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Nous avons vu trois méthodes pour résoudre des systèmes d"équations linéaires: (i) par élimination, (ii) par

substitution et (iii) par la “règle de Cramer". Les deux premières méthodes sont très simples à utiliser dans

le cas de deux variables. Par contre, la méthode de Cramer peut être systématiquement utilisée dans tous les

cas. Je donne ci-dessous la méthode générale de Cramer dans le casnn.

Soit donc un système linéaire denéquations àninconnues(x1;:::;xn). Il peut être écrit comme8>><

>:a

11x1+:::+a1nxn=b1;

a n1x1+:::+annxn=bn:

Écrit sous forme matricielle, cela devient

2 6 64a

11::: a1n.........

a n1::: ann3 7 752
6 64x
1... x n3 7 75=2
6 64b
1... b n3 7 75:

De façon compacte,Ax=b, oùAest la matricenncomposée des élémentsaijdu système linéaire,xest

le vecteurn1composé des inconnues etbest le vecteurn1composé des coe¢ cients constants du système.

Règle de Cramer:SoitjAjle déterminant de la matriceA. Pour qu"il y ait une solution unique(x1;:::;xn)

au système ci-dessus, il faut quejAj 6= 0. Si c"est le cas,1alors la solution est la suivante:pour touti= 1;:::;n,

x i=(ièmecolonne) #a

11::: b1::: a1n............

a n1::: bn::: ann a

11::: a1i::: a1n............

a n1::: ani::: ann

Le dénominateur est le déterminantjAjcaractéristique du système. Au numérateur, on place le déterminant

de la matrice obtenue en remplaçant laièmecolonne deApar le vecteurb. Sur un exemple:Soit le système à résoudre x

1+ 2x2= 298;

x

1x2= 1:()"

1 2 11#" x 1 x 2# 298
1#

Alors,

x 1= 298 2
11 1 2 11 = 100etx2= 1 298 1 1 1 2 11 = 99:1 SijAj= 0, alors le système possède soit zéro solution, soit une in...nité de solutions. 1quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16