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va bien (un graphe est alors une courbe, objet de dimension 1, dans le plan) continuité s'étend sans problème à des fonctions de plusieurs variables conde pour voir s'il s'agit effectivement d'un extremum local et, le cas échéant, s'il s'agit d'un On obtient bien une unique solution, qui se trouve être proche de a

[PDF] ´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs

d'incertitude et pour trouver les extrema (maximum, minimum) d'une fonction de plusieurs 3 Tracer les courbes de niveau z = 0, z = 1 et z = 2 4 Déterminer le graphe de f, puis reconnaıtre une “figure” de géométrie clas- sique 2 On dit que f est dérivable en x et de dérivée f/(x) lorsque la limite suivante est finie

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0 et pour < 0 ≥ 0 La fonction est dérivable sur I admet une limite ' quand tend vers 0 et les rapports étant aussi bien positifs que négatifs ' ne peut être que 0

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Déterminer le domaine de définition des fonctions marginales de f,g,h et les calculer 3 L'équation de la tangente `a la courbe représentative de f en 1 est y = f(1) + f (1)(x − 1) Écrire le développement limité de f `a l'ordre 1 au point (2, 3) On reconnaıt l'équation du cercle de Trouver les extrema locaux de f sur R2

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10 avr 2009 · Gradient et courbes de niveau 5 Extrema 5 1 Signe d'une forme quadratique en deux variables 5 2 Développement limité à l'ordre 2 et extrema locaux si, et seulement si, il se trouve au-dessus du graphe de la fonction f (2 3 6), (2 3 7 ) et (2 3 8) permettent de construire ou reconnaître Problème I

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1 Introduction à l'étude des fonctions de plusieurs variables 1 Problème courant en Optimisation : on peut être amené à chercher x pour que le On reconnaît bien sûr l'équation de la tangente à la courbe de f en a : y = f(a)+(x − exhiber deux directions particulières afin de trouver deux limites différentes selon ces di-

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BUT : trouver les extrema (maxima et minima) d'une fonction de plusieurs variables Néanmoins, il nous faut d'abord bien étudier les problèmes sans contraintes Alors f admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de x0: Exemple : Tracer la courbe représentative de la fonction f(x) = (x − 1)3 et placer ses

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2 1 3 Le contrôle des points d'extremums de courbure portés par les courbes primitif était ainsi probablement de distinguer et de reconnaître les formes S'il est possible d'exprimer le problème seulement avec des fonctions fi(x), et d' extremums de courbure que l'on peut trouver cette fois sur une surface générique

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limite pour trouver des limites de suites et de fonctions ˆ être capable de reconnaıtre les principales discontinuités qui peuvent être égale `a la pente de la tangente `a la courbe en ce point Pourquoi a-t-on ce probl`eme? (iii) Si f ( x) ne change pas le signe en x = c, alors il n'y a pas d'extremum local en ce point

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Titre:

Title:Le contrôle des inlflexions et des extremums de courbure portés par les courbes et les surfaces B-Splines

Auteur:

Author:Éric Demers

Date:2017

Type:Mémoire ou thèse / Dissertation or Thesis

Référence:

Citation:Demers, É. (2017). Le contrôle des inlflexions et des extremums de courbure portés par les courbes et les surfaces B-Splines [Thèse de doctorat, École Polytechnique de Montréal]. PolyPublie. https://publications.polymtl.ca/2513/

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URL de PolyPublie:

PolyPublie URL:https://publications.polymtl.ca/2513/

Directeurs de

recherche: Advisors:François Guibault, Jean-Yves Trépanier, & Christophe Tribes

Programme:

Program:Génie mécanique

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UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL

LE CONTRÔLE DES INFLEXIONS ET DES EXTREMUMS DE COURBURE PORTÉS PAR LES COURBES ET LES SURFACES B-SPLINES

ÉRIC DEMERS

DÉPARTEMENT DE GÉNIE MÉCANIQUE

ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL

THÈSE PRÉSENTÉE EN VUE DE L"OBTENTION

DU DIPLÔME DE PHILOSOPHIAE DOCTOR

(GÉNIE MÉCANIQUE)

AVRIL 2017

c ?Éric Demers, 2017.

UNIVERSITÉDEMONTRÉAL

ÉCOLEPOLYTECHNIQUEDEMONTRÉAL

Cette thèse intitulée :

LE CONTRÔLE DES INFLEXIONS ET DES EXTREMUMS DE COURBURE PORTÉS PAR LES COURBES ET LES SURFACES B-SPLINES présentée par :DEMERS Éric en vue de l"obtention du diplôme de :Philosophiae Doctor a été dûment acceptée par le jury d"examen constitué de :

M.CAMARERORicardo, Ph. D., président

M.GUIBAULTFrançois, Ph. D., membre et directeur de recherche M.TRÉPANIERJean-Yves, Ph. D., membre et codirecteur de recherche M.TRIBESChristophe, Doctorat, membre et codirecteur de recherche

M.GARONAndré, Ph. D., membre

M.LÉONJean-Claude, Ph. D., membre externe

III

DÉDICACE

À mes parents, Codette et Alain

et mes grand-parents, Thérèse et Réjean IV

REMERCIEMENTS

Ce projet a été un prétexte pour tisser des liens avec des personnes de grandes qualités.

J"aimerais tout particulièrement exprimer ma reconnaissance envers mes directeurs de thèse François Guibault et Christophe Tribes. Ils ont su guider cette recherche avec beaucoup de

doigté et faire graduellement mûrir les idées nouvelles. Je peux confirmer que leur rayonne-

ment dépasse les 700 kilomètres qui séparent l"école Polytechnique de Montréal de mon lieu

de résidence en Gaspésie.

Les rencontres avec les collègues dans différentes conférences reliées à la conception géomé-

trique assistée par ordinateur ont également été très stimulantes et enrichissantes. J"ai aussi

une pensée toute particulière pour tous les collègues dans le domaine des turbines hydrau- liques que j"ai eu le grand bonheur de côtoyer d"abord chez GE Hydro et ensuite chez Andritz et qui ont inspiré ces travaux. J"aimerais remercier, d"une manière plus personnelle, mes proches pour leur soutien. Mon épouse que j"aime de tout mon coeur et mes filles que j"adore et qui sont une source constante d"inspiration avec leur imagination fertile, leur curiosité et leur soif d"apprendre. Ma belle mère Monique qui s"est occupée des filles à des moments clés pour me permettre d"avancer les travaux. Je dois également beaucoup à toute ma famille pour m"avoir offert et continuer de m"offrir cet environnement chaleureux propice à l"épanouissement de chacun. V

RÉSUMÉ

Le contrôle des propriétés différentielles des courbes et des surfaces B-splines est un enjeu

important, en particulier pour le domaine de la conception géométrique assistée par ordina- teur. Un enjeu qui sollicite autant les méthodes analytiques que numériques dans le but de permettre au concepteur de manipuler les formes avec une aisance toujours croissante.

Ce texte explore les possibilités offertes lorsqu"on combine des méthodes numériques de pointe

aux travaux de grands géomètres du 19 esiècle. Ainsi, de nouveaux algorithmes pour l"opti-

misation sous contraintes des B-splines ont été développés. Ensuite, ces algorithmes ont été

combinés à la théorie des groupes de transformations comme elle a été développée à l"origine

par des pionniers comme Sophus Lie, Gaston Darboux et Felix Klein. Ceci permet d"ouvrir des portes vers de nouveaux horizons. Il devient possible de générer de larges espaces de formes

sur lesquels on contrôle les propriétés différentielles. Il devient également possible d"éliminer

des oscillations de façon sélective ou de manipuler les formes sans introduire d"oscillations indésirables. Avant de progresser vers cet objectif ambitieux, il faut d"abord être en mesure de bien com-

prendre et de bien visualiser ces propriétés différentielles que l"on souhaite contrôler. L"histoire

de la géométrie différentielle classique des courbes et des surfaces est très riche. Cette histoire

est revisitée avec une perspective nouvelle. Soit la perspective du contrôle des inflexions et des extremums de courbure. Ceci permet de faire émerger des liens importants entre la géo-

métrie différentielle, la théorie des singularités, les groupes de transformations et l"optique

géométrique. Ensuite viennent les algorithmes d"optimisation des B-splines sous contraintes. Les variables

indépendantes sont les positions des points de contrôle de la B-spline alors que les contraintes

portent sur la position des points de contrôle d"une fonction qui représente les propriétés

différentielles de la B-spline.

Les algorithmes sont d"abord développés pour les fonctions B-splines à une et deux variables.

Une fois ces algorithmes développés, plusieurs possibilités nouvelles s"offrent à nous. Il devient

possible, par exemple d"obtenir la courbe qui s"approche le plus d"une autre courbe quelconque

sous la contrainte de posséder certaines propriétés différentielles. De cette manière, il devient

possible de travailler avec un plus grand nombre de points de contrôle et ainsi dans un espace

de forme plus riche sans avoir à se soucier d"oscillations arbitraires. Ceci permet en particulier

d"éliminer de façon sélective des oscillations indésirables sur des profils aérodynamiques.

VI Le premier algorithme est introduit comme une extension à la méthode standard des moindres

carrés pour approximer une série de points en utilisant une B-spline. L"extension consiste à

ajouter des contraintes pour produire, entre autres, des segments de courbe avec une crois- sance ou une décroissance monotone de la courbure. La méthode des points intérieurs est

utilisée pour résoudre le problème d"optimisation sous contraintes. La méthode nécessite des

gradients qui sont calculés en utilisant le calcul symbolique des B-splines. Par conséquent,

l"algorithme repose sur les propriétés algébriques et différentielles des B-splines. La propriété

de diminution des variations des B-splines est alors exploitée pour appliquer les contraintes. Un exemple d"application consiste à produire des courbes lisses à partir des points mesurés sur des profils d"ailes d"avion. Les données proviennent de la base de données UIUC qui est publiquement disponible. Les données contiennent une bonne quantité de bruit pour certains profils. Dans ces circonstances, un nombre fixe de segments avec une variation monotone de courbure est une technique très prometteuse pour produire une approximation de ces points

mesurés par des courbes qui sont à la fois très générales et sans compromis sur les oscillations.

Pour étendre ces idées aux surfaces, il est utile de faire appel aux notions qui appartiennent à

la géométrie projective et à la géométrie des sphères de Lie. Alors que la géométrie projective

préserve les inflexions, la géométrie des sphères de Lie préserve les extremums de courbure.

Chacune de ces géométries offre 8 paramètres pour transformer les formes. Contrôler les inflexions ou les extremums de courbure sur la courbe méridienne d"une surface de révolution et ensuite leur appliquer une transformation projective ou des sphères de Lie donne déjà

accès à des espaces intéressants de formes sans oscillation arbitraire. Une progression vers

des surfaces plus générales suit. Les courbes flecnodales portées par les surfaces réglées et les

courbes d"extremums de courbure portés par les surfaces des canaux sont discutées sous le

spectre de la réciprocité droites-sphères de Sophus Lie. Enfin, l"optique géométrique permet

d"établir un lien important entre les propriétés différentielles des fonctions et les propriétés

différentielles des courbes et des surfaces. Un lien qui permet d"explorer de nouveaux espaces de formes avec un contrôle sur les lignes paraboliques et d"extremums de courbure portées par les surfaces. En particulier, ceci permet de produire une famille de surfaces à plusieursquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5