DÉRIVÉES PARTIELLES ET ÉLASTICITÉ est dérivable au point x0 La dérivée est alors appelée premi`ere dérivée partielle de f en (x0,y0) et notée : ∂f ∂x
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Exemples f x,y 2x2y 3xy x y 5 admet des dérivées partielles en x et en y pour tout Definition On appelle élasticité de y par rapport à x le rapport entre la
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10 oct 2016 · en ai, alors le nombre dérivé fi(ai) est appelé dérivée partielle de f par Il faut comprendre l'élasticité d'une fonction de plusieurs variables f
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plusieurs variables (parmi lesquels les dérivées partielles, les différentielles ) L'emploi Appliquons la formule qui donne l'élasticité de la fonction k : σ = dk
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dérivée partielle de f par rapport à la composante xi , la fonction définie de R™ dans Définition 4 18 On appelle élasticité de f par rapport à la variable c; en un
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alors l'élasticité prix de la demande de glace est calculée par: 2 10 20 100 00 2 Toutefois, élasticité et dérivée sont liées par une formule « magique »
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fpx:=D[1](f);#fonction dérivée partielle par rapport à x fpy:=D[2](f);#fonction 2 x 2 Cy 2 2 2 L'élasticité de f par rapport à la variable x est, par définition : 1
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DÉRIVÉES PARTIELLES ET ÉLASTICITÉ est dérivable au point x0 La dérivée est alors appelée premi`ere dérivée partielle de f en (x0,y0) et notée : ∂f ∂x
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Pour une fonction à deux variables, il y a deux dérivées partielles premières P (Q), où : ϵ est l'élasticité-prix de la demande adressée au monopole ;
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Pour calculer la premi`ere dérivée partielle, on consid`ere y comme un param` etre et on dérive comme d'habitude Exemple Posons f := (x,y) ↦→ xy + y2 + cosxy
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25 jan 2012 · Les dérivées partielles d'une fonction à deux variables sont les dérivées de en un point d'un isoquant sont appelés coefficients d'elasticité :
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Cours d"Analyse
Fonctions de plusieurs variables
Licence1`ereann´ee - 2007/2008
Nicolas Prioux
Universit´e de Marne-la-Vall´ee
Table des mati`eres
1 Notions de g´eom´etrie dans l"espace et fonctions `a deux variables ........ 5
1.1 Exemples de fonctions `a plusieurs variables en ´economie............ 5
1.2 L"espaceR3....................................................... 6
1.3 Produit scalaire.................................................... 9
1.4 Vecteur normal et ´equation d"un plan dans l"espace................. 11
1.5 Repr´esentation graphique des fonctions de deux variables............ 13
1.5.1 Domaine de d´efinition et graphe................................ 13
1.5.2 Fonctions partielles et coupes................................... 16
1.5.3 Courbes de niveau ............................................. 17
2 Continuit´e et d´erivation de fonctions de plusieurs variables.............. 21
2.1 Continuit´e et limites............................................... 21
2.1.1 Continuit´e..................................................... 21
2.1.2 Notion de limite ............................................... 23
2.2 D´eriv´ees partielles et ´elasticit´e ..................................... 23
2.3 D´eriv´ees d"ordre sup´erieur ......................................... 26
2.4 Notion de diff´erentielle et d´erivation des fonctions compos´ees ....... 27
2.4.1 D´eveloppement de Taylor d"ordre1............................. 27
2.4.2 D´eriv´ee de fonctions compos´ees ................................ 283
Cours d"Analyse - 4 - Fonctions de plusieurs variablesChapitre
Notions de g´eom´etrie dans
l"espace et fonctions `a deuxvariables11.1Exemples de fonctions `a plusieurs variables en
´economie
Les fonctions utilis´ees dans les mod`eles ´economiques sont, le plus souvent, des fonc- tions de plusieurs variables. Exemple 1.1.1Les fonctions de production, les fonctions d"utilit´e. On consid`ere un syst`eme de production produisant un certain produit "output" `a partir denautres biens, appel´es facteurs de production ou "input". La fonction de production associe `a unn-upplet (x1,...,xn) de nombres positifs la quantit´e maximale qd"output que l"on peut produire. Dans certains mod`eles, on se limite `a deux facteurs de production : le capital et le travail. Dans ce cas, on s"int´eresse `a des fonctions de la forme :q=f(K,L,) o`uKrepr´esente le capital etLle travail. On a alors une fonction de deux variables, associant `a un couple (x,y) de nombres r´eels (ici positifs) un nombref(x,y). Exemple 1.1.2Les fonctions suivantes apparaissent souvent en th´eorie de pro-duction :-f(K,L) =aK+bL(fonction lin´eaire);-f(K,L) = min(K/a,L/b), aveca >0etb >0(fonction `a facteurs compl´ementaires);-f(K,L) =k KαLβ, aveck≥0,α≥0,β≥0(fonction de Cobb-Douglas).Remarque 1.1 :La fonction minimum,min, est la fonction qui prend pour valeur
le plus petit des r´eels pass´es en argument. Par exemple : min(-2,3,4,-10,-4,234) =-10. On d´efinit de la mˆeme mani`ere la notion de maximum,max, qui renvoit le plus grand51.2. L"ESPACER3des ´el´ements pass´es en param`etres :
max(-2,3,4,-10,-4,234) = 234. Les fonctions d"utilit´e apparaissent dans la th´eorie du consommateur. Dans un mod`ele o`u il y anbiens de consommation, unplan de consommationest d´efini par unn-uplet (x1,...,xn) de nombres positifs repr´esentant les quantit´es consomm´ees de chacun des nbiens. La fonction d"utilit´e associe `a ce panier de biens un indice de satisfactionu(x1,x2,...,xn), que le consommateur cherche `a maximiser.1.2L"espaceR3-R, l"ensemble des r´eels, s"identifie `a une droite orient´ee munie d"une origine et d"une
unit´e de longueur :? 0 1-1 -R2, l"ensemble des couples de r´eels (x,y), s"identifie `a un plan muni d"un rep`ere
orthonorm´e (O;-→i ,-→j) compos´e d"une origineOet de trois vecteurs-→iet-→jor-
thogonaux et de longueur ´egale `a 1. Au couple (x,y), on associe le pointMdu plan de coordonn´eesxetydans le rep`ere (O;-→i ,-→j) :?? M xy?? i-→ j O? On peut orient´e le rep`ere, et dans ce cas, on dit que le rep`ere (O;-→i ,-→j) (ou quela base (-→i ,-→j)) est directe si, pour parcourir le plus petit chemin allant de-→i`a-→jsur le cercle unit´e, on tourne dans le sens inverse des aiguilles d"une montre.Cours d"Analyse - 6 - Fonctions de plusieurs variables
CHAPITRE 1. NOTIONS DE G
´EOM´ETRIE DANS L"ESPACE ET
FONCTIONS`A DEUX VARIABLESLorsque l"on tourne dans le sens inverse des aiguilles d"une montre un angle est
alors positif, et il sera n´egatif si on le mesure en allant dans le sens des aiguilles d"une montre. Par exemple, l"angle form´e par les vecteurs-→iet-→jdans un rep`ere orthonorm´e direct est deπ/2 alors que celui form´e par les vecteurs-→jet-→iet de-π/2 (lerep`ere (O;-→j ,-→i) est alors un rep`ere orthonorm´e indirect).Remarque 1.2 :Le couple(x,y)s"identifie au vecteur--→OM. Ainsi, les ´el´ements
deR2sont consid´er´es tantˆot comme des points, tantˆot comme des vecteurs.-R3, l"ensemble des triplets (x,y,z) de r´eels, s"identifie `a l"espace `a trois dimensions
muni d"un rep`ere orthonorm´e (O;-→i ,-→j ,-→k) compos´e d"une origineOet de trois
vecteurs-→i ,-→jet-→kdeux `a deux orthogonaux et de longueur ´egale `a 1. Le tri- plet (x,y,z) s"identifie au pointMdu plan de coordonn´eesx,yetzdans le rep`ere (O;-→i ,-→j ,-→k) :? Mz y x??? i-→ j-→ k O??DansR3, pour dire si un rep`ere (O;-→i ,-→j ,-→k) (ou une base (-→i ,-→j ,-→k)) est directe,
en faisant appel `a la r`egle du "bonhomme de Newton" : il doit se placer au niveau du vecteur-→k(le sens des pieds `a la tˆete est celui de-→k), il doit pointer son brasdroit dans la direction et le sens de-→iet regarder dans la direction et le sens de-→j. Sinon, le rep`ere (ou la base) est dit indirect.
Par exemple, sur le dessin, on peut voir que notre rep`ere est un rep`ere orthonorm´edirect deR3.Remarque 1.3 :Le triplet(x,y,z)s"identifie au vecteur--→OM. Ainsi, les ´el´ements
deR3sont consid´er´es tantˆot comme des points, tantˆot comme des vecteurs.Nous allons maintenant donner les op´erations de bases sur les vecteurs :Cours d"Analyse - 7 - Fonctions de plusieurs variables
1.2. L"ESPACER3?
??Propri´et´e 1.4 :-Addition :(x,y,z) + (x?,y?,z?) = (x+x?,y+y?,z+z?).-Multiplication par un scalaire (par un r´eel) :
?λ?R,?(x,y,z)?R3, λ(x,y,z) = (λx,λy,λz).Remarque 1.5 :