Les mathématiques du billard
28 nov. 2019 ▷ Si l'angle a est un multiple rationnel de π la trajectoire est périodique (la bille revient à son point de départ au bout d'un certain temps ...
Trajectoires de billard
Trajectoires de billard. Nicolas Bédaride. Institut de Mathématiques de Marseille. Page 2. Page 3. Figure: H. Poincaré et J. C. Yoccoz. Page 4. Billard= syst`
Le billard
ments mathématiques. Suivant le niveau des élèves (ou des étudiants) on peut http ://images.math.cnrs.fr/Billard-polygonal-et-trajectoires.html http ...
trajectoires périodiques et billard triangulaire
1) et le principe mathématique des symétries (Fig. 2) (en se basant sur la prolon- gation de la trajectoire sur une droite). Nous supposerons que la balle
Syst mes dynamiques et billards polygonaux
15 jui. 2001 1.1 Billards math matiques . ... l'ensemble des trajectoires de billard partant dans une copie donn e de P.
SIMULATEUR DE BILLARD RÉALISTE
L'étude de ces deux trajectoires est exposée par la suite. Il sera rajouté une Théorie Mathématique des Effets du Jeu de Billard. Jacques Gabay 1835 ...
Complexité de suites définies par des billards rationnels
Pascal HUBERT Laboratoire de Mathématiques Discrètes
Étude du billard
30 mai 2019 pause(0.1) # Pause pour voir la trajectoire défiler ... Exercices théoriques sur le billard : supérieur. Laboratoire de mathématiques. Étude du ...
billards lumineux
Le billard mathématique est aussi un moyen d'étudier les propriétés fines d trajectoire se referme ? La trajectoire se referme dans le carré si la demi ...
Les mathématiques du billard
sa trajectoire est dense et uniformément distribuée sur la table (la bille visite toute les régions de la table et y passe un temps équivalent). On peut
Trajectoires de billard
Le cercle est une mauvaise table pour jouer. Pas pour faire des maths. . . Page 80. Troisi`eme question
Le billard
15 juil. 2020 Le billard mathématique est la donnée d'une table T qui peut ne pas être ... se pose est de déterminer la trajectoire de la boule ...
Billard et problème dillumination 1 Deux problèmes ouverts
1.2 Trajectoires de billard et mirroirs Le jeu (mathématique) du billard consiste dans un premier temps à choisir une table de billard pas forcément ...
DYNAMIQUE DES BILLARDS
25 mai 2004 tique” sur le bord et trajectoires rectilignes `a l'intérieur) dépend ... Prérequis : les mathématiques utilisées dans mes exposés seront.
Le Billard
Travaux d'élèves Math.en. [On s'intéresse aux rebords dans un billard rectangu- ... calculer la trajectoire de la balle (en particulier la trigo-.
Un problème de billard
Travaux d'élèves Math.en.Jeans 2011 On considère un billard rectangulaire et une boule ... long d'une règle pour avoir une idée de la trajectoire.
Mathématique des billards
Le HTP s'apparente `a un billard constitué de deux boules évoluant en trajectoires tantôt circulaire tantôt rectiligne on ne sera donc.
trajectoires periodiques et billard triangulaire
trajectoires périodiques dans le triangle. Ils en ont NCES — Billard triangulaire et trajectoires pério- ... 1) et le principe mathématique des.
Réflexions sur la réflexion
mathématiques. 12 Juin 2013 Etude de la trajectoire dans le billard rectangulaire. Conclusion : la trajectoire ne prend que 4 directions différentes.
Trajectoires de billard - univ-amufr
On se deplace dans le billard en ligne droite et quand on rencontre un bord la trajectoire rebondit en respectant les angles par rapport au bord On peut aussi seulement regarder ce qui se passe sur le bord On part d'un point du bord m et d'une direction u On lui associe un couple (m0; u0) tel que
Les mathématiques du billard
Elise Goujard
MATh.en.JEANS, 6-7 avril 2019
Un billard comme on en connait tous :
Modèle mathématique :
IUne seule bille de billard,
ponctuelle IBille se déplaçant sans
frottement et lancée sans effet ITable de forme variéeangle
incidentangle réfléchiDans ce modèle, la bille se déplace en ligne droite et rebondit sur les parois de la table avec un angle réfléchi égal à l"angle incident. Elle ne s"arrête jamais!Un billard comme on en connait tous :
Modèle mathématique :
IUne seule bille de billard,
ponctuelle IBille se déplaçant sans
frottement et lancée sans effet ITable de forme variéeangle
incidentangle réfléchiDans ce modèle, la bille se déplace en ligne droite et rebondit sur les parois de la table avec un angle réfléchi égal à l"angle incident. Elle ne s"arrête jamais!Un billard comme on en connait tous :
Modèle mathématique :
IUne seule bille de billard,
ponctuelle IBille se déplaçant sans
frottement et lancée sans effet ITable de forme variéeangle
incidentangle réfléchiDans ce modèle, la bille se déplace en ligne droite et rebondit sur les parois de la table avec un angle réfléchi égal à l"angle incident. Elle ne s"arrête jamais!À quoi ça sert?
I En mécanique, pour modéliser des chocs élastiques (collisions de particules, par exemple électrons ou particules de gaz) I En optique ou acoustique pour modéliser la réflexion de rayons lumineux ou sonores.Image : H. LehningÀ quoi ça sert?
Exemple d"application : Modèle de Lorentz pour la conductivitéélectrique dans les plaques métalliques.
Étude du billard rectangulaire
Questions :
I Quelle est l"allure de la trajectoire (en fonction du point de départ et de la direction du lancer)? I Combien y a t-il de trajectoires périodiques de longueur donnée?Billard rectangulaire
Questions :
I Quelle est l"allure de la trajectoire (en fonction du point de départ et de la direction du lancer)? I Combien y a t-il de trajectoires périodiques de longueur donnée?Une astuce
Comment toucher la boule rouge avec la boule bleue sans toucher la noire?Une astuce
Il suffit de viser le symétrique!
Retour à l"étude des trajectoires
Résultats obtenus avec cette méthode
Théorème
I Si l"angle a est rationnel (a2Q, c"est-à-dire que a mesuré en degrés s"écrit p=q avec p et q6=0entiers), la trajectoire estpériodique(la bille revient à son point de départ au bout d"un certain temps, qu"on peut calculer). I Sinon, la bille ne repasse jamais par son point de départ, sa trajectoire estdenseetuniformément distribuéesur la table (la bille visite toute les régions de la table et y passe un temps équivalent).On peut également estimer le nombre de trajectoires périodiques de longueur bornée grâce à cette méthode.Autre méthode
Un autre exemple de billard
Les trajectoires ne sont plus nécessairement périodiques ou denses...Pour pouvoir les étudier, on regarde comment elles s"enroulent sur la surface associée :Un autre exemple de billard
Les trajectoires ne sont plus nécessairement périodiques ou denses...Pour pouvoir les étudier, on regarde comment elles s"enroulent sur la surface associée :Un théorème récent :
Le taux de diffusion vaut
23.Théorème (2011, Delecroix-Hubert-Lelièvre) Pour presque touts paramètres a, b, pour presque tout angle et point de départ x, lim t!1suplogd(x;t(x))log(t)=23
Un théorème récent :
Le taux de diffusion vaut
23.Théorème (2011, Delecroix-Hubert-Lelièvre) Pour presque touts paramètres a, b, pour presque tout angle et point de départ x, lim t!1suplogd(x;t(x))log(t)=23
D"autres billards...
D"autres billards...
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D"autres billards... d"autres mathématiques
Image : D. Stone
Merci de votre attention!
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