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Chapitre3

M´ethodesvariation nelles

3.1Exempl esdeprobl`emesvaria tionnels

3.1.1Leprobl `emedeDi richlet

SoitΩunouve rtborn´edeIR

d -Δu=f,dansΩ, u=0sur∂Ω, (3.1) o`uf?C( )etΔu=∂ 2 1 u+∂ 2 2 u,o`ul'ond´esignepar∂ 2 i ulad ´eriv´eepartielled'ordre2parrap ort`alai-`eme variable. D´efinition3.1Onap pellesolutionclassiq uede(3.1)unefonc tionu?C 2 )quiv´erifie(3.1).

Soitu?C

2 )unesol utionclassiquede(3.1), etsoit??C c ),o`uC c )d´esignel'ensembledesfonctions dec lasseC `as upp ort com pac tda nsΩ.Onmultiplie(3.1)par?eto nint`eg resurΩ(onappe lleraparlasuite? "fonctiontest"):onadonc: -Δu(x)?(x)dx= f(x)?(x)dx. deGr een),ona: -Δu(x)?(x)dx=- d i=1 2 i u(x)?(x)dx d i=1 i u(x)?(x)dx+ d i=1 i u·n i (s)?(s)dγ(s) o`un i

d´esignelai-`emecomposa nteduvecteurunitairenormal`al afront i`ere∂ΩdeΩ,etext´erieur`aΩ,etdγ

d´esignelesymboled'int´egrationsur∂Ω.Comme?estnull esur∂Ω,onobtient: d i=1 i u(x)∂ i ?(x)dx= f(x)?(x)dx. cequ is'´ecritenco re: ?u(x)·??(x)dx= f(x)?(x)dx.(3.2)

Donctoute solutionclassiq uede(3.1)satisfait(3.2)

Prenonsmaintenantc ommefonctiontest?,nonplusunefonctiondeC c ),maisunefonctiondeH 1 0 ).On rappellequel'espaceH 1 0 )estd´efi nicommel'adh´erencedeC c )dansH 1 )={u?L 2 );Du?L 2 o`uDud´esignelad´eriv´eefaib ledeu,voirparexemple[1].Onrappellequel'espaceH 1 )munidupro duit scalaire (u,v) H 1= u(x)v(x)dx+ d i=1 D i u(x)D i v(x)dx(3.3) 98

3.1.EXE MPLESCHAPITRE3.M

ETHODESVARIATIO NNELLES

estunesp acedeHil bert.Lesespaces H 1 )etH 1 0 )fontpartiedesespacesdits" deSobolev "(voir[1]pourune introduction). Si??H 1 0 ),pard´efinition,ilexiste(? nquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3