b a0 b0::: :::a 4.1 1:::1
1 1 0:::0
... 0......... .........1 01 0:::0 1
5. det (Cj1 n+i1)16i;j6p+1 6.X1 0::: :::0
0X1......
............00::: :::0X1
a0::: :::an2an1X
1 i+bj16i;j6noùa1,...,an,b1,...,bnsont 2nréels tels que toutes les sommesai+bjsoient non nulles.
Calculer detA(en généralisant l"idée du calcul d"un déterminant de VANDERMONDEpar l"utilisation d"une
fraction rationnelle) et en donner une écriture condensée dans le casai=bi=i. BBBBB@1 1::: :::1
1 2::: :::n
1 22::: :::n2
1 2 n1::: :::nn11 CCCCCA.
B A2M2n(R). Montrer que detC>0.
detA+detB. BBBBBBBB@a
1a2::: :::an
a na1a2an1 a n1ana1an2............ a2a3:::ana11
C CCCCCCCAetP= (w(k1)(l1))16k;l6noùw=e2ip=n. CalculerP2etPA.En déduire detA.
Exercice 12***I Dérivée d"un déterminantSoientai;j((i;j)élémentdef1;:::;ng2)n2fonctionsdeRdansR, dérivablessurRetA=(ai;j)16i;j6n. Calculer
la dérivée de la fonctionx7!det(A(x)).Applications. Calculer
1. x+1 1:::11x+1......
.........11::: :::1x+1
2. x+a1x:::x x x+a2...... .........x x::: :::x x+an 1.0 1:::1
1 0 ......0 11::: :::1 0
et1 1:::1
1 0 ......0 11::: :::1 0
2. det ((i+j1)2) 3. a b:::b b a ......a b b::: :::b a 4. a1+x c+x::: :::c+x
b+x a2+x...... ......an1+x c+x b+x::: :::b+x an+x b,ccomplexes distincts 5.2 1 0:::0
1 2 0 .........0 .........2 11:::0 1 2
Correction del"exer cice1 NSoit(a;b;c)2R3. NotonsDle déterminant de l"énoncé. Pourxréel, on poseD(x) =
2x x+b x+c
b+x2b b+c c+x c+b2c(de sorte queD=D(a))).Dest un polynôme de degré inférieur ou égal à 2. Le coefficient dex2vaut
(2c)+(b+c)+(b+c)(2b) =4(b+c): Puis,D(b) =
2b0b+c
02b b+c
cb c+b2c =2b(4bc(b+c)2)+2b(cb)2=0;et par symétrie des rôles debetc,D(c) =0. De ce qui précède, on déduit que sib6=c,D(x) =4(b+c)(x+
b)(x+c)(même sib+c=0 car alorsDest un polynôme de degré infèrieur ou égal à 1 admettant au moins
deux racines distinctes et est donc le polynôme nul). Ainsi, sib6=c(ou par symétrie des roles, sia6=bou
a6=c), on a :D=4(b+c)(a+b)(a+c). Un seul cas n"est pas encore étudié à savoir le cas oùa=b=c. Dans
ce cas,D(a) =
2a2a2a
2a2a2a
2a2a2a
=8a3 1 1 1 11 1 1 11 =32a3=4(a+a)(a+a)(a+a);ce qui démontre l"identité proposée dans tous les cas (on pouvait aussi conclure en constatant que, pouraetb
fixés, la fonctionDest une fonction continue decet on obtient la valeur deDpourc=ben faisant tendrecvers
bdans l"expression deDdéjà connue pourc6=b). D=4(a+b)(a+c)(b+c).Correction del"exer cice2 NSoitP=X a b c
a X c b b c X a c b a X .Pest un polynôme unitaire de degré 4. En remplaçantC1parC1+C2+C3+C4etpar linéarité par rapport à la première colonne, on voit quePest divisible par(X+a+b+c). Mais aussi, en
remplaçantC1parC1C2C3+C4ouC1C2+C3C4ouC1+C2C3C4, on voit quePest divisible par (Xab+c)ou(Xa+bc)ou(X+abc).1er cas.Si les quatre nombresabc,a+b+c,ab+ceta+bcsont deux à deux distincts,Pest unitaire de degré 4 et divisible par les quatre facteurs de
degré 1 précédents, ceux-ci étant deux à deux premiers entre eux. Dans ce cas,P= (X+a+b+c)(X+a+b
c)(X+ab+c)(Xa+b+c).2ème cas.Deux au moins des quatre nombresabc,a+b+c,ab+c eta+bcsontégaux. Notonsalorsqueabc=a+bc,b=aetquea+b+c=ab+c,a=b. Par symétrie des roles, deux des quatre nombresabc,a+b+c,ab+ceta+bcsont égaux si etseulement si deux des trois nombresjaj,jbjoujcjsont égaux. On conclut dans ce cas que l"expression deP
précédemment trouvée reste valable par continuité par rapport àa,bouc. P= (X+a+b+c)(X+a+bc)(X+ab+c)(Xa+b+c).Correction del"exer cice3 N41.Pour n>2, posonsDn=
0 1 2:::n1
1 0 1n2
2 1 0 .........1 n1n2:::1 0 . Tout d"abord, on fait apparaître beaucoup de 1. Pour cela, on effectue les transformationsC1 C1C2puisC2 C2C3puis ...puisCn1= C n1Cn. On obtient D n=det(C1C2;C2C3;:::;Cn1Cn;Cn) =11:::1n1
11...n2
1 11......
......1 11 1:::1 0
On fait alors apparaître un déterminant triangulaire en constatant que det(L1;L2;:::;Ln) =det(L1;L2+
L1;:::;Ln1+L1;Ln+L1). On obtient
D n=1::: :::
02......
0 0 ......20::: :::0n1
= (1n)(2)n2:8n>2;Dn= (1n)(2)n2.2.8(i;j)2[[1;n]]2;sin(ai+aj) =sinaicosaj+cosaisinajet donc si on poseC=0
BBB@cosa1
cosa2... cosan1 CCCAetS=
0 BBB@sina1
sina2... sinan1 C CCA, on a8j2[[1;n]];Cj=cosajS+sinajC. En particulier, Vect(C1;:::;Cn)Vect(C;S)et le rang de la matrice proposée est inférieur ou égal à 2. Donc,8n>3;det(sin(ai+aj))16i;j6n=0:Sin=2, det(sin(ai+aj))16i;j62=sin(2a1)sin(2a2)sin2(a1+a2).
3. L "exercicen"a de sens que si le format nest pair. Posonsn=2poùpest un entier naturel non nul. 5 D n= a0::: :::0b 0 ...0 0 0 ... 0a b0... ... 0b a0... 0 0 0 ...0 b0::: :::0a a+b0::: :::0b 0 ...0 0 0 ... 0a+b b0... ... 0b+a a0... 0 0 0 ...0 b+a0::: :::0a (pour 16j6p;Cj Cj+C2p+1j) = (a+b)p1 0::: :::0b
0 ...0 0 0 ... 0 1b0... ... 0 1a0... 0 0 0 ...01 0::: :::0a
(par linéarité par rapport aux colonnesC1;C2;:::;Cp) = (a+b)p1 0::: :::0b
0 ...0 0 0 ... 0 1b0... ...ab0... .........00 0::: :::0ab
(pourp+16i62p;Li LiL2p+1i): etDn= (a+b)p(ab)p= (a2b2)p.8p2N;D2p= (a2b2)p.4.On retranche à la première colonne la somme de toutes les autres et on obtient
D n=1 1:::1
1 1 0:::0
... 0......... .........1 01 0:::0 1
(n2)1:::10 1 0:::0
......1 00::: :::0 1
=(n2): 5.Pour 1 6i6p,
L i+1Li= (C0n+iC0n+i1;C1n+iC1n+i1;:::;Cp n+iCp n+i1) = (0;C0n+i1;C1n+i1;:::;Cp1 n+i1): On remplace alors dans cet ordreLpparLpLp1puisLp1parLp1Lp2puis ... puisL2parL2L1 pour obtenir, avec des notations évidentes det(Ap) =1 0Ap1 =det(Ap1):Par suite, det(Ap) =det(Ap1) =:::=det(A1) =1.
66.En dév eloppantsui vantla dernière ligne, on obtient :
D n= (an1X)(X)n1+n2å k=0(1)n+k+1akDk; oùDk= X1 00 ...10 0X0 01 0 0 X...00 00X1
= (1)kXket donc8n>2;Dn= (1)nXnån1k=0akXk:Correction del"exer cice4 NSi deux desbjsont égaux, det(A)est nul car deux de ses colonnes sont égales. On suppose dorénavant que les
b jsont deux à deux distincts. Soientl1,...,ln,nnombres complexes tels queln6=0. On a detA=1l ndet(C1;:::;Cn1;nå j=1l jCj) =detB; où la dernière colonne deBest de la forme(R(ai))16i6navecR=ånj=1l jX+bj. On prendR=(Xa1):::(Xan1)(X+b1):::(X+bn).Rainsi définie est irréductible (car8(i;j)2[[1;n]]2;ai6=bj). Les pôles deRsont simples et la partie entière de
Rest nulle. La décomposition en éléments simples deRa bien la forme espérée. Pour ce choix deR, puisque
R(a1) =:::=R(an1) =0, on obtient en développant suivant la dernière colonne D n=1l nR(an)Dn1; avec l n=limz!bn(z+bn)R(z) =(bna1):::(bnan1)(bn+b1):::(bn+bn1)=(a1+bn):::(an1+bn)(bnb1):::(bnbn1): Donc En réitérant et compte tenu deD1=1, on obtient D n=Õ16i16i;j6n(i+j). Mais,
16i;j6n(i+j) =nÕ
i=1 nÕ j=1(i+j)! =nÕ i=1(n+i)!i!=Õ2nk=1k!(Õnk=1k!)2;
et d"autre part,Van(1;2;:::;n) =Õ
16i i=1 nÕ j=i+1(ji)! =n1Õ i=1(ni)!=1n!nÕ k=1k!: Donc, 7 8n>1;Hn=(Õnk=1k!)3n!2Õ2nk=1k!.Correction del"exer cice5 NOn procède par récurrence surn>1. • Pourn=1, c"est clair. • Soitn>1. Supposons que tout déterminantDn
de formatnet du type de l"énoncé soit divisible par 2n1. SoitDn+1un déterminant de formatn+1, du type de
l"énoncé. Si tous les coefficientsai;jdeDn+1sont égaux à 1, puisquen+1>2,Dn+1a deux colonnes égales
et est donc nul. Dans ce cas,Dn+1est bien divisible par 2n. Sinon, on va changer petit à petit tous les1 en 1.
Soit(i;j)un couple d"indices tel queai;j=1 etD0n+1le déterminant dont tous les coefficients sont égaux à
ceux deDn+1sauf le coefficient ligneiet colonnejqui est égal à 1. D n+1D0n+1=det(C1;:::;Cj;:::;Cn)det(C1;:::;C0j;:::;Cn) =det(C1;:::;CjC0j;:::;Cn); oùCjC0j=0 B BBBBBBBBB@0
0 2 0 01 C CCCCCCCCCA(2 en lignei). En développant ce dernier déterminant suivant saj-ème colonne, on obtient : D n+1D0n+1=2Dn; oùDnest un déterminant de formatnet du type de l"énoncé. Par hypothèse de récurrence,Dnest divisible par
2 n1et doncDn+1D0n+1est divisible par 2n. Ainsi, en changeant les1 en 1 les uns après les autres, on
obtient D n+1 1:::1 1:::1 (mod 2n). Ce dernier déterminant étant nul, le résultat est démontré par récurrence.Correction del"exer cice6 ND=detM=Van(1;2;:::;n)6=0 et le système est de CRAMER. Les formules de CRAMERfournissent alors pour
k2[[1;n]],xk=DkD où D k=Van(1;:::;k1;0;k+1;:::;n) = (1)k+1 1:::k1k+1:::n
1(k1)2(k+1)2n2
1(k1)n1(k+1)n1nn1
(en développant par rapport à lak-ème colonne). Par linéarité par rapport à chaque colonne, on a alors
D k= (1)k+112:::(k1)(k+1):::nVan(1;2;:::;k1;k+1;:::;n) = (1)k+1n!k Van(1;2;:::;n)(k(k1)):::(k1)((k+1)k)::::(nk)= (1)k+1n!k!(nk)!D; et donc, 8 8k2[[1;n]];xk= (1)k+1Ckn.Correction del"exer cice7 NEn remplaçant les colonnesC1,...,Cnpar respectivementC1+iCn+1,...,Cn+iC2n, on obtient :
detC=detA+iB B B+iA A
puis en remplaçant les lignesLn+1,...,L2nde la nouvelle matrice par respectivementLn+1iL1,...,L2niLn, on
obtient : detC=detA+iB B 0AiB =det(A+iB)det(AiB) =jdet(A+iB)j22R+:Correction del"exer cice8 N1ère solution.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
8n>1;Hn=(Õnk=1k!)3n!2Õ2nk=1k!.Correction del"exer cice5 NOn procède par récurrence surn>1. • Pourn=1, c"est clair. • Soitn>1. Supposons que tout déterminantDn
de formatnet du type de l"énoncé soit divisible par 2n1. SoitDn+1un déterminant de formatn+1, du type de
l"énoncé. Si tous les coefficientsai;jdeDn+1sont égaux à 1, puisquen+1>2,Dn+1a deux colonnes égales
et est donc nul. Dans ce cas,Dn+1est bien divisible par 2n. Sinon, on va changer petit à petit tous les1 en 1.
Soit(i;j)un couple d"indices tel queai;j=1 etD0n+1le déterminant dont tous les coefficients sont égaux à
ceux deDn+1sauf le coefficient ligneiet colonnejqui est égal à 1. D n+1D0n+1=det(C1;:::;Cj;:::;Cn)det(C1;:::;C0j;:::;Cn) =det(C1;:::;CjC0j;:::;Cn); oùCjC0j=0 BBBBBBBBBB@0
0 2 0 01 C CCCCCCCCCA(2 en lignei). En développant ce dernier déterminant suivant saj-ème colonne, on obtient : D n+1D0n+1=2Dn;oùDnest un déterminant de formatnet du type de l"énoncé. Par hypothèse de récurrence,Dnest divisible par
2n1et doncDn+1D0n+1est divisible par 2n. Ainsi, en changeant les1 en 1 les uns après les autres, on
obtient D n+1 1:::1 1:::1 (mod 2n).Ce dernier déterminant étant nul, le résultat est démontré par récurrence.Correction del"exer cice6 ND=detM=Van(1;2;:::;n)6=0 et le système est de CRAMER. Les formules de CRAMERfournissent alors pour
k2[[1;n]],xk=DkD où D k=Van(1;:::;k1;0;k+1;:::;n) = (1)k+11:::k1k+1:::n
1(k1)2(k+1)2n2
1(k1)n1(k+1)n1nn1
(en développant par rapport à lak-ème colonne). Par linéarité par rapport à chaque colonne, on a alors
D k= (1)k+112:::(k1)(k+1):::nVan(1;2;:::;k1;k+1;:::;n) = (1)k+1n!k Van(1;2;:::;n)(k(k1)):::(k1)((k+1)k)::::(nk)= (1)k+1n!k!(nk)!D; et donc, 88k2[[1;n]];xk= (1)k+1Ckn.Correction del"exer cice7 NEn remplaçant les colonnesC1,...,Cnpar respectivementC1+iCn+1,...,Cn+iC2n, on obtient :
detC=detA+iB BB+iA A
puis en remplaçant les lignesLn+1,...,L2nde la nouvelle matrice par respectivementLn+1iL1,...,L2niLn, on
obtient : detC=detA+iB B 0AiB =det(A+iB)det(AiB) =jdet(A+iB)j22R+:Correction del"exer cice8 N1ère solution.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] Le Mille Marin /le N
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