o`u Q1, Q2 sont les charges sur les surfaces en in- fluence totale (ou quasi totale) 2 Page 3 9 Energie potentielle électrostatique D'une charge
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Formulaire d'électrostatique 1 Champ électrostatique −→ E créé par une charge q `a position P : −→ E (M) = 1 4πǫ0 q ∥ ∥ ∥ −−−→ PM∥∥∥ 2
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Formulaire d'électrostatique Champ électrostatique Créé par une particule: E M q r u ( ) = 1 4 0 2 πε Créé par n charges ponctuelles: E M q
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1 2 Structure du champ électrostatique 2 8 Energie électrostatique la force électrostatique dérive d'une énergie potentielle U = q V (2 11) = 1 4πε0 qq
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Formulaire d'´electrostatique
1 Champ ´electrostatique
Ecr´e´e par une chargeq`a positionP:
E(M) =1
14π?0qr2?r
Ecr´e´e parNcharges ponctuelles :
E(M) =1
4π?0N
i=1q i???---→PiM???2---→P iM???---→PiM??? 14π?0N
i=1q ir2i? uiEcr´e´e par une distribution continue :
E(M) =?
d-→EP(M), d-→EP(M) =dq4π?0r2?u
o`udqest d´etermin´e par une distribution de charge : lineique:dq=(P)dlP≡dl surfacique:dq=σ(P)d2SP≡σdS volumique:dq=ρ(P)dVP≡ρd3V(1) (N.B.?0est la permittivit´e du vide )1/(4π?0)≡K'9:109SI:
2 Propri´et´es fondamentales
1.Theoreme de Gauss :
Forme integrale
S-→E·-→dS=Qint?0Forme dierentielle
div-→E=ρ?0 (N.B.les deux formes du th´eor`eme de Gauss sont reli´ees par le th´eor`eme d"Ostrogradsky)2.L'autre equation fondamentale del'electrostatique,-→rot-→E=-→0entraˆıne
qu"on peut toujours d´efinir un potentiel´electrostatiqueVtel que :
E=---→gradV3 Formulations alternatives
On peut ins´erer
-→E=---→gradVdans l"´equation div-→E=0afin de ramener l"´electrostatique `a
une seule ´equation diff´erentielle de deuxi`eme degr´e (L'equation de Poisson) : div gradV≡ΔV=-ρ?0 o`u l"op´erateur Δ≡div--→grad est appel´e le Lapla- cien. Quand on r´esout cette ´equation dans une r´egion sans charges on dit qu"on a affaire `al'equation de Laplace:ΔV= 0
4 Potentiel ´electrostatiqueV
La diff´erence deVentre deux points (VA-VB)
est d´etermin´e par lacirculation de-→EentreAet B: UAB≡V(A)-V(B) =?
BA-→E·-→dl
Vcr´e´e par une chargeq`a positionP:
V(M) =14π?0q???---→PM???+V0≡14π?0qr+V0Vcr´e´e parNcharges ponctuelles :
V(M) =1
4π?0N
i=1 qi???---→PiM???≡14π?0N i=1q iri+V0Vcr´e´e par une distribution continue :
V(M) =1
4π?0?
dq???---→PM???+V0≡14π?0? dqr+V0 o`u lesdqsont sp´ecifi´e dans l"´eq.(1). S"il n"y a pas de charges `a l"infini, la convention est de prendreV(1) = 0, ce qui entraˆıneV0= 0.
5 Dipˆole ´electrostatique
Un mod`ele d"un dipˆole
-→pest deux chargesq s´epar´ees par une distance-→d. Le moment dipolaire de ce syst`eme est-→p=q-→d. Pour des syst`emes plus compliqu´es, le moment dipolaire ´electrostatique est donn´e par : charges ponctuelles distribution surfacique-→p=P 1 distribution volumique-→p=???ρ--→OPdVPour des distances grandes devant la taille du
syst`eme :V(M)→1
4π?0-→
p·?rr2(2)6 Di´electriques
Un di´electrique est g´en´eralement caract´eris´e par unvecteur de polarisation,-→P, d´efini partout dans le di´electrique. Le vecteur polarisation peut ˆetre interpr´et´e comme une densit´e volumique de moment dipolaire telle que-→dp=-→PdV. Le poten- tiel cr´e´e par le di´electrique est donc :V(M) =1
4π?0???
objet-→P·?ur2dV(3)
Un regard alternative (compl´ementaire) est
d"interpr´eter-→Pcomme produisant une densit´e surfacique de polarisationσpolet une densit´e vo- lumique de polarisationρpol pol=-→P·?nρpol=-div-→PCette interpretation am`ene `a une expression
´equivalente deV:
V(M) =1
4π?024
Sσ polrdS+??? Vρ polrdV357 D´eplacement ´electrique
En pr´esence de di´electriques, il est pratique de d´efinir ledeplacement dielectrique-→D:D≡?0-→E+-→P(4)
L'equation dierentielle de
-→Dest : div -→D=ρ-ρpol≡ρlibre(5) o`uρlibrecorrespond aux charges r´eellement mani- pul´ees dans une exp´erience. On peut parfois r´esoudre-→Den faisant appel `a la forme int´egrale de l"´eq.(5) :S-→
D-→dS=Qlibre;int(6)Tr`es souvent, il y a une relation lin´eaire entre o`uχeest lasusceptibilitedu di´electrique.Mettant (7) dans (4), on obtient une relation
lin´eaire entre-→Det-→E(relation constitutive) : D=?0(1 +χe)-→E≡?0εr-→E≡?d-→E o`uεrest la constante di´electrique (relative) du di´electrique et?dest la permittivit´e du di´electrique.8 Conducteurs parfaits
`a l'´equilibre ´electrostatiqueLe champ `al'interieur d'un conducteur par-
faitest :Eint=-→0,-→Dint=-→0, V=Cte
Le champ `aproximite d'un conducteurest
donn´e par (Th. de Coulomb) :Eext=σlibre
εr?0?n,-→Dext=σlibre?n
o`u ?nest le vecteur normale `a la surface (de l"int´erieur vers l"ext´erieur) etσlibreest la charge surfacique du conducteur (dans le videεr= 1).CapaciteCd'un conducteur isole:
C=QVo`uQ=??
surface σd 2SCoefficients d"influence d"un syst`eme deN
conducteurs Q i=N? j=1C ijVjavecCij=CjiCapacite d'un condensateur
C=QUo`uU=V1-V2, Q=Q1=-Q2
o`uQ1, Q2sont les charges sur les surfaces en in- fluence totale (ou quasi totale). 29 Energie potentielle
´electrostatique
D'une charge ponctuelle:We=qV
D'un dip^ole:We=--→p·-→Eext
De distributions de charge :
W e=??Surface(s)
σV d
2S+???
objet(s)ρV dV
Energie a partir du champ electrique
W e=?0 2??? tout l'espace r???-→E???2dVD'un conducteur isole :
W e=12QV=12CV2=12Q
2CD'un systeme deNconducteurs:
W e=N? i=11 2QiVi10 Force ´electrostatique
Sur une particule chargee(Coulomb)
F=q-→E
Sur un conducteur en equilibre :
F=??S--→d
2F=?? SP-→dS
o`uP=σ2/εr?0est la pression ´electrostatique.Force via l'energie (travaux virtuels) :
F=-?--→gradWe?
Q =?--→gradWe? VForce et moment sur un dip^ole :
F=--→grad?-→p·-→Eext?
et-→=-→p?-→EextForce sur l'armatureid'un condensateur :
F→i=-?--→gradiWe?
Q =U22--→grad
iC o`uid´esigne qu"il s"agit d"un gradient par rapport aux coordonn´ees du conducteuri.11 Courrant et r´esistanceDensite de courant -→j: -→j=? ffn ffqff-→va=? ffρ ff-→vaCourrantI:
I=dQ dt=?? section-→ j·-→dSLoi d'Ohm local :
-→j= -→E conductivit´e,= 1/ r´esistivit´e)Resistance d'un conducteur
R=VA-VB
I=? BA-→E·-→dl??
-→E·-→dSD'un lde sectionSet longueurL:
R=L SD'un conducteur de section variable :
R=?dl S(8)12 Electrocin´etique
Force electromotrice(fem) entreAetB
e=? BA-→
Fm q·-→dl=? BA-→Em·-→dl
Bilan de puissance d'une portion de circuit
U=V -VA B
{U=VA-VB=RI-e {P=UI, puissance disponible entreAetB {PJ=RI2,puissance dissip´ee par effet Joule {P=eIpuissance fournie g´en´er´ee ( sie >0) ou consomm´ee ( sie <0)Lois de conservation
{ Lois des noeuds (conservation de charge) ?I entrants=?I sortants { Loi des mailles (conservation d"´energie) ?(RkIk-ek) = 0 3Formulaire de magn´etostatiqueet Induction1 Champ magn´etostatique-→Bcr´e´e par une particule en mouvement `a vitesse
constante :