Les mathématiques du billard
sa trajectoire est dense et uniformément distribuée sur la table (la bille visite toute les régions de la table et y passe un temps équivalent). On peut
Les mathématiques du billard
28 nov. 2019 ▷ Si l'angle a est un multiple rationnel de π la trajectoire est périodique (la bille revient à son point de départ au bout d'un certain temps ...
Trajectoires de billard
Trajectoires de billard. Nicolas Bédaride. Institut de Mathématiques de Marseille. Page 2. Page 3. Figure: H. Poincaré et J. C. Yoccoz. Page 4. Billard= syst`
Le billard
ments mathématiques. Suivant le niveau des élèves (ou des étudiants) on peut http ://images.math.cnrs.fr/Billard-polygonal-et-trajectoires.html http ...
trajectoires périodiques et billard triangulaire
1) et le principe mathématique des symétries (Fig. 2) (en se basant sur la prolon- gation de la trajectoire sur une droite). Nous supposerons que la balle
Syst mes dynamiques et billards polygonaux
15 jui. 2001 1.1 Billards math matiques . ... l'ensemble des trajectoires de billard partant dans une copie donn e de P.
SIMULATEUR DE BILLARD RÉALISTE
L'étude de ces deux trajectoires est exposée par la suite. Il sera rajouté une Théorie Mathématique des Effets du Jeu de Billard. Jacques Gabay 1835 ...
Complexité de suites définies par des billards rationnels
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Étude du billard
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Trajectoires de billard
Le cercle est une mauvaise table pour jouer. Pas pour faire des maths. . . Page 80. Troisi`eme question
Le billard
15 juil. 2020 Le billard mathématique est la donnée d'une table T qui peut ne pas être ... se pose est de déterminer la trajectoire de la boule ...
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25 mai 2004 tique” sur le bord et trajectoires rectilignes `a l'intérieur) dépend ... Prérequis : les mathématiques utilisées dans mes exposés seront.
Le Billard
Travaux d'élèves Math.en. [On s'intéresse aux rebords dans un billard rectangu- ... calculer la trajectoire de la balle (en particulier la trigo-.
Un problème de billard
Travaux d'élèves Math.en.Jeans 2011 On considère un billard rectangulaire et une boule ... long d'une règle pour avoir une idée de la trajectoire.
Mathématique des billards
Le HTP s'apparente `a un billard constitué de deux boules évoluant en trajectoires tantôt circulaire tantôt rectiligne on ne sera donc.
trajectoires periodiques et billard triangulaire
trajectoires périodiques dans le triangle. Ils en ont NCES — Billard triangulaire et trajectoires pério- ... 1) et le principe mathématique des.
Réflexions sur la réflexion
mathématiques. 12 Juin 2013 Etude de la trajectoire dans le billard rectangulaire. Conclusion : la trajectoire ne prend que 4 directions différentes.
Trajectoires de billard - univ-amufr
On se deplace dans le billard en ligne droite et quand on rencontre un bord la trajectoire rebondit en respectant les angles par rapport au bord On peut aussi seulement regarder ce qui se passe sur le bord On part d'un point du bord m et d'une direction u On lui associe un couple (m0; u0) tel que
Trajectoires de billard
Nicolas Bedaride
Institut de Mathematiques de Marseille
Figure:H. P oincareet J. C. Y occoz
Billard= systeme dynamique
Hypotheses
Denition
IUne seule billepour l'instant.
IElle est assimilee a un pointpour l'instant.
I Pas de trou sur le bord ou d'obstacle dans la table. IPas de frottement.
Loi de Descartes
On se deplace dans le billard en ligne droite, et quand on rencontre un bord, la trajectoire rebondit en respectant les angles par rapport au bord. On peut aussi seulement regarder ce qui se passe sur le bord.Denition
On part d'un point du bordmet d'une directionu.
On lui associe un couple(m0;u0)tel que
I m0est sur le bord I (mm0)est parallele a la directionu I u0est le symetrique deupar rapport a la tangente enm0au bord. mm 0uu 0 On est passe dujeu de billarda l'etude d'une fonction T:X!X (m;u)7!(m0;u0) L'etude de cette fonction rentre dans lessystemes dynamiques.Vocabulaire
Etudier un systeme dynamique signie etudier une fonctionT:X!X.A partir dex2X, comprendre ou sont
T(x);T(T(x));:::T(T(:::T(x))).T(x)x
T 2(x)Vocabulaire
Etudier un systeme dynamique signie etudier une fonctionT:X!X.A partir dex2X, comprendre ou sont
T(x);T(T(x));:::T(T(:::T(x))).T(x)x
T 2(x)Premiere question
Comment passer d'un point a un autre en faisant une ou plusieurs bandes ?Question proche:Comment revenir sur le m^eme point ?
Comment passer d'un point a un autre en faisant une ou plusieurs bandes ?Question proche:Comment revenir sur le m^eme point ?
Comment passer de l'un a l'autre en deux, trois ou mille rebonds ?Depliage
On va expliquer comment trouver de telles trajectoires.Le bon outil est ledepliage.
d d Trajectoire de billard dans un polygone= Droite dans le plan Trajectoire de billard dans un polygone= Droite dans le plan Trajectoire de billard dans un polygone= Droite dans le plan Trajectoire de billard dans un polygone= Droite dans le plan Comment passer de l'un a l'autre en deux rebonds ?Droite
Droite
Droite
Droite
Haut HautBilles en dehors du bord.
Internet est ton ami
AB C DHE (AD) est parallele a (BC), donc EAEC =ADCB =ADCHAutre facon de voir le point:
Autre facon de voir le point:
Autre facon de voir le point:
Autre facon de voir le point:
Question tres proche:
Peut on revenir au m^eme point apres rebond ?Avecnrebonds, cela s'appelle unetrajectoire periodiquede
perioden+ 1 .Question tres proche:
Peut on revenir au m^eme point apres rebond ?Avecnrebonds, cela s'appelle unetrajectoire periodiquede
perioden+ 1 .Periode 2
xT(x)Periode 4
xT(x)T 3(x)T 2(x)Periode 4
xT(x)T 3(x)T 2(x)Periode 6
T(x)T 4(x)T 2(x)T 5(x)T 3(x)xMais comment on les trouve ?
Encore le depliage...
Et la periode 3 ?
03 3 3 03 3 3 03 3 3 03 3 3Pour vous occuper...
Pouvez vous trouver toutes les trajectoires periodiques dans le carre ?Pour vous occuper...
Pouvez vous trouver toutes les trajectoires periodiques dans le carre ?Deuxieme question
Que se passe-t-il si on change la forme de la table ?Et si on jouait dans un disque ?
Que se passe-t-il si on change la forme de la table ?Et si on jouait dans un disque ?
mm 0uu 0Si on ne vise pas le centre, on ne l'atteint pas.
(m;u)Exemple de trajectoire periodique
Exemple de trajectoire non periodique
Preuve
A0 BCPreuve
A0 BCPreuve
A0 BCPreuve
A0 BC Si on passe par le centre on revient au m^eme point apres un rebond.Sinon on ne passe jamais par un disque centre a l'origine.Le cercle est une mauvaise table pour jouer.
Pas pour faire des maths...
Si on passe par le centre on revient au m^eme point apres un rebond.Sinon on ne passe jamais par un disque centre a l'origine.Le cercle est une mauvaise table pour jouer.
Pas pour faire des maths...
Si on passe par le centre on revient au m^eme point apres un rebond.Sinon on ne passe jamais par un disque centre a l'origine.Le cercle est une mauvaise table pour jouer.
Pas pour faire des maths...
Si on passe par le centre on revient au m^eme point apres un rebond.Sinon on ne passe jamais par un disque centre a l'origine.Le cercle est une mauvaise table pour jouer.
Pas pour faire des maths...
Troisieme question
Comment jouer dans un vrai billard ?
Vrai billard
Vrai billard: Dierence avec etude precedente:
I Il y an3 billes dans un rectangle, et chacune bouge et peut toucher une autre. ILes billes ne sont pas des points.
Premier probleme
Elles rebondissent en suivant les lois de la physique suivant leurs vitesses et leurs directions initiales. Il faut donc pour chaque bille conna^tre la position et le vecteur vitesse. Cela fait 4 parametres. On les regroupe dans un tableau 0 BBBBBBBBB@a
1 b 1 c 1 d 1... c n d n1 CCCCCCCCCA
(a1;b1) represente la position, et (c1;d1) la vitesse.Ainsi etudier le billard avecnbilles dans le carre revient a etudier
une bille dans un objet de grande dimension (4n). Il faut donc pour chaque bille conna^tre la position et le vecteur vitesse. Cela fait 4 parametres. On les regroupe dans un tableau 0 BBBBBBBBB@a
1 b 1 c 1 d 1... c n d n1 CCCCCCCCCA
(a1;b1) represente la position, et (c1;d1) la vitesse.Ainsi etudier le billard avecnbilles dans le carre revient a etudier
une bille dans un objet de grande dimension (4n). L'objet s'appelleXet un point dedans bouge suivant une fonction T:T:X!XOn revient aux systemes dynamiques.
L'objet s'appelleXet un point dedans bouge suivant une fonction T:T:X!XOn revient aux systemes dynamiques.
Par exemple etudier 2 points sur une droite de massesm1;m2et de vitessesx1;x2revient a etudier un point, dans une partie du plan, qui rebondit sur une droite.x 1x 2m 1m 2m1x01=m2x02x
01x 02x 01=pm1x1;x02=pm
2x2.Deuxieme probleme
Une bille n'est pas un point.
Changer la forme de la table en une autre plus grosse et plus ronde. En conclusion pour comprendre le vrai billard, il faut comprendre la dynamique d'un point mais dans un objet plus complique qu'un carre.Espace des phases
Bonus Comment se repartissent les billes ?Il faut faire de la theorie ergodique. Bonus Comment se repartissent les billes ?Il faut faire de la theorie ergodique.Hypothese de Boltzmann
Pour un systeme compose d'un tres grand nombre de particules, elle arme qu'a l'equilibre, la valeur moyenne d'une grandeur calculee de maniere statistique est egale a la moyenne d'un tres grand nombre de mesures prises dans le temps.Theorie ergodique. Birkho 1931. En terme plus mathematiques, une grandeur est une fonction f:X!R. L'hypothese compare alors limsup +11N N1X i=0fTi(x) 1(X)Z X fd Fin.Questions ?
Bonus I
AB C DHEF GIThales et symetrie en action
(EF)k(BC);(EG)k(BC)EAEC=ADBCADCH=GDGC
Bonus I
AB C DHEF GIThales et symetrie en action
(EF)k(BC);(EG)k(BC)EAEC=ADBCADCH=GDGC
Bonus I
AB C DHEF GIThales et symetrie en action
(EF)k(BC);(EG)k(BC)EAEC=ADBCADCH=GDGC
Bonus II
Et dans un triangle ?
Triangle equilateral
L'ensemble des depliages forme un pavage du plan
Triangle equilateral, depliage
Et dans un autre triangle ?
Beaucoup plus complique.
Et dans un autre triangle ?
Beaucoup plus complique.
Probleme de trajectoires periodiques
Dans un triangle equilateral: dessin precedent.
Proposition
Dans un triangle aigu pour avoir une trajectoire periodique, il sut de prendre les pieds des hauteurs.Probleme de trajectoires periodiques
Dans un triangle equilateral: dessin precedent.
Proposition
Dans un triangle aigu pour avoir une trajectoire periodique, il sut de prendre les pieds des hauteurs.Probleme de trajectoires periodiques
Dans un triangle equilateral: dessin precedent.
Proposition
Dans un triangle aigu pour avoir une trajectoire periodique, il sut de prendre les pieds des hauteurs.Dans un triangle obtus ?
Theoreme (Schwartz 2007)
Dans tout triangle d'angle inferieur a100degres il existe une trajectoire periodique.Dans un triangle obtus ?
Theoreme (Schwartz 2007)
Dans tout triangle d'angle inferieur a100degres il existe une trajectoire periodique.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] Utilisation des fonctions financières d Excel - HEC Montréal
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