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10 avr 2009 · Gradient et courbes de niveau 5 Extrema 5 1 Signe d'une forme quadratique en deux variables 5 2 Développement limité à l'ordre 2 et extrema locaux si, et seulement si, il se trouve au-dessus du graphe de la fonction f (2 3 6), (2 3 7 ) et (2 3 8) permettent de construire ou reconnaître Problème I

va bien (un graphe est alors une courbe, objet de dimension 1, dans le plan) continuité s'étend sans problème à des fonctions de plusieurs variables conde pour voir s'il s'agit effectivement d'un extremum local et, le cas échéant, s'il s'agit d'un On obtient bien une unique solution, qui se trouve être proche de a

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d'incertitude et pour trouver les extrema (maximum, minimum) d'une fonction de plusieurs 3 Tracer les courbes de niveau z = 0, z = 1 et z = 2 4 Déterminer le graphe de f, puis reconnaıtre une “figure” de géométrie clas- sique 2 On dit que f est dérivable en x et de dérivée f/(x) lorsque la limite suivante est finie

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0 et pour < 0 ≥ 0 La fonction est dérivable sur I admet une limite ' quand tend vers 0 et les rapports étant aussi bien positifs que négatifs ' ne peut être que 0

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Déterminer le domaine de définition des fonctions marginales de f,g,h et les calculer 3 L'équation de la tangente `a la courbe représentative de f en 1 est y = f(1) + f (1)(x − 1) Écrire le développement limité de f `a l'ordre 1 au point (2, 3) On reconnaıt l'équation du cercle de Trouver les extrema locaux de f sur R2

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1 Introduction à l'étude des fonctions de plusieurs variables 1 Problème courant en Optimisation : on peut être amené à chercher x pour que le On reconnaît bien sûr l'équation de la tangente à la courbe de f en a : y = f(a)+(x − exhiber deux directions particulières afin de trouver deux limites différentes selon ces di-

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BUT : trouver les extrema (maxima et minima) d'une fonction de plusieurs variables Néanmoins, il nous faut d'abord bien étudier les problèmes sans contraintes Alors f admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de x0: Exemple : Tracer la courbe représentative de la fonction f(x) = (x − 1)3 et placer ses

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2 1 3 Le contrôle des points d'extremums de courbure portés par les courbes primitif était ainsi probablement de distinguer et de reconnaître les formes S'il est possible d'exprimer le problème seulement avec des fonctions fi(x), et d' extremums de courbure que l'on peut trouver cette fois sur une surface générique

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limite pour trouver des limites de suites et de fonctions ˆ être capable de reconnaıtre les principales discontinuités qui peuvent être égale `a la pente de la tangente `a la courbe en ce point Pourquoi a-t-on ce probl`eme? (iii) Si f ( x) ne change pas le signe en x = c, alors il n'y a pas d'extremum local en ce point

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UNIVERSITÉ DE POITIERSParcours Renforcé - Première Année2009/2010Paul Broussous

Fonctions de plusieurs variables

Seconde version corrigée

Table des matières

1.Un peu de topologie.

1.1.Distance euclidienne, disques et boules.

1.2.Domaines définis par des inéquations.

1.3.Points intérieurs, propriétés.

2.Fonctions de plusieurs variables.

2.1.Champs de scalaires, champs de vecteurs, courbes paramétrées.

2.2.Représentations graphiques, courbes de niveau.

2.3.Continuité et limites.

2.4.Domaines fermés, ouverts. Domaines bornés, compacts.

3.Dérivation.

3.1.Dérivées partielles en un point intérieur au domaine.

3.2.Gradient, différentielle. Dérivée dans une direction.

3.3.Dérivation en chaîne.

3.4.Dérivées partielles d"ordres supérieurs. Lemme de Schwarz.

3.5.Equations aux dérivées partielles.

4.Théorème des fonctions implicites. Gradient et courbes de niveau.

5.Extrema.

5.1.Signe d"une forme quadratique en deux variables.

5.2.Développement limité à l"ordre2et extrema locaux.

5.3.Extrema sous contraintes.

6.Introduction à l"intégration des fonctions de plusieurs variables.

6.1.Circulation d"un champ de vecteurs.

6.2.Intégration sur un domaine deR2.

Introduction

D"un point de vue physique, une fonction de plusieurs variables est une quantité numérique ou vectorielle qui dépend de plusieurs paramètres réels. Par exemple : - L"altitude (par rapport au niveau de la mer) d"un point à la surface du globe terrestre est une fonction de deux variables (la lattitude et la longitude qui repèrent ce point). - La température en un point d"une pièce d"habitation est unefonction numérique de trois coordonnées spatiales. - L"accélération de la pesanteur au voisinage du globe terrestre est une fonction vectorielle de trois coordonnées d"espace. - Par l"équation des gaz parfaits,PV=nRT, on peut considérer la pressionP= nRT/Vcomme étant un fonction numérique des deux variablesT(température) etV (volume). Nous nous intéressons aussi à des quantités vectorielles dépendant d"un seul para- mètre réel comme dans l"exemple suivant. - Une fois fixé un point origineOde l"espace, la trajectoire d"un mobile ponctuel peut être vue comme une fonction vectorielle----→OM(t)qui dépend de la variable de temps t, oùM(t)est la position du mobile à l"instantt. L"objet de ce cours est de généraliser les techniques de calcul différentiel et intégral (analyse), introduites en classe de terminale, au cas des fonctions de plusieurs variables. Elles seront d"usage constant en physique, chimie et leurs applications. Ces notes de cours sont en partie inspirées du livre de François LiretMaths en Pra- tique, à l"usage des étudiants, édition Dunod, 1996. En particulier, nous vous conseillons la lecture des chapitres 12 et 13 de ce livre. 1

1. Un peu de topologie

1.1. Distance euclidienne, disques et boules.

Notre espace de travail sera soit

- un espace euclidienE(de dimension3) muni d"un repère orthonormé(O,?i,?j,?k), - un plan euclidienPmuni d"un repère orthonormé(O,?i,?j), - une droite euclidienneDmuni d"un repère orthonormé(O,?i). Ici le qualificatifeuclidiensignifie que l"on peut effectuer un produit scalaire : (x1?i+y1?j+z1?k).(x2?i+y2?j+z2?k) =x1x2+y1y2+z1z2(dansE) (x1?i+y1?j).(x2?i+y2?j) =x1x2+y1y2(dansP)(x1?i).(x2?i) =x1x2(dansD). Rappelons que la norme d"un vecteur est donnée par ?x?i+y?j+z?k?=? et que la distance entre deux pointsMetNest donnée par d(M,N)=?--→MN?. On fera fréquemment l"abus de notation suivant. Une origine0étant fixée, un point deE(resp.P,D) sera identifié à ses coordonnées(x,y,z)(resp.(x,y),x) dans le repère (0,?i,?j,?k). Un repère étant fixé on identifiera donc les objets suivants : - l"espaceEavec l"ensemble notéR3des triplets de réels(x,y,z), - le planPavec l"ensemble notéR2des couples de réels(x,y), - la droiteDavec l"ensemble des nombres réelsR. Nous ferons de même avec les vecteurs. La notationM(x,y,z)signifie que le pointM?E a pour coordonnées(x,y,z)dans le repère(0,?i,?j,?k), et la notation-→v(x,y,z)signifie que le vecteur?va pour coordonnées(x,y,z)dans le repère(?i,?j,?k). Dans la suiteXdésigne un espace, un plan ou une droite euclidienne.

1.1.1. Théorème.SoientA,B,Ctrois points deXet?u,?vdeux vecteurs. On a les

propriétés suivantes. (i)d(A,C)?d(A,B) +d(B,C)avec égalité si et seulement siBest sur le segment [AC](première inégalité triangulaire). (ii)|d(A,B)-d(B,C)|?d(A,C)(deuxième inégalité triangulaire). (iii)|?u.?v|???u?.??v?.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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