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ch2x = ch2x + sh2x = 2ch2x − 1 = 1 + 2sh2x et sh2x = 2shxchx ch(α + β) = chαchβ + shαshβ, etc Définition 2 : La fonction tangente hyperbolique, notée th est

3 Identité hyperbolique : ch2x − sh2x = 1 4 Expression de shx et thx en fonction de chx et de chx et coth x en fonction de shx : shx = ± √ ch2x − 1 chx = √

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Formules relatives aux variables opposés : ch(−x) = chx sh(−x) = −shx th(−x) = −thx 4 Identité hyperbolique : ch2x − sh2x = 1 5 Expression de shx et thx en

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ch2x = ch2x + sh2x = 2ch2x − 1 = 1 + 2sh2x et sh2x = 2shxchx ch(α + β) = chαchβ + shαshβ, etc Définition 2 : La fonction tangente hyperbolique, notée th est

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On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction th et tracer son graphe x −∞ 0 +∞ th x = 1 ch2x

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sh ch , x x sh ch − est positif et tend vers 0 en ∞+ - Notons enfin que la courbe représentative de ch ressemble à une parabole mais n'en est pas une (c'est

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ch2x sh(−x) = −shx ch(−x) = chx th(−x) = −thx sh2x = 2shxchx ch2x = (x) = 1−th2x = 1 ch2x / shxdx = chx+c / chxdx = shx+c / thxdx = ln(chx)+c

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La fonction x ↦→ ch2x est la composée de la fonction x ↦→ 2x, dérivable sur R et de la fonction cosinus hyperbolique, elle aussi dérivable sur R Ainsi,

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( ch3x + sh3x)ex = ( chx + shx)( ch2x − shx chx + sh2x)ex =(ch2x − 1 2 sh 2x) e2x ( ch2x − sh2x)2 + 2 sh2xch2x + shxchx( ch2x + sh2x) =1+ 1 2 sh22x + 1 2

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