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Exemples f x,y 2x2y 3xy x y 5 admet des dérivées partielles en x et en y pour tout Definition On appelle élasticité de y par rapport à x le rapport entre la 

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10 oct 2016 · en ai, alors le nombre dérivé fi(ai) est appelé dérivée partielle de f par Il faut comprendre l'élasticité d'une fonction de plusieurs variables f 

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plusieurs variables (parmi lesquels les dérivées partielles, les différentielles ) L'emploi Appliquons la formule qui donne l'élasticité de la fonction k : σ = dk

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dérivée partielle de f par rapport à la composante xi , la fonction définie de R™ dans Définition 4 18 On appelle élasticité de f par rapport à la variable c; en un

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alors l'élasticité prix de la demande de glace est calculée par: 2 10 20 100 00 2 Toutefois, élasticité et dérivée sont liées par une formule « magique »

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fpx:=D[1](f);#fonction dérivée partielle par rapport à x fpy:=D[2](f);#fonction 2 x 2 Cy 2 2 2 L'élasticité de f par rapport à la variable x est, par définition : 1 

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DÉRIVÉES PARTIELLES ET ÉLASTICITÉ est dérivable au point x0 La dérivée est alors appelée premi`ere dérivée partielle de f en (x0,y0) et notée : ∂f ∂x

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Pour une fonction à deux variables, il y a deux dérivées partielles premières P (Q), où : ϵ est l'élasticité-prix de la demande adressée au monopole ;

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Pour calculer la premi`ere dérivée partielle, on consid`ere y comme un param` etre et on dérive comme d'habitude Exemple Posons f := (x,y) ↦→ xy + y2 + cosxy

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25 jan 2012 · Les dérivées partielles d'une fonction à deux variables sont les dérivées de en un point d'un isoquant sont appelés coefficients d'elasticité :

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OOOO OOOO

(1.2)(1.2) (1.1)(1.1)

OOOO OOOO

FONCTIONS DE n VARIABLES RÉELLES : SOLUTIONS

DES EXERCICES

Bernard Dupont

Bernard.Dupont@univ-lille1.fr

Exercice M1

Enoncé

Soit la fonction f x,y=x

αy x 2Cy2.

1. Calculer les dérivées partielles de f.

2. Calculer les élasticités de f par rapport à x et à y.

Solution

La fonction f est définie sur =2K0, 0.

restart; f :=(x,y)->(x^alpha*y)/(x^2+y^2); f: = x,y/x

α y

x 2Cy2

1. Le calcul des dérivées partielles ne présente aucune difficulté, que ce soit pour récupérer une

expression ou une fonction. Xpfx:=diff(f(x,y),x);#expression dérivée partielle par rapport à x Xpfy:=diff(f(x,y),y);#expression dérivée partielle par rapport à y fpx:=D[1](f);#fonction dérivée partielle par rapport à x fpy:=D[2](f);#fonction dérivée partielle par rapport à y Xpfx: = x

α α y

x x

2Cy2K2 xα y x

x 2Cy22

Xpfy:=x

x2Cy2K2 xα y2 x2Cy22 fpx:=x,y/x

α α y

x x

2Cy2K2 xα y x

x 2Cy22 fpy:=x,y/x x2Cy2K2 xα y2 x2Cy22

2. L"élasticité de f par rapport à la variable x est, par définition : 1

(2.1)(2.1)

OOOO OOOO O

OOO OOOO

(1.3)(1.3)O

OOO OOOO e f;x

=x vf vx x,y f x,y. Efx:=simplify(x*Xpfx/f(x,y));#élasticité par rapport à x Efy:=simplify(y*Xpfy/f(x,y));#élasticité par rapport à y Efx: = α x

2Cα y2K2 x2

x2Cy2

Efy:=x

2Ky2 x2Cy2

Exercice M2

Enoncé

Calculer une valeur approchée de xαy1Kα au point x,y= 10.1, 9.95.

Solution

La question est floue au sens où on ne connaît pas vraiment la précision demandée. Généralement

on se contente d"une approximation affine, qui correspond en Maple à l"utilisation directe de mtaylor à l"ordre 1. restart; f :=(x,y)->x^alpha*y^(1-alpha);#définition de la fonction principale du développement à l"ordre 1 x,y:=10.1,9.95;#coordonnées du point considéré dq;#valeur approchée (à l"ordre 1) de la fonction au point considéré f: = x,y/xα y1Kα dq:=yKα yCα x x,y: = 10.1, 9.95

9.95C0.15 α

Mais comme tout est très simple avec Maple, rien n"interdit de demander une approximation plus fine, par exemple quadratique. restart; f :=(x,y)->x^alpha*y^(1-alpha); principale du développement à l"ordre 2 x,y:=10.1,9.95; dq;##valeur approchée (à l"ordre 2) de la fonction au point considéré f: = x,y/xα y1Kα dq:=yCα xKα yK1

20 α y2C1

2

0 α2 y2K1

20 x2 αC1

2

0 x2 α2C1

1

0 α x y2

(4.2)(4.2) (2.2)(2.2)quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6