va bien (un graphe est alors une courbe, objet de dimension 1, dans le plan) continuité s'étend sans problème à des fonctions de plusieurs variables conde pour voir s'il s'agit effectivement d'un extremum local et, le cas échéant, s'il s'agit d'un On obtient bien une unique solution, qui se trouve être proche de a
d'incertitude et pour trouver les extrema (maximum, minimum) d'une fonction de plusieurs 3 Tracer les courbes de niveau z = 0, z = 1 et z = 2 4 Déterminer le graphe de f, puis reconnaıtre une “figure” de géométrie clas- sique 2 On dit que f est dérivable en x et de dérivée f/(x) lorsque la limite suivante est finie
0 et pour < 0 ≥ 0 La fonction est dérivable sur I admet une limite ' quand tend vers 0 et les rapports étant aussi bien positifs que négatifs ' ne peut être que 0
Déterminer le domaine de définition des fonctions marginales de f,g,h et les calculer 3 L'équation de la tangente `a la courbe représentative de f en 1 est y = f(1) + f (1)(x − 1) Écrire le développement limité de f `a l'ordre 1 au point (2, 3) On reconnaıt l'équation du cercle de Trouver les extrema locaux de f sur R2
10 avr 2009 · Gradient et courbes de niveau 5 Extrema 5 1 Signe d'une forme quadratique en deux variables 5 2 Développement limité à l'ordre 2 et extrema locaux si, et seulement si, il se trouve au-dessus du graphe de la fonction f (2 3 6), (2 3 7 ) et (2 3 8) permettent de construire ou reconnaître Problème I
1 Introduction à l'étude des fonctions de plusieurs variables 1 Problème courant en Optimisation : on peut être amené à chercher x pour que le On reconnaît bien sûr l'équation de la tangente à la courbe de f en a : y = f(a)+(x − exhiber deux directions particulières afin de trouver deux limites différentes selon ces di-
BUT : trouver les extrema (maxima et minima) d'une fonction de plusieurs variables Néanmoins, il nous faut d'abord bien étudier les problèmes sans contraintes Alors f admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de x0: Exemple : Tracer la courbe représentative de la fonction f(x) = (x − 1)3 et placer ses
2 1 3 Le contrôle des points d'extremums de courbure portés par les courbes primitif était ainsi probablement de distinguer et de reconnaître les formes S'il est possible d'exprimer le problème seulement avec des fonctions fi(x), et d' extremums de courbure que l'on peut trouver cette fois sur une surface générique
limite pour trouver des limites de suites et de fonctions ˆ être capable de reconnaıtre les principales discontinuités qui peuvent être égale `a la pente de la tangente `a la courbe en ce point Pourquoi a-t-on ce probl`eme? (iii) Si f ( x) ne change pas le signe en x = c, alors il n'y a pas d'extremum local en ce point
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Service Commun de Formation ContinueAnnée Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variableset applications pour l"ingénieur
Polycopié de cours
Rédigé par YannickPrivat
Bureau 321 - Institut Élie Cartan Nancy (Mathématiques) - Université Henri Poincaré Nancy 1
B.P. 239, F-54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex.
e-mail : Yannick.Privat@iecn.u-nancy.fr ii
Avant-ProposCe cours présente les concepts fondamentaux de l"Analyse des fonctions de plusieurs variables.
Les premiers chapitres généralisent les notions de limite,dérivabilité et dévelopement limité, bien
connus dans le cas des fonctions d"une variable. Nous ne rechercherons pas dans ce cours une for-
malisation mathématique théorique de ces concepts, mais nous intéresserons au contraire à leurs
nombreuses applications dans le domaine de la Physique. Nous ciblerons trois axes principaux de développement : •l"optimisation (recherche d"extremums, minimisaton d"une énergie, etc.);
•les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation des cordes vibrantes, des
ondes, etc.); •l"intégration (calculs de moments d"inertie, de flux, etc.). Travail personnel de préparation :le premier chapitre présente des pré-requis utiles pour bien aborder ce cours. Je vous demande donc de l"étudiersérieusement pour la première séance et de noter toutes les questions que vous vous posez afin que nous en discutions en cours.
YannickPrivat
iii iv Table des matières1 Introduction à l"étude des fonctions de plusieurs variables 1
1.1 Fonctions de deux variables à valeurs réelles . . . . . . . . .. . . . . . . . 1
1.1.1 Exemple mathématique et définition . . . . . . . . . . . . . . . .. 1
1.1.2 Exemple en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Représentation graphique d"une fonction à deux variables . . . . . . 3
1.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4
1.2.1 Rappel : dérivation d"une fonction deRdansR. . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Calcul de dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4
1.2.3 Dérivées partielles d"ordre supérieur . . . . . . . . . . . .. . . . . . 6
1.3 Fonction denvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Fonction de trois variables à valeurs réelles . . . . . . .. . . . . . . 6
1.3.2 Fonctions à valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7
1.3.3 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9
2 Calculs de limites et continuité11
2.1 Technique de recherche de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 11
2.1.1 Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Techniques pour lever les indéterminations . . . . . . . .. . . . . . 12
2.1.3.1 Fonctions polynôme ou rationnelle . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3.2 Technique du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3.4 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Contiuité des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 16
2.2.1 Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Cas des fonctions deR2dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
v viTABLE DES MATIÈRES
2.2.3 Techniques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
3 Notion de différentiabilité23
3.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 23
3.2 Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
3.2.1 Dérivée selon un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 Fonctionsf:Rn-→Rp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.3 Application différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 25
3.2.4 Développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.5 Expression explicite de la différentielle . . . . . . . . . .. . . . . . 27
3.2.6 Méthode générale de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
3.3 Conséquences de la différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 29
3.3.1 Notion de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.2 Schéma récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
4 Déterminant, Matrice jacobienne, Jacobien 35
4.1 Matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
4.1.1 Différentiabilité des fonctions deRndansRp. . . . . . . . . . . . . 35
4.1.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.3 Le Jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Notion deC1-difféomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.2 Caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39
5 Recherche d"extrema43
5.1 Problèmes liés à la recherche d"extrema . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 43
5.1.1 Développement limité à l"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
5.1.2 Points critiques et extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
5.2 Caractérisation des points critiques . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 44
5.2.1 Hessienne d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
5.2.2 Quelques notions d"Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . .. . . . 45
5.3 Cas de la dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
TABLE DES MATIÈRESvii
5.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48
6 Introduction aux EDP51
6.1 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 51
6.1.1 Quelques rappels sur les équations différentielles linéaires . . . . . . 51
6.1.2 Un exemple en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1.3 Équation différentielles linéaires à coefficients constants . . . . . . . 52
6.1.3.1 Équations différentielles homogènes du premier ordre à co-
efficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1.3.2 Théorème de structure des solutions . . . . . . . . . . . . 53
6.1.3.3 Équations différentielles homogène du second ordreà co-
efficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2 Compléments de calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 55
6.2.1 Composition des différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 55
6.2.2 Exemple détaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2.3 Quelques opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 56
6.3 Changement de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57
6.3.1 Repère polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.2 Changement de variables quelconque . . . . . . . . . . . . . . .. . 58
6.3.3 Trois méthodes de résolution explicite d"EDP . . . . . . .. . . . . 60
6.3.3.1 Changement de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.3.2 Méthode de séparation des variables . . . . . . . . . . . . 61
6.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62
7 Transformée de Fourier69
7.1 La transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69
7.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.1.2 Propriétés de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . .. . . . 70
7.1.3 Transformée de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 71
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