BUT : trouver les extrema (maxima et minima) d'une fonction de plusieurs variables Néanmoins, il nous faut d'abord bien étudier les problèmes sans contraintes Alors f admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de x0: Exemple : Tracer la courbe représentative de la fonction f(x) = (x − 1)3 et placer ses
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va bien (un graphe est alors une courbe, objet de dimension 1, dans le plan) continuité s'étend sans problème à des fonctions de plusieurs variables conde pour voir s'il s'agit effectivement d'un extremum local et, le cas échéant, s'il s'agit d'un On obtient bien une unique solution, qui se trouve être proche de a
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d'incertitude et pour trouver les extrema (maximum, minimum) d'une fonction de plusieurs 3 Tracer les courbes de niveau z = 0, z = 1 et z = 2 4 Déterminer le graphe de f, puis reconnaıtre une “figure” de géométrie clas- sique 2 On dit que f est dérivable en x et de dérivée f/(x) lorsque la limite suivante est finie
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0 et pour < 0 ≥ 0 La fonction est dérivable sur I admet une limite ' quand tend vers 0 et les rapports étant aussi bien positifs que négatifs ' ne peut être que 0
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Déterminer le domaine de définition des fonctions marginales de f,g,h et les calculer 3 L'équation de la tangente `a la courbe représentative de f en 1 est y = f(1) + f (1)(x − 1) Écrire le développement limité de f `a l'ordre 1 au point (2, 3) On reconnaıt l'équation du cercle de Trouver les extrema locaux de f sur R2
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10 avr 2009 · Gradient et courbes de niveau 5 Extrema 5 1 Signe d'une forme quadratique en deux variables 5 2 Développement limité à l'ordre 2 et extrema locaux si, et seulement si, il se trouve au-dessus du graphe de la fonction f (2 3 6), (2 3 7 ) et (2 3 8) permettent de construire ou reconnaître Problème I
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1 Introduction à l'étude des fonctions de plusieurs variables 1 Problème courant en Optimisation : on peut être amené à chercher x pour que le On reconnaît bien sûr l'équation de la tangente à la courbe de f en a : y = f(a)+(x − exhiber deux directions particulières afin de trouver deux limites différentes selon ces di-
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BUT : trouver les extrema (maxima et minima) d'une fonction de plusieurs variables Néanmoins, il nous faut d'abord bien étudier les problèmes sans contraintes Alors f admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de x0: Exemple : Tracer la courbe représentative de la fonction f(x) = (x − 1)3 et placer ses
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2 1 3 Le contrôle des points d'extremums de courbure portés par les courbes primitif était ainsi probablement de distinguer et de reconnaître les formes S'il est possible d'exprimer le problème seulement avec des fonctions fi(x), et d' extremums de courbure que l'on peut trouver cette fois sur une surface générique
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limite pour trouver des limites de suites et de fonctions ˆ être capable de reconnaıtre les principales discontinuités qui peuvent être égale `a la pente de la tangente `a la courbe en ce point Pourquoi a-t-on ce probl`eme? (iii) Si f ( x) ne change pas le signe en x = c, alors il n'y a pas d'extremum local en ce point
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L1 ECO - NOTES DU COURS DE MATHS SEM. 2
Introduction : l"optimisation
Voici un exemple typique de problème que nous allons tenter de résoudre : PB:comment trouver le rectangle qui a la plus grande aire, sachant qu"on souhaite l"entourrer d"une corde de 100 mètres de long ?De façon plus générale, on considère une fonction de plusieurs variablesf(x1;x2;:::;xN), où
lesxisont des paramètres modifiant la valeur de la fonction. (i)si on pense àfcomme représentant un coût de production (d"un produit quelconque), on peut chercher à minimiser ce coût, et donc trouver les variables (xi) optimales qui permettent d"obtenir le coût le plus petit possible. (ii)si par contrefreprésente le gain obtenu lors d"une vente, d"un jeu etc..., on va alorschercher à rendre ce gain maximal et on voudra aussi connaître les "meilleurs» paramètres
pour cela.(iii)dans les deux cas, on parle d"un problème d"optimisation, qui consiste à chercher les valeurs
extrèmes d"une fonction. BUT :trouver les extrema (maxima et minima) d"une fonction de plusieurs variables. Nousallons rencontrer deux types de problèmes, nécessitant des méthodes de résolution qui vont
différer. (i)les extrema dits libres, pour lesquels les(xi)ne sont soumis à aucune contrainte ; (ii)les extrema dits liés, où on impose certaines contraintes sur les variables. Evidemment, l"absence de contrainte sur les variables est une situation un peu idéalisée. Par exemple, si on pense au rendement d"un moteur thermique, l"absence de contrainte revient à supposer que l"on peut augmenter sa vitesse autant qu"on le souhaite, ce qui en pratique ne sera jamais le cas. Néanmoins, il nous faut d"abord bien étudier les problèmes sans contraintes avant de com- prendre comment prendre en compte certaines restrictions. Nous verrons plus loin qu"il y a en fait deux types de contraintes, les contraintes égalité, et les contraintes inégalité. La recherche d"extrema va aussi mettre en évidence des extrema locaux, c"est-à-dire que l"on a un point de maximum ou minimum dans un voisinage du point d"extremum. Ces extrema peuvent ensuite s"avérer globaux, comme nous le verrons. En pratique, on commencera toujours par déterminer les extrema locaux et ensuite, en les comparant, on cherchera les extrema absolu, ou globaux. 1PLAN DU COURS
CH I.Optimisation 1-D
Cours 1 -Révision tableau de variation; graphe; tangente; croissances comparées.Cours 2 -Voisinages; DL; convexité.
Cours 3 -Critères surfetf00, extrema locaux vs globaux.CH II.
C alculdifféren tielen 2-D
Cours 4 -Dérivées partielles; gradient; points critiques; hessienne. Cours 5 -Voisinages en 2-D; courbes de niveaux; représentation du gradient. Cours 6 -DL1 et DL2 à deux var; poly. homogènes de degré 1 et 2; règles(r;s;t).CH III.
Optimisation en 2-D
Cours 7 -Opti libre avec règles(r;s;t).
Cours 8 -Lagrangien pour les contraintes égalité.Cours 9 -Contraintes inégalités.2
CH. 1 - Optimisation en 1-D
Cours n
o1 -Révision tableau de variation ; graphes ; tangente à une courbe ; croissances comparées. L"objectif de ce premier cours est de réviser les notions de base concernant l"étude des fonc- tions numériques, avant d"aller plus loin dans les cours suivants. (a)Rappels sur les tableau de variation et tracer les courbes représentatives.Exemples traités en cours:
f(x) =x23x+ 4;g(x) =e3x2;h(x) = 1=(2 +x)u(x) =xln(x+ 1): (b)Equation de la tangente à une courbe. Prop -Soitf:I!Rune fonction dérivable surIetx0un point deI. La tangente à C fau pointx0est la droite d"équation T x0:y=f(x0) +f0(x0)(xx0): Exemple:calcul et positionnement des tangentes àf;g;h;uci-dessus au pointx0= 1. (c)Croissances comparées:xn,x1=2,ln(x),exp(x),ax. Déf -pourf;g0on notefx!x0glorsquelimx!x0f(x)=g(x) = 0. On dit quefestnégligeabledevantglorsquextend versx0(x0fini ou non).Exemples:xex;x1=2ln(x)enx0= 0etx0= +1.
Exercice :relier chaque tableau de variation à la courbe qui lui correspond.3Cours n
o2 -Voisinages ; développements limités ; convexité.Nous avons vu dans le cours précédent que l"étude des fonctions met en évidence des propriétés
diteslocalesouglobales. On dit qu"une propriétés estlocale, si elle est vraie en un pointx0, ou lorsqu"on zoome autour du pointx0, mais sans tenir compte de ce qui se passe loin dex0. On parlera par contre depropriétéglobalequand cette propriété prend en compte l"ensemble des pointsx0de l"intervalle
d"étude considéré. Exemple:dire quefest continue au pointx0est une propriété locale, alors que dire qu"elle est continue surIest une propriété globale, signifiant qu"elle est continue en chaque point deI. (a)Boule ouverte, voisinage. Nous allons maintenant définir plus précisément la notion de propriété locale. Def -on appelle boule ouverte centrée en un pointx02Rtout intervalle de la forme B=]x0r;x0+r[avecr >0. On dit qu"une propriété est vraieau voisinagedex0s"il existe une telle boule ouverteBtelle que la propriété soit vraie (au moins) surB. Exemple 1:soitx0= 02[1;1]. Déterminer toutes les boules ouvertes centrées enx0qui restent incluses dansI. Même question six0= 1=2, et six0= 1. Exemple 2:sifest une fonction continue sur un intervalleIetf(x0)>0, alorsfreste strictement positive au voisinage dex0. Qu"en est-il si on suppose seulementf(x0)0? Def -SoitIun intervalle deR. On dit quex0est un pointintérieurdeIs"il existe une boule ouverteBcentrée enx0qui reste incluse dansI. En d"autre termes, un point intérieur est un point deIqui n"est pas l"une des deux bornes deI. Exemple :I= [3;1[, alorsx0= 4est un point intérieur, mais pasx0= 3. (b)Développements limités. C"est un exemple typique de propriété locale: un DL ne donne un renseignement qu"au voisinage d"un point, mais on ne dit rien du comportement plus loin. Thm -soitf:I!Rune fonction de classeC1etx02Iun point qui n"est pas sur le bord. Alorsfadmet un développement limité à l"ordre 1 au voisinage dex0: f(x0+h) =f(x0) +hf0(x0) + reste(h) =P1(h) + reste1(h) oùreste1(h)est une fonction qui est négligeable devanthlorsquehtend vers0. Même chose pour un DL à l"ordre 2, avec un nouveau reste: f(x0+h) =f(x0) +hf0(x0) +12! f00(x0)h2+ reste(h) =P2(h) + reste2(h) 4 Exemple :donner un DL à l"ordre 1 enx= 1des fonctionsf(x) =ex,g(x) = ln(2 +x), h(x) = 1=(1 +x3). Même question pour un DL à l"ordre 2 enx= 0. Rem -(i)Ce reste a un sens mathématique bien précis (voir premier semestre) mais nous en resterons ici au simple fait qu"il est négligeable devanth(ouh2):reste1h, reste