[PDF] ´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs PDF m2

d'incertitude et pour trouver les extrema (maximum, minimum) d'une fonction de plusieurs 3 Tracer les courbes de niveau z = 0, z = 1 et z = 2 4 Déterminer le graphe de f, puis reconnaıtre une “figure” de géométrie clas- sique 2 On dit que f est dérivable en x et de dérivée f/(x) lorsque la limite suivante est finie

va bien (un graphe est alors une courbe, objet de dimension 1, dans le plan) continuité s'étend sans problème à des fonctions de plusieurs variables conde pour voir s'il s'agit effectivement d'un extremum local et, le cas échéant, s'il s'agit d'un On obtient bien une unique solution, qui se trouve être proche de a

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0 et pour < 0 ≥ 0 La fonction est dérivable sur I admet une limite ' quand tend vers 0 et les rapports étant aussi bien positifs que négatifs ' ne peut être que 0

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Déterminer le domaine de définition des fonctions marginales de f,g,h et les calculer 3 L'équation de la tangente `a la courbe représentative de f en 1 est y = f(1) + f (1)(x − 1) Écrire le développement limité de f `a l'ordre 1 au point (2, 3) On reconnaıt l'équation du cercle de Trouver les extrema locaux de f sur R2

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10 avr 2009 · Gradient et courbes de niveau 5 Extrema 5 1 Signe d'une forme quadratique en deux variables 5 2 Développement limité à l'ordre 2 et extrema locaux si, et seulement si, il se trouve au-dessus du graphe de la fonction f (2 3 6), (2 3 7 ) et (2 3 8) permettent de construire ou reconnaître Problème I

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1 Introduction à l'étude des fonctions de plusieurs variables 1 Problème courant en Optimisation : on peut être amené à chercher x pour que le On reconnaît bien sûr l'équation de la tangente à la courbe de f en a : y = f(a)+(x − exhiber deux directions particulières afin de trouver deux limites différentes selon ces di-

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BUT : trouver les extrema (maxima et minima) d'une fonction de plusieurs variables Néanmoins, il nous faut d'abord bien étudier les problèmes sans contraintes Alors f admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de x0: Exemple : Tracer la courbe représentative de la fonction f(x) = (x − 1)3 et placer ses

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2 1 3 Le contrôle des points d'extremums de courbure portés par les courbes primitif était ainsi probablement de distinguer et de reconnaître les formes S'il est possible d'exprimer le problème seulement avec des fonctions fi(x), et d' extremums de courbure que l'on peut trouver cette fois sur une surface générique

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limite pour trouver des limites de suites et de fonctions ˆ être capable de reconnaıtre les principales discontinuités qui peuvent être égale `a la pente de la tangente `a la courbe en ce point Pourquoi a-t-on ce probl`eme? (iii) Si f ( x) ne change pas le signe en x = c, alors il n'y a pas d'extremum local en ce point

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INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE

IUT "A" Paul Sabatier, Toulouse 3.

DUT G´enie Civil

Module de Math´ematiques.

MATH

´EMATIQUES

´El´ements de calculs pour l"´etude

des fonctions de plusieurs variables et des ´equations diff´erentielles.

G. Ch`eze

guillaume.cheze@iut-tlse3.fr http ://www.math.univ-toulouse.fr/≂cheze/Enseignements.html 2

R`egle du jeu

Ceci est un support de cours pour le module Mat2 de l"IUT G´enie Civil de Toulouse. Dans ce module il est question de fonctions de plusieurs variables et d"´equations diff´erentielles. Certains passages de ce cours comportent des trous, ils sont l`a volontairement. C"est `a vous de les compl´eter durant l"heure de cours hebdomadaire. La partie

du cours trait´ee en amphith´eˆatre sera compl´et´ee et disponible r´eguli`erement sur

internet `a l"adresse :http ://www.math.univ-toulouse.fr/≂cheze/. Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les corrections `a la fin de chaque chapitre. Je serai reconnaissant `a toute personne me signalant une ou deserreurs se trouvant dans ce document.

A pr´esent, au travail et bon courage `a tous!

i iiR`egle du jeu

Table des mati`eres

R`egle du jeui

I Fonctions de plusieurs variables1

1 Fonctions de plusieurs variables5

1.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Repr´esentation graphique d"une fonction de deux variables. . . . . . 6

1.2.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Comment repr´esenter le graphe d"une fonction de deux variables8

1.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 D´eriv´ees partielles, Diff´erentielles27

2.1 Rappel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 D´eriv´ees partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Diff´erentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Utilisation des diff´erentielles, diff´erentielle d"une fonction compos´ee. 32

2.5 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Approximation affine, Calcul d"incertitude45

3.1 Approximation d"une fonction `a une seule variable. . . . . . . . . . . 45

3.2 Approximation d"une fonction de plusieurs variables. . . . . . . . . . 47

3.3 Calcul d"erreur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.1 Le cas des fonctions d"une seule variable. . . . . . . . . . . . 48

3.3.2 Le cas des fonctions de plusieurs variables. . . . . . . . . . . 50

3.4 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Extrema d"une fonction de deux variables63

4.1 Rappel dans le cas d"une seule variable. . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Extr´emum local d"une fonction de plusieurs variables. . . . . . . . . 66

4.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

iii ivTABLE DES MATI`ERES

II´Equations diff´erentielles83

1´Equations diff´erentielles lin´eaires d"ordre 185

1.1 Pr´esentation g´en´erale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.1.1´Equations diff´erentielles et int´egration. . . . . . . . . . . . . 86

1.1.2 Solutions d"une ´equation diff´erentielle. . . . . . . . . . . . . . 86

1.1.3 Interpr´etation g´eom´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

1.2 M´ethodes de r´esolution des ´equations diff´erentielles lin´eaires d"ordre 189

1.2.1´Equation homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

1.2.2 Calcul d"une solution particuli`ere. . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.2.3 Solution g´en´erale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1.2.4 Astuces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

1.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2´Equations diff´erentielles lin´eaires d"ordre 2 `a coefficients constants107

2.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.2 R´esolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.2.1 R´esolution de l"´equation homog`ene associ´ee. . . . . . . . . . 108

2.2.2 Calcul d"une solution particuli`ere. . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

III Annexes123

A D´eriv´ees et primitives usuelles125

B Annales corrig´ees127

C Trouver l"erreur177

D Alphabet grec181

Premi`ere partie

Fonctions de plusieurs variables

1 Jusqu"`a pr´esent vous avez surtout rencontr´e des fonctionsd"une variable. Cepen- dant les ph´enom`enes naturels ne d´ependent pas en g´en´erald"une seule variable. Par exemple : la vitesse moyennevd´epend de la distance parcouruedet du tempstmis pour effectuer ce parcours, on av=d/t. Un autre exemple est donn´e par le calcul de l"aire d"un rectangle :A=L×l. L"aire est une fonction de la longueurLet de la largeurl. Dans cette partie, nous allons ´etudier les fonctions de plusieurs variables. Nous aurons une attention toute particuli`ere pour les fonctionsde deux variables car dans ce cas nous pourrons encore faire des dessins. Ensuite nousverrons que nous

pouvons aussi faire des calculs de d´eriv´ees. Cela sera utilis´e pour effectuer des calculs

d"incertitude et pour trouver les extrema (maximum, minimum) d"une fonction de plusieurs variables. 3 4

Chapitre 1Fonctions de plusieurs variables

Nous allons dans ce chapitre d´efinir les fonctions de plusieurs variables. Nous nous int´eresserons plus particuli`erement aux fonctions de deux variables et aux diverses repr´esentations graphiques que l"on peut obtenir.

1.1 D´efinition

L"exemple le plus simple de fonctions de deux variables est donn´e par l"aire d"un rectangle :A=L×l.Letl´etant des nombres positifs nous repr´esentons cette fonction de la mani`ere suivante : f:R+×R+-→R (L,l) ?-→L×l R +×R+s"appelle le domaine de d´efinition de la fonctionf. D"une mani`ere g´en´erale nous pouvons avoirnvariables o`und´esigne un nombre entier. D´efinition 1.Soitnun nombre entier etDune partie deRn. Une fonctionfde nvariables est un proc´ed´e qui a toutn-uplet(x1,...,xn)deDassocie un unique nombre r´eel.

Cela se note de la mani`ere suivante :

f:D -→R (x1,...,xn)?-→f(x1,...,xn)

Dest le domaine de d´efinition def.

Remarque : La notation (x1,...,xn) est l`a pour montrer que nous avonsnva- riables. En pratique, lorsque nous n"avons que deux variables nous les notonsxety plutˆot quex1etx2. 5

6Fonctions de plusieurs variables

Par exemple, la fonction suivante donne la distance d"un point de coordonn´ees (x,y)quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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