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Fonctions à deux variables
ECE3 Lycée Carnot
25 janvier 2012
1 Aspect graphique
Définition 1.Unefonction à deux variablesest une application: R, oùest une sous-ensemble du planR2appelé domaine de définition de la fonction. Exemples :La fonction: ()3+22+342est une fonction à deux variables définie surR2tout entier. La fonction: ()ln(+1)est une fonction définie sur l"ensemble des couples()vérifiant+10, qui se trouve être le demi-plan supérieur ouvert délimité par la droite d"équation= 1. Proposition 1.Tout sous-ensemble de la forme()++= 0, où,etsont trois réels tels que()= (00)est une droite. Démonstration.Si= 0, on peut mettre l"équation sous la forme= , qui est bien une équation de droite. Et si= 0, on a par hypothèse= 0, donc on obtient= , qui est également une droite, en l"occurence parallèle à l"axe des ordonnées. Exemple :La fonction: ()?422est définie à l"intérieur du cercle de centreet de rayon2. Proposition 2.Le sous-ensemble deR2défini par l"équation2+2=, avec?0, est le cercle de centre0et de rayon (si 0, l"ensemble est vide). Démonstration.Dans le planR2(muni d"un repère orthonormal, mais ce sera toujours le cas pour nous), le pointde coordonnées()est situé à une distance?2+2de l"originedu repère
(c"est une application du théorème de Pythagore), donc2+2=2=2=. l"ensemble des points à distancedeest bien le cercle de centreet de rayon. Définition 2.Lareprésentation graphiqued"une fonction à deux variables dans un repère ()de l"espace est l"ensemble des points()vérifiant=(). Remarque1.Une fonction à deux variables est donc représentée non pas par une courbe, maispar une surface dans l"espace. Il est très difficile en généralde visualiser ce genre de représentations
graphiques, c"est pourquoi on en est souvent réduit à étudier les coupes par des plans que représentent
les lignes de niveau et les applications partielles. Définition 3.Soitun réel etune fonction de deux variables, laligne de niveaude la fonction est l"ensemble des couples()vérifiant() =. Remarque2.Il s"agit donc de la coupe de la surface représentative depar le plan " horizontal » d"équation=. La plupart du temps, une ligne de niveau n"est pas la courbe représentative d"une fonction à une variable. 1 Exemple :Considérons la fonction() =2+2, sa ligne de niveauest définie par l"équation2+2=. Il s"agit donc du cercle de centreet de rayon
quandest positif, la ligne de niveau est vide sinon. Voici une représentation des lignes de niveau pourentier compris entre1et4. Il ne reste plus qu"à les relier mentalement pour imaginer l"allure de la surface représentative
de. 22 Exemples de surfaces
Juste quelques surfaces tracées à l"ordinateur pour avoir une idée de ce à quoi ça peut ressembler.
-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
zf(x,y)=x^2+y^2 x yz -3-2-1 0 1 2 3-3-2-1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 zf(x,y)=(x^3-3x)/(1+y^2) xyz 3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 zf(x,y)=2(x^2+y^2)e^(-x^2-y^2) xyz -5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -25-20-15-10-5 0 5 10 15 20 25 zf(x,y)=x^3-4x^2y+5y-2 xyz 43 Dérivées partielles
On ne peut pas étudier les variations d"une fonction à deux variables comme on le fait pourune fonction à une variable, puisque la simple notion de fonction croissante ou décroissante n"a pas
d"équivalent quand on passe à deux variables. Il est cependant intéressant de calculer un analogue
de la dérivée dans ce cadre, qui permet notamment de trouver les minima ou maxima de la fonction,
comme c"est le cas pour une fonction à une variable. Définition 4.Soit: ()()à deux variables, lesapplications partiellesassociées sont les deux fonctions à une variablex:()ety:().Remarque3.Les applications partielles sont donc données par la même équation que la fonction
elle-même, seul le statut deet dechange : au lieu d"avoir deux variables, l"une d"elles estdésormais fixée, même si on ne connait pas sa valeur. Pour rendre les choses plus concrètes, on peut
assigner une valeur à la varible fixée. Par exemple, si() =23+3, on dira que l"application partielle obtenue en fixant= 1est la fonction d"une variable23+1(on a posé= 1dans l"équation de), ou que l"application partielle obtenue en fixant= 2est la fonction46+3.Tracer les représentations graphiques de ces applicationspartielles revient à tracer la coupe de la
surface représentative depar les plans d"équation respective= 1et= 2(plans " verticaux » si on oriente le repère de façon habituelle).Définition 5.Lesdérivées partiellesd"une fonction à deux variables sont les dérivées de ses
application partielles. On note la dérivée dexetcelle dey.Remarque4.Pour calculer ces dérivées partielles, on dérive en considérant l"une des deux variables
comme une constante (on dit qu"on dérive la fonctionpar rapport àourespectivement), mais chacune des deux dérivées partielles reste une fonction à deux variables.Remarque5.On se contentera de calculer ces dérivées partielles sans sepréocupper de justifier leur
existence, ce qui est un problème plus complexe que dans le cas d"une fonction à une variable. Définition 6.Les quatres dérivées partielles des fonctions et(deux pour chaque fonction) sont appeléesdérivées partielles secondesde la fonction. On note2