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Formulaire d"´electrostatique
1 Champ ´electrostatique
Ecr´e´e par une chargeq`a positionP:
E(M) =1
1
4π?0qr2?r
Ecr´e´e parNcharges ponctuelles :
E(M) =1
4π?0N
i=1q i???---→PiM???2---→P iM???---→PiM??? 1
4π?0N
i=1q ir2i? ui
Ecr´e´e par une distribution continue :
E(M) =?
d-→EP(M), d-→EP(M) =dq
4π?0r2?u
o`udqest d´etermin´e par une distribution de charge : lin´eique:dq=λ(P)dlP≡λdl surfacique:dq=σ(P)d2SP≡σdS volumique:dq=ρ(P)dVP≡ρd3V(1) (N.B.?0est la permittivit´e du vide )
1/(4π?0)≡K?9.109SI.
2 Propri´et´es fondamentales
1.Th´eor`eme de Gauss :
Forme int´egrale
S-→E·-→dS=Qint
?0Forme diff´erentielle div-→E=ρ?0 (N.B.les deux formes du th´eor`eme de Gauss sont reli´ees par le th´eor`eme d"Ostrogradsky)
2.L"autre ´equation fondamentale del"´electrostatique,-→rot-→E=-→0entraˆıne
qu"on peut toujours d´efinir un potentiel
´electrostatiqueVtel que :
E=---→gradV3 Formulations alternatives
On peut ins´erer
-→E=---→gradVdans l"´equation div-→E=ρ ?0afin de ramener l"´electrostatique `a une seule ´equation diff´erentielle de deuxi`eme degr´e (L"´equation de Poisson) : div gradV≡ΔV=-ρ ?0 o`u l"op´erateur Δ≡div--→grad est appel´e le Lapla- cien. Quand on r´esout cette ´equation dans une r´egion sans charges on dit qu"on a affaire `al"´equation de Laplace:
ΔV= 0
4 Potentiel ´electrostatiqueV
La diff´erence deVentre deux points (VA-VB)
est d´etermin´e par lacirculation de-→EentreAet B: U
AB≡V(A)-V(B) =?
B
A-→E·-→dl
Vcr´e´e par une chargeq`a positionP:
V(M) =1
Vcr´e´e parNcharges ponctuelles :
V(M) =1
4π?0N
i=1q i???---→PiM???≡14π?0N i=1q iri+V0
Vcr´e´e par une distribution continue :
V(M) =1
4π?0?
dq???---→PM???+V0≡14π?0? dqr+V0 o`u lesdqsont sp´ecifi´e dans l"´eq.(1). S"il n"y a pas de charges `a l"infini, la convention est de prendre
V(∞) = 0, ce qui entraˆıneV0= 0.
5 Dipˆole ´electrostatique
Un mod`ele d"un dipˆole
-→pest deux charges±q s´epar´ees par une distance-→d. Le moment dipolaire de ce syst`eme est-→p=q-→d. Pour des syst`emes plus compliqu´es, le moment dipolaire ´electrostatique est donn´e par : charges ponctuelles distribution surfacique-→p=? 1 distribution volumique-→p=???ρ--→OPdV
Pour des distances grandes devant la taille du
syst`eme :
V(M)→1
4π?0-→
p·?rr2(2)
6 Di´electriques
Un di´electrique est g´en´eralement caract´eris´e par unvecteur de polarisation,-→P, d´efini partout dans le di´electrique. Le vecteur polarisation peut ˆetre interpr´et´e comme une densit´e volumique de moment dipolaire telle que-→dp=-→PdV. Le poten- tiel cr´e´e par le di´electrique est donc :
V(M) =1
4π?0???
objet-→
P·?ur2dV(3)
Un regard alternative (compl´ementaire) est
d"interpr´eter-→Pcomme produisant une densit´e surfacique de polarisationσpolet une densit´e vo- lumique de polarisationρpol pol=-→P·?nρpol=-div-→P
Cette interpretation am`ene `a une expression
´equivalente deV:
V(M) =1
4π?0??
Sσ polrdS+??? Vρ polrdV??
7 D´eplacement ´electrique
En pr´esence de di´electriques, il est pratique de d´efinir led´eplacement di´electrique-→D:
D≡?0-→E+-→P(4)
L"´equation diff´erentielle de
-→Dest : div -→D=ρ-ρpol≡ρlibre(5) o`uρlibrecorrespond aux charges r´eellement mani- pul´ees dans une exp´erience. On peut parfois r´esoudre-→Den faisant appel `a la forme int´egrale de l"´eq.(5) :
S-→
D·-→dS=Qlibre,int(6)Tr`es souvent, il y a une relation lin´eaire entre o`uχeest lasusceptibilit´edu di´electrique.
Mettant (7) dans (4), on obtient une relation
lin´eaire entre-→Det-→E(relation constitutive) : D=?0(1 +χe)-→E≡?0εr-→E≡?d-→E o`uεrest la constante di´electrique (relative) du di´electrique et?dest la permittivit´e du di´electrique.
8 Conducteurs parfaits
`a l"´equilibre ´electrostatique
Le champ `al"int´erieur d"un conducteur par-
faitest :
Eint=-→0,-→Dint=-→0, V=Cte
Le champ `aproximit´e d"un conducteurest
donn´e par (Th. de Coulomb) :
Eext=σlibre
εr?0?n,-→Dext=σlibre?n
o`u ?nest le vecteur normale `a la surface (de l"int´erieur vers l"ext´erieur) etσlibreest la charge surfacique du conducteur (dans le videεr= 1).
Capacit´eCd"un conducteur isol´e:
C=Q
Vo`uQ=??
surface σd 2S
Coefficients d"influence d"un syst`eme deN
conducteurs Q i=N? j=1C ijVjavecCij=Cji
Capacit´e d"un condensateur
C=Q
Uo`uU=V1-V2, Q=Q1=-Q2
o`uQ1, Q2sont les charges sur les surfaces en in- fluence totale (ou quasi totale). 2
9 Energie potentielle
´electrostatique
D"une charge ponctuelle:We=qV
D"un dipˆole:We=--→p·-→Eext
De distributions de charge :
W e=??
Surface(s)
σV d
2S+???
objet(s)
ρV dV
Energie `a partir du champ ´electrique
W e=?0 2??? tout l"espace r???-→E???2dV
D"un conducteur isol´e :
W e=1
2QV=12CV2=12Q
2C
D"un syst`eme deNconducteurs:
W e=N? i=11 2QiVi
10 Force ´electrostatique
Sur une particule charg´ee(Coulomb)
F=q-→E
Sur un conducteur en ´equilibre :
F=??
S--→d
2F=?? S
P-→dS
o`uP=σ2/εr?0est la pression ´electrostatique.
Force via l"´energie (travaux virtuels) :
F=-?--→gradWe?
Q =?--→gradWe? V
Force et moment sur un dipˆole :
F=--→grad?-→p·-→Eext?
et-→Γ=-→p?-→Eext
Force sur l"armatureid"un condensateur :
F→i=-?--→gradiWe?
Q =U2
2--→grad
iC o`uid´esigne qu"il s"agit d"un gradient par rapport aux coordonn´ees du conducteuri.11 Courrant et r´esistanceDensit´e de courant -→j: -→j=? αnquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22