Résolution générale par la méthode de Cramer C'est le mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704-1752) qui a introduit l'expression générale de la solution
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CHAPITRE 1
Systèmes d'équations
1. Définition et exemple
Définition. Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est un ensemble de deux ()p
équations de la forme :
p axbyc axbyc HZ HZ R S T 1 2)où est le couple d'inconnues ett ntes appelées coefficients du xy,bg a, b, c, a', b' ec' sont des consta
système et vérifiant les conditions bg et . Résoudre le système revient à ab,,bÖ00ggab',',bgbÖ00trouver le ou les couples (),xy?×oo qui satisfont simultanément les deux équations (1) et (2).
Ces couples sont les solutions du système.
Exemple. Considérons le système linéaire de deux équations à deux inconnues : p 23817412
xy xy HZ JZJ R S T Intéressons-nous d'abord aux solutions de l'équation (1). Le couple best une solution de cette
équation, car . Mais c'est loin d'être l'unique solution ! En effet il est facile de vérifier
que 12,g 21328ôHôZ
(,),(24,),(,),...JJ561 5 2 sont d'autres couples de solution de cette équation. En fait l'équation(1) admet une infinité de solutions. La forme générale de ces solutions peut s'obtenir en calculant y
en fonction de x :238382
823 xyyxy x
HZøZJøZ
J Le s solutions de (1) sont donc les couples de la forme x x 823 J FI K J H G où x est un réel quelconque.
Par exemple : si xZJ2 alors yZ
JôJ
ZZ 8223 12 3 4 , d'où la solution bg. J24,
De même, l'équation (2) admet une infinité de solutions. On trouve facilement que ce sont les
couples de la forme x x 714H F H G I K J , où x est un réel quelconque. Par exemple : 12235 15 4 ,,,,,,...bgbgJbg Remarquons que le couple b est à la fois solution de (1) et de (2). C'est donc une solution du
système . Le système admet-il d'autres solutions ? Les méthodes de résolutions exposées
ci-dessous vont prouver que best l'unique solution de . 12, ()p 12,g g ()p ()p2. Méthodes de résolution
Reprenons le système de l'exemple précédent. ()p a) Résolution par substitution (Z remplacement) On calcule y en fonction de x à l'aide de l'équation (1) :238382
823
3xyyxy
xHZøZJøZ
JOn substitue l'équation (3) dans l'équation (2) : On substitue l'équation (3) dans l'équation (2) :
7482
3 13
214823
213283
292914 x x xx xx x x J J F H G I K J
ZJô
øJJZJ
øJHZJ
øZ øZ bgFinalement on substitue (4) dans (3) :
yZ Jô ZZ 8213 6 3 2 Le système admet donc une solution unique : . SZ12,bgmr b) Résolution par combinaison linéaire Combinons d'abord les équations (1) et (2) pour éliminer y :
41ô() : 81232xyHZ (1')
32ô() : 21123xyJZJ (2')
(1') + (2') : 29291xxZøZ Combinons maintenant les équations (1) et (2) pour éliminer x :71ô() : 142156xyHZ (1'')
Jô22() : JHZ1482xy (2'')
(1'') + (2'') : 29582yyZøZOn retrouve que . SZ12,bgmr
c) Méthode graphiqueSi l'on rapporte le plan à un repère Oij,,
ch 81, les équations (1) et (2) sont en fait les équations cartésiennes de deux droites, que nous notons d et d. Résoudre le système revient à
déterminer le point d'intersection de ces deux droites. Représentons graphiquement les deux droites.
12 pbg dxy 123:HZ dxy
274:JZJ
I12,bg
ddI 12 d 1 d 2 x -3 1 5 y -5 2 9 x -2 1 4 y 4 2 0 1..223. Résolution générale par la méthode de Cramer
C'est le mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704-1752) qui a introduit l'expression générale de la
solution d'un système linéaire de n équations à n inconnues. Voici sa méthode dans le cas . nZ2
1.3 p axbyc axbyc HZ HZ R S T 1 2