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Corrige de la Seance 2 : Formulations variationnelles

Dans la suite,

est un ouvert borne deR3, dont la frontiere@ est \reguliere". On note nla normale unitaire exterieure a la frontiere. Exercice 1 Probleme avec condition aux limites de Fourier

On considere le probleme aux limites

Trouveru2H1(

)telle queuu=fdans run+u=gsur@ :(1) avec0,f2L2( ) etg2L2(@

Question 0.On rappelle que

0est la premiere application trace. Quelle assertion est

juste (a)Im 0L2(@ ) et Im

0est dense dansL2(@

(b)L2(@ )Im

0etL2(@

) est dense dans Im 0 (c)L2(@ ) = Im 0:

Corrige de la question 0 :C'est la reponse (a) :

0est une application lineaire continue

deH1( ) dansL2(@ ), son image est donc incluse dansL2(@ ). On a vu dans le cours que son image est m^eme dense dansL2(@ Question 1.Construire la formulation variationnelle (FV1) associee a (1). Corrige de la question 1 :En multipliant la 1ere equation de (1) parv2H1( ) et en integrant sur on obtient facilementZ uv d Z uv d =Z fv d ;8v2H1(

Commeuest dansH1(

) et u=uf2L2( ), on au2H1( ;4). On suppose pour simplier queu2H2( ). On peut donc appliquer la formule de Green au deuxieme terme, on aZ uv d +Z ru rv d Z @u@n vj@ d =Z fv d ;8v2H1( Il sut enn d'utiliser la 2eme equation de (1) pour trouver la formulation variationnelle associee :

Trouveru2H1(

)telle queZ uv d +Z ru rv d +Z uj@ vj@ d =Z fv d +Z gvj@ d;8v2H1( ):(FV1)

ANN201. Methode des elements nis (2022-2023)2

Question 2.Prouver l'unicite de la solution de (FV1). Que se passe-t-il si <0? Corrige de la question 2 :Soientu1,u2deux solutions de (FV1), alors Z (u1u2)v d +Z r(u1u2)rv d +Z (u1j@ u2j@ )vj@ d = 0;8v2H1(

On choisit la fonction-testv=u1u2pour trouver

ku1u2k2 H1( )+ku1j@ u2j@ k2 L2(@ )= 0:

Puisque0, on en deduit queku1u2kH1(

)= 0 et doncu1=u2. Lorsque <0, le 1er terme est positif, et le 2nd est negatif : on ne peut pas conclure tout de suite. Cependant, si <0 maisjjpetit, on peut encore conclure. En eet, on a par continuite de l'application trace ku1j@ u2j@ k2 L2(@ )C20ku1u2k2 H1( donc comme <0, on obtient

0 =ku1u2k2

H1( )+ku1j@ u2j@ k2 L2(@ )(1 +C20)ku1u2k2 H1( Si 1 +C20>0, c'est a dire >1=C20, le dernier terme est positif et donc nul! Ceci nous donne de nouveau l'unicite.

Si <0 et <1=C20, on ne peut pas conclure.

Question 3.Etablir l'equivalence entre les problemes (1) et (FV1). Corrige de la question 3 :D'apres ce que l'on vient de voir, siuest solution de (1), alorsuverie (FV1). Examinons la reciproque. Dans (FV1), si on choisitv2D( H 1( )), on a alors :Z (uv+ru rv)d =Z fv d puisquev= 0 sur@ . On remplace ensuite les integralesZ @v d par des crochets de dualiteh;@vi, puis on derive au sens des distributions : hf;vi=hu;vi+X i=1;3h@u@x i;@v@x ii=hu;vi X i=1;3h@2u@x

2i;vi=hu;vi hu;vi:

On en deduit que

huu;vi=hf;vi;8v2D( c'est-a-dire queuu=fau sens des distributions. Puisqueuetfappartiennent a L 2( ), u2L2(quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3