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Feuille d"exercices : Formulations Faibles
Exercice1.Soitun ouvert régulier de classeC1. On supposerau,v,Á,Ãet¾suffisamment dérivables
à chaque fois. À l"aide de la formule de Green, montrez les formules suivantes1.La formule du Laplacien
Z¢u(x)v(x)dxAE¡
Z ru(x)¢rv(x)dxÅ Z @u @n(x)v(x)ds, oùruAE³@u
@xi1·i·dest le vecteur gradient de u, et@u
@nAEru¢n.2.La formule de Stokes :
Z div¾(x)Á(x)dxAE¡ Z¾(x)¢rÁ(x)dxÅ
Z @¾(x)¢n(x)Á(x)ds.3.La formule du rotationnel :
Z rotÁ¢Ãdx¡ ZÁ¢rotÃdxAE¡
Z @(Á£n)¢Ãds, où le rotationnel est défini par rotÁAEµ@Á3
@x2¡@Á2 @x3,@Á1 @x3¡@Á3 @x1,@Á2 @x1¡@Á1 @x2Exercice 2.Donnez la formulation variationnelle du système suivant (équation de Helmholtz) dans
H1(), où kÈ0:(
¢uÅk2uAEf()
@nuAE0 (¡:AE@) Faites de même en remplaçant la condition aux limites sur@par (ıAEp¡1) : @nu¡ıkuAE0. Exercice 3.SoitAE]1,1[. Montrez que la fonction valeur absoluef:x7!jxjest dansH1()et calculezsa dérivée faible, que lon note f0. Est-ce que f02H1()? Si oui, calculez sa dérivée faible.
Exercice 4.Plaçons nous en dimension1sur l"intervalleAE]¡1,1[. Montrez que l"espaceC1()... •N"est pas complet pour la normekfk1AEsupx2jf(x)j •Est complet pour la norme N(f)AEsupx2jf(x)jÅsupx2jf0(x)j2TD 1. FORMULATIONS FAIBLES
•N"est pas complet pour la norme NH1()(f)AE¡R jf(x)j2dxÅR jf0(x)j2dx¢1/2Pour montrer la non complétude de l"espace, nous suggérons d"étudier la suite de fonction(un)n
définit surpar8x2,un(x)AE
8><¡x¡1,si¡1ÇxÇ¡1/n,
x¡1,si1/nÇxÇ1. Exercice 5.Soient f2L2(), g2L2(@)et®È0. On considère le problème suivant¡¢uÅuAEf()
@nuŮuAEg(@)1.Donnez sa formulation variationnelle
2.Peut-on appliquer le Théorème de Lax-Milgram?
Exercice 6.Soit°:H1()!L2(@)l"application trace sur@. On considère l"espace de Sobolev des fonctions de H1()de trace nulle :H10()AE©u2H1()tel que°(u)AE0ª.
Soient f2L2()et le problème suivant
¡¢uAEf()
uAE0 (@)1.Donnez sa formulation variationnelle dans H10()
2.A l"aide de l"inégalité de Poincaré :
9CÈ0/8v2H10(),Ckvk2
H1()·krvk2
L2(), montrez que la formulation variationnelle admet une unique solution. 2Correction
Exercice 1.Soitun ouvert borné et régulier de classeC1. On supposerau,v,Á,Ãet¾suffisamment
dérivables à chaque fois. À l"aide de la formule de Green, montrez les formules suivantes