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Analyse numérique des EDP - TD1 1

Master MAPI

31ereannée Université Paul Sabatier - Toulouse 3 Année 2015-2016

Analyse numérique des EDP

TD 1

Avec certains corrigés

Les numéros de Théorèmes, Propositions, etc ... font référence aux notes de cours.

Exercice 1 (Défaut de coercivité dansC1)On considèreX=fv2 C1([0;1]); v(0) =v(1) = 0gmuni de sa norme usuelle et l"énergieEdéfinie par

E(v) =12

Z 1 0 jv0j2dxZ 1 0 fv dx; oùfest une fonction continue qui est identiquement nulle sur un intervalle non trivial[;][0;1]. Montrer qu"il existe une suite(vn)nd"éléments deXde la forme v n(x) =1pn '(n(xx0)); avec'etx0bien choisis, telle que(E(vn))nest bornée maiskvnkX!n!11.Corrigé :

On prendx0=+2

,'une fonctionC1c(R)à support dans]1;1[non identiquement nulle. Ainsi la fonctionvnest bien nulle en0et1pour toutnassez grand. On a immédiatement, pour nassez grand,kvnkL1=k'kL1pn etkv0nkL1=pnk'0k1. On a donc bienkvnkX!

1quandn! 1.

Calculons l"éner giede vn

E(vn) =k2

Z 1 0 jv0n(x)j2dxZ 1 0 f(x)vn(x)dx:

Par hypothèse surf, et par construction devn, les supports defet devnsont disjoints et donc le second terme est

nul. Il nous reste donc à évaluer la première intégrale. On utilise la définition devnet un changement de variable

y=n(xx0)

E(vn) =k2

Z R nj'0(n(xx0))j2dx=k2 Z R j'0(y)j2dy:

Ainsi la suite(E(vn))nest bien bornée (elle est même constante sur cet exemple!!).Exercice 2 (Défaut de complétude dansC1)On considère toujours l"espaceX=fv2 C1([0;1]); v(0) =v(1) = 0gmais muni, vette fois, de la norme

kvkH1=qkvk2L2+kv0k2L2.

Vérifier que la suite(un)ndéfinie par

u n(x) =s x12 2 +1n r1 4 +1n est une suite de Cauchy non convergente dans(X;k kH1).Corrigé :

Commençons par montrer que la suite (un)nn"est pas convergente dans(X;kkH1). Pour cela, on suppose qu"elle

converge vers un certainu2X. D"après le lemmeI.8 , ceci implique que,unconverge uniformément versusur

[0;1]. En particulier, on aurait la convergence simple deunversusur[0;1]. On voit alors immédiatement que cela impliqueu(x) =x12 12 . Or, cette fonctionun"est pas de classeC1sur [0;1]à cause de la singularité enx=12 . Ceci établit donc une contradiction.

F. BOYER- VERSION DU29JANVIER2016

2 Analyse numérique des EDP - TD1

Montrons maintenant que (un)nest de Cauchy dansH1. Pour cela on commence par utiliser le lemmeI.8 pour

établir que,unetun+pétant dansX, on a

Ainsi, pour montrer le critère de Cauchy dansH1pour(un)nil suffit de vérifier que(u0n)est de Cauchy dansL2.

Calculons doncu0nu0n+p

u

0n(x)u0n+p(x) =x1=2q

(x1=2)2+1n x1=2q (x1=2)2+1n+p = (x1=2)q(x1=2)2+1n+pq(x1=2)2+1nq (x1=2)2+1n q(x1=2)2+1n+p (x1=2)

1n+p1n

q (x1=2)2+1n q(x1=2)2+1n+p q(x1=2)2+1n +q(x1=2)2+1n+p

On prend la valeur absolue de cette expression et on essaie de majorer intelligemment les différents termes. Comme

on sait qu"il n"y a pas convergence uniforme de cette suite de fonctions (car sinon la limiteu0serait continue ...), la

majoration qu"on doit obtenir doit encore dépendre dex! De façon plus précise, on utilise les inégalités p(x1=2)2+ 1=(n+p) jx1=2j et p(x1=2)2+ 1=(n+p) +p(x1=2)2+ 1=np(x1=2)2+ 1=n:

Il vient ainsi

ju0n(x)u0n+p(x)j 1n (x1=2)2+1n 1n

1(x1=2)2+1n

78

1(x1=2)2+1n

18 1n 11 n 78

1jx1=2j14

=1n

1=81jx1=2j14

Si maintenant on élève l"inégalité au carré et qu"on l"intègre entre0et1, il vient Z 1 0 ju0nu0n+pj2dx1n 1=4Z 1

01jx1=2j12

dx:

Comme l"intégrale qui apparaît dans le membre de droite est convergente (c"est une intégrale de Riemann), on a

bien montré ku0nu0n+pkL2Cn 18

ce qui prouve bien que la suite(u0n)nest de Cauchy dansL2, et donc que(un)nest de Cauchy dans(X;k kH1)

d"après la remarque initiale.Exercice 3 (FonctionsC1par morceaux)SoitIun intervalle ouvert borné deRet2I. Montrer qu"il n"existe pas de fonctiong2L2(I)telle que

'() =Z I 'g dx;8'2 C1c(I): En déduire que sif:I!Rest une fonction de classeC1par morceaux, alors f2H1(I)()fest continue:

Que vaut la dérivée faible defdans le cas où elle appartient àH1(I)?F. BOYER- VERSION DU29JANVIER2016

Analyse numérique des EDP - TD1 3

Corrigé :

Il s"agit d"un raisonnement par l"absurde. On suppose qu"il existe une fonctiongqui vérifie l"égalité de l"énoncé

'() =Z Iquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3