[PDF] [PDF] Introduction `a lanalyse ´Enoncé Corrigé

[PDF] FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES

3 Identité hyperbolique : ch2x − sh2x = 1 4 Expression de shx et thx en fonction de chx et de chx et coth x en fonction de shx : shx = ± √ ch2x − 1 chx = √

[PDF] FORMULAIRE SUR FONCTIONS HYPERBOLIQUES

Formules relatives aux variables opposés : ch(−x) = chx sh(−x) = −shx th(−x) = −thx 4 Identité hyperbolique : ch2x − sh2x = 1 5 Expression de shx et thx en  

[PDF] Chapitre 2 : Fonctions usuelles

ch2x = ch2x + sh2x = 2ch2x − 1 = 1 + 2sh2x et sh2x = 2shxchx ch(α + β) = chαchβ + shαshβ, etc Définition 2 : La fonction tangente hyperbolique, notée th est 

[PDF] Fonctions hyperboliques et applications r´eciproques

On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction th et tracer son graphe x −∞ 0 +∞ th x = 1 ch2x

[PDF] Chapitre 13 :Fonctions hyperboliques

sh ch , x x sh ch − est positif et tend vers 0 en ∞+ - Notons enfin que la courbe représentative de ch ressemble à une parabole mais n'en est pas une (c'est 

[PDF] Petit formulaire bien utile Formules trigonométriques

ch2x sh(−x) = −shx ch(−x) = chx th(−x) = −thx sh2x = 2shxchx ch2x = (x) = 1−th2x = 1 ch2x / shxdx = chx+c / chxdx = shx+c / thxdx = ln(chx)+c

[PDF] Introduction `a lanalyse ´Enoncé Corrigé

La fonction x ↦→ ch2x est la composée de la fonction x ↦→ 2x, dérivable sur R et de la fonction cosinus hyperbolique, elle aussi dérivable sur R Ainsi, 

[PDF] ´Enoncés des exercices - CPGE maroc

( ch3x + sh3x)ex = ( chx + shx)( ch2x − shx chx + sh2x)ex =(ch2x − 1 2 sh 2x) e2x ( ch2x − sh2x)2 + 2 sh2xch2x + shxchx( ch2x + sh2x) =1+ 1 2 sh22x + 1 2

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Universit

´e Aix-MarseilleParcours PEIP1

Introduction

`a l"analyse

Corrig

´e du devoir maison no1

Enonc´e

Le but de ce probl

`eme est d"´etudier la fonctionfd´efinie surRpar ch2x-1 2 -x:

1. Rappeler l"ensemble de d

´efinition et de d´erivabilit´e de la fonctiont7→argshtainsi que l"expression de sa d

´eriv´ee.

2. Montrer quex7→ch2xest d´erivable surR. Donner une expression de sa d´eriv´ee.

3. Donner l"ensemble de d

´efinition de la fonctiongdont l"expression est donn´ee par ch2x-1 2

Quel est son domaine de d

´erivabilit´e ? Donner l"expression deg′l`a o`u elle existe.

4. Donner l"ensemble de d

´efinition defet calculer sa d´eriv´eef′l`a o`u elle existe (domaine que l"on pr

´ecisera).

5. En d

´eduire une expression simplifi´ee defet tracer son graphey=f(x).

Rappel :La d´eriv´ee d"une fonction compos´eef=h◦g:I→Rpourg:I→Jeth:J→Rdes

fonctions d ´erivables est donn´ee parf′=g′·h′◦g. Ici,IetJsont des intervalles deR.

Indication :On essayera d"´ecrire les fonctions consid´er´ees dans le probl`eme comme des compos´ees

de fonctions

´el´ementaires`a d´eterminer (n"oubliez pas de pr´eciser les ensembles de d´efinition).

Corrig

´e

1. La fonction argument sinus hyperbolique est d

´efinie surR, elle y est continue et d´erivable. Sa d

´eriv´ee est donn´ee par

(argsh)′t=1

1+t2;t∈R:

2. La fonctionx7→ch2xest la compos´ee de la fonctionx7→2x, d´erivable surRet de la fonction

cosinus hyperbolique, elle aussi d ´erivable surR. Ainsi,x7→ch2xest d´erivable surRet sa d ´eriv´ee est donn´ee surRparx7→2sh2x

3. On sait que surR, la fonction cosinus hyperbolique prend des valeurs sup´erieures ou´egales

a 1, ce qui implique que pour toutx∈R, la quantit´e1 2 (ch2x-1)est toujours positive (ou nulle) ; sa racine carr ´ee est donc bien d´efinie pour toutx∈R. On en d´eduit que le domaine de d

´efinition degestR.

2 (ch2x-1), d´erivablesurR(sad´eriv´ee est donn

´ee parx7→sh2x,x∈R) et de la fonction “racine carr´ee" d´erivable sur]0;+¥[(sa

d

´eriv´ee est donn´ee part7→1

2 t ,t>0). De plus,1 2 (ch2x-1)>0si et seulement six̸=0, ce qui donneR\{0}comme domaine de d´erivabilit´e deg. Pour toutx∈Rnon nul, on a alors g ′(x) =sh2x·1 2 ch2x-1 2 =sh2x 2 sh

2xcarch2x=2sh2x+1

shxchx |shx|carsh2x=2shxchx {chxsix>0 -chxsix<0carshx |shx|={1six>0 -1six<0:

4. Comme la fonction argument sinus hyperbolique est d

´efinie surR, le domaine de d´efinition

defest le mˆeme que celui deg, c"est-`a-direR. En effet,fest la somme de la fonction

x7→ -xd´efinie surRet de la compos´ee deargshetg. On en d´eduit de mˆeme que le domaine

de d ´erivabilit´e defest le mˆeme que celui deg, c"est-`a-direR\{0}. On a pour toutx̸=0 f ′(x) =g′(x)·(argsh)′(g(x))-1={1-1=0six>0 -1-1=-2six<0 car (argsh)′(g(x)) =1 ch2x-1 2 2 ch2x+1=1 ch 2x=1 chx:

En effet,chx>0pour toutx, et on a utilis´e la formule pourch2xd´ej`a utilis´ee dans la question

pr

´ec´edente.

5. Commefest continue surRetf(0)=0, on en d´eduit quef:R→Rest donn´ee parf(x)=0

six>0,f(x) =-2xsix<0etf(0) =0. 2quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8