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Analyse num´erique et optimisationTD4 - 18/02/2014A. Ern - Groupes 5 & 12 Formulation variationnelle et th´eor`eme de Lax-Milgram

Exercice 1 : condition limite de type Robin

Soit Ω un ouvert born´e r´egulier de classeC1,f?C0( Ω) etg?C0(∂Ω) deux fonctions donn´ees, etβun r´eel positif. On consid`ere le probl`eme ?Trouveru?C2(

Ω) tel que

-Δu=fdans Ω,

βu+∂u

∂n=gsur∂Ω.(1) Lorsqueβ >0, on dit que la condition limiteβu+∂u ∂n=gest de type Robin (ou Fourier).

1. Montrer que toute solution de (1) est solution d"un probl`eme de la forme

?Trouveru?Vtel que a(u,v) =L(v)?v?V,(2) o`uV=C1( Ω) et o`uaetLsont des formes bilin´eaires et lin´eaires que l"on pr´ecisera. (In- dication : effectuer une int´egration par parties et utiliser la condition limite deRobin dans l"int´egrale de bord.) Remarque : l"espaceVn"a pas une structure d"espace de Hilbert; le probl`eme(2)ne rentre donc pas dans le cadre d"application du th´eor`eme de Lax-Milgram. Nous construirons pro- chainement un cadre fonctionnel mieux adapt´e `a l"´etude de ce probl`eme.

2. Montrer que siβ >0, le probl`eme (2) poss`ede au plus une solution, et qu"il en est de mˆeme

pour le probl`eme (1). Exercice 2 : approximation interne (Galerkin) et lemme de C´ea SoitVun espace de Hilbert,aune forme bilin´eaire surV×V, continue et coercive (param`etres Metν) etLune forme lin´eaire continue surV. On consid`ere le probl`eme ?Trouveru?Vtel que a(u,v) =L(v)?v?V,(3) qui, de par le th´eor`eme de Lax-Milgram, admet une et une seule solution.

1. SoitVN?Vun sous-espace deVde dimension finieN. Montrer que le probl`eme

?TrouveruN?VNtel que a(uN,vN) =L(vN)?vN?VN,(4) admet une et une seule solution. On dit que le probl`eme (4) constitue une approximation interne (ou de Galerkin) du probl`eme de d´epart (3). Montrer que si (par miracle)u?VN, alorsuN=u. 1

2. Soit (φ1,...,φN) une base deVNet (U1,...,UN) les composantes de l"unique solutionuN

de (4) dans la base (φ1,...,φN). Montrer que le vecteur colonneU= (U1,...,UN)test solution d"un syst`eme lin´eaire du type AU=B. On exprimera les coefficients de la matriceA?RN,Net du vecteurB?RNen fonction des formesaetLet de la base (φ1,...,φN).

3. Montrer que la matriceAest d´efinie positive (et donc inversible!).

4. ´Etablir l"estimation d"erreura priorisuivante (lemme de C´ea) : il existe une constanteC, que l"on pr´ecisera, telle que

N?VN?u-yN?V.

(Indication : montrer que le r´eela(u-uN,u-yN) est ind´ependant du choix deyN?VN.) On dit que l"estimation d"erreur ci-dessus est optimale; pourquoi? Exercice 3 : une m´ethode de r´esolution it´erative SoitVun espace de Hilbert,aune forme bilin´eaire surV×V, continue et coercive (param`etres Metν) etLune forme lin´eaire continue surV. Soitul"unique solution du probl`eme ?Trouveru?Vtel que a(u,v) =L(v)?v?V.(5)

On se propose d"approcher la solutionu?Vpar une m´ethode it´erative en g´en´erant une suite

(uk)k≥0d"´el´ements deV. On initialise la m´ethode avec unu0arbitraire dansV.

1. Soituk?V. Montrer qu"il existe un uniqued(uk)?Vtel que

?d(uk),v?=a(uk,v)-L(v)?v?V.

2. Soitλun param`etre r´eel strictement positif. On g´en`ere la suite (uk)k≥0en posant pour tout

k≥0, u k+1=uk-λd(uk). Montrer que siuk→ydansV, alorsy=u, l"unique solution de (5).

3. V´erifier que sid(uk0) = 0 pour un certain indicek0, alors pour toutk≥k0,ukest constante

et ´egale `au.

4. Montrer que l"applicationFλ:V?y?→y-λd(y)?Vest strictement contractante sous

l"hypoth`ese

0< λ <2ν

M2. (Indication : d´evelopper la norme?Fλ(y)-Fλ(z)?2Vet observer que?d(y)-d(z),v?= a(y-z,v) pour toutv?V.) En d´eduire la convergence de la m´ethode it´erative propos´ee. Remarque : ce r´esultat constitue une preuve alternative `a celle du th´eor`eme de Lax-Milgram concernant l"existence de la solution de (5).

5. On suppose de plus que la forme bilin´eaireaest sym´etrique. Rappeler la fonctionnelle

d"´energie minimis´ee par la solutionu?Vet montrer que cette fonctionnelle est d´ecroissante

pour la suite (uk)k≥0. 2

Corrig´e

Exercice 1 : condition limite de type Robin

1. Soitusolution de (1) et montrons queuest solution d"un probl`eme de la forme (2). Tout

d"abord,u?C2( Ω)?C1(Ω) =V. On multiplie ensuite l"´equation-Δu=fpar une fonctionv?V, on int`egre sur Ω, et on utilise la formule de Green (Corollaire 3.2.4). Il vient f(x)v(x)dx=-?

Δu(x)v(x)dx=?

?u(x)·?v(x)-? ∂Ω∂u ∂n(x)v(x)ds. On utilise la condition limite de Robin dans l"int´egrale de bord; d"o`u f(x)v(x)dx=? ?u(x)·?v(x) +β? ∂Ωu(x)v(x)ds-? ∂Ωg(x)v(x)ds.

On obtient un probl`eme de la forme (2) avec

a(u,v) =? ?u(x)·?v(x)dx+β? ∂Ωu(x)v(x)ds,

L(v) =?

f(x)v(x)dx+? ∂Ωg(x)v(x)ds.

2. Supposons que le probl`eme (2) admette deux solutionsu1etu2. Posonsw=u1-u2. La

fonctionwest dansVet v´erifie a(w,v) = 0?v?V.

En prenantv=w, il vienta(w,w) = 0, c"est-`a-dire

|?w(x)|2+β? ∂Ω|w(x)|2ds= 0. Donc, d"une part?w= 0, ce qui prouve quewest constante sur chacune des composantes connexes de Ω, et d"autre partw= 0 sur le bord de Ω (carβ >0); d"o`uw= 0 et donc

l"unicit´e de la solution de (2). Comme toute solution de (1) est solutionde (2), on en d´eduit

l"unicit´e de la solution de (1). Exercice 2 : approximation interne (Galerkin) et lemme de C´ea

1. On applique le th´eor`eme de Lax-Milgram. L"espaceVNest de dimension finie; c"est donc

un espace de Hilbert (pour toute norme). La forme bilin´eaireaest continue et coercive sur Vdonca fortiorisur le sous-espaceVN(avec les mˆemes param`etresMetνsi on munitVN de la norme deV). De mˆeme,Lest continue surVN. Enfin, si par miracleu?VN, alors commea(u,vN) =L(vN) pour toutvN?VN(carVN?V),uest solution de (4), et par unicit´e de la solution,uN=u.

2. Par lin´earit´e, (4) ´equivaut `a

D"o`u, en utilisant le fait queuN=?Nj=1Ujφj,

L(φi) =a((

N? j=1U jφj,φi)) =N? Les composantes de la matriceAsont donn´ees parAij=a(φj,φi) (attention `a l"ordre des indices lorsquean"est pas sym´etrique) et celles du vecteurBparBi=L(φi). 3

3. SoitX= (X1,...,XN)t?RN. Posonsξ:=?Ni=1Xiφi?V. Il vient

N i,j=1A ijXiXj=a(( N? j=1X jφj,N? i=1X iφi)) =a(ξ,ξ)≥ν?ξ?2V. Par suite, la matriceAest positive. De plus, si?Ni,j=1AijXiXj= 0, on d´eduit queξ= 0 et par suiteX1=...=XN= 0. La matriceAest donc d´efinie positive.

4. L"indication se v´erifie en observant que pour toutyN?VN,

a(u-uN,yN) =L(yN)-L(yN) = 0. En utilisant coercivit´e et continuit´e, il vient pour toutyN?VN, Siu?VN, on a vu queuN=uet l"estimation d"erreur est ´evidente (pour toute constante C). Siu??VN, alors en divisant par?u-uN?V, il vient

ν?u-yN?V,

d"o`u l"estimation d"erreur avecC=M

νen prenant l"infimum suryN?VN. On dit que

l"estimation est optimale car inf yN?VN?u-yN?Vest la plus petite valeur possible pour l"erreur. Exercice 3 : une m´ethode de r´esolution it´erative

1. On applique le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz.

2. Siuk→ydansV, alorsd(uk)→0 dansV. En utilisant la continuit´e dea, on d´eduit que

pour toutv?V, en faisantk→ ∞,

0 =a(y,v)-L(v)?v?V.

Le vecteuryest donc solution de (5) et par unicit´e,y=u.

3. Sid(uk0) = 0, alors par d´efinition,uk0est solution de (5) et par unicit´e de la solution,uk0=u.

De plus,uk0+1=uk0(card(uk0) = 0) si bien queuk0+1=u. Par suite,d(uk0+1) = 0 et on conclut par r´ecurrence.

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Exercice 1 : condition limite de type Robin

Ω) tel que

βu+∂u

1. Montrer que toute solution de (1) est solution d"un probl`eme de la forme

2. Montrer que siβ >0, le probl`eme (2) poss`ede au plus une solution, et qu"il en est de mˆeme

1. SoitVN?Vun sous-espace deVde dimension finieN. Montrer que le probl`eme

2. Soit (φ1,...,φN) une base deVNet (U1,...,UN) les composantes de l"unique solutionuN

3. Montrer que la matriceAest d´efinie positive (et donc inversible!).

N?VN?u-yN?V.

1. Soituk?V. Montrer qu"il existe un uniqued(uk)?Vtel que

2. Soitλun param`etre r´eel strictement positif. On g´en`ere la suite (uk)k≥0en posant pour tout

3. V´erifier que sid(uk0) = 0 pour un certain indicek0, alors pour toutk≥k0,ukest constante

4. Montrer que l"applicationFλ:V?y?→y-λd(y)?Vest strictement contractante sous

0< λ <2ν

5. On suppose de plus que la forme bilin´eaireaest sym´etrique. Rappeler la fonctionnelle

Corrig´e

Exercice 1 : condition limite de type Robin

1. Soitusolution de (1) et montrons queuest solution d"un probl`eme de la forme (2). Tout

Δu(x)v(x)dx=?

On obtient un probl`eme de la forme (2) avec

L(v) =?

2. Supposons que le probl`eme (2) admette deux solutionsu1etu2. Posonsw=u1-u2. La

En prenantv=w, il vienta(w,w) = 0, c"est-`a-dire

1. On applique le th´eor`eme de Lax-Milgram. L"espaceVNest de dimension finie; c"est donc

2. Par lin´earit´e, (4) ´equivaut `a

D"o`u, en utilisant le fait queuN=?Nj=1Ujφj,

L(φi) =a((

3. SoitX= (X1,...,XN)t?RN. Posonsξ:=?Ni=1Xiφi?V. Il vient

4. L"indication se v´erifie en observant que pour toutyN?VN,

ν?u-yN?V,

νen prenant l"infimum suryN?VN. On dit que

1. On applique le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz.

2. Siuk→ydansV, alorsd(uk)→0 dansV. En utilisant la continuit´e dea, on d´eduit que

0 =a(y,v)-L(v)?v?V.

3. Sid(uk0) = 0, alors par d´efinition,uk0est solution de (5) et par unicit´e de la solution,uk0=u.

4. On observe que pour tout (y,z)?V×V,

Par coercivit´e dea, il vient en prenantv=y-z,

De plus, par continuit´e dea, il vient

Par cons´equent,

J(v) :=1

2a(v,v)-L(v).

Un calcul direct montre, en posantdk=d(uk), que

J(uk+1) =J(uk-λdk)

2λ2a(dk,dk)

2λ2a(dk,dk)

2λ2M?dk?2V

2λM-1)?dk?2V< J(uk)